страхование для выдачи студентам / Элементы страховой математики

обрабатывать не весь трехмерный массив: «состояние - стратегия – состояние», а лишь незначительную часть его.

Геометрически это означает, что из всего прямоугольного параллелепипеда возможных вариантов перебору подлежат лишь те, которые находятся внутри цилиндра, ось которого направлена по главной оси этого параллелепипеда.

Точное решение системы линейных алгебраических уравнений по методу Гаусса заменено приближенным решением по итерационному методу Зейделя. Это позволило снизить объём вычислений, по сравнению с классической схемой, в 4-5 раз.

От пользователя требуется задать распределение и параметры входного и выходного потоков и весовые коэффициенты для целевой функции. Программа сама строит множество состояний и наборы возможных стратегий. В результате решения оптимизационной задачи выдаются рекомендации о величине дополнительно привлекаемых (или высвобождаемых) ресурсов в зависимости от величины запаса.

Предполагается, что данная модель может быть полезной реальным страховщикам для оценки целесообразности применения своих альтернативных инвестиционных стратегий.

14.2.Статистическая модель страхового пула, основанная на

идеях теории игр

Принцип организации страхового пула состоит в том, что каждый страховщик – участник пула передает в этот пул на перестрахование некоторый объем ответственности по рискам из своего портфеля. Таким образом формируется портфель пула. Известен вклад каждого участника в этот портфель. В соответствии с этим вкладом определяется доля ответственности каждого участника в возмещении ущерба по всем договорам, переданным в пул. Эта доля определяется отношением объема ответственности, переданной данным участником, ко всему объему ответственности в портфеле пула.

Следовательно, выбирая объeм передаваемой ответственности, страховщик, с одной стороны, избавляется от части своего риска, перекладывая ее на пул, т.е. на других участников этого пула. С другой стороны, он «приобретает» соответствующую долю риска, находящуюся на ответственности пула (переданной в пул другими участниками). Если объем передаваемого риска страховщик выбирает сам, (и это является его стратегией), то объем и состав принимаемого при этом риска ему неподвластен. Более того, страховщику неизвестен объем и состав портфеля страхового пула.

Точнее, ему может быть известен объем и состав портфеля пула на момент передачи в пул части своей ответственности. Но он может лишь предполагать, как изменится состав и объем портфеля пула в следующий

261

период. И соответственно, как изменится его доля в портфеле пула. Тем более, он не может контролировать этот процесс.

Для участника пула возникает элемент неопределенности, который осложняется (усугубляется) тем, что каждый участник пула стремится избавиться от наиболее опасных и невыгодных договоров. Однако, пул организован на добровольных началах. Поэтому вся информация о портфеле пула (и его динамике) открыта для всех его участников. Следовательно, на основе информации за предшествующие периоды каждому страховщику – участнику пула – известно распределение общего ущерба, «генерируемого» пулом. Эту информацию можно рассматривать, как набор стратегий пула, используемых с определенными вероятностями.

Распределение объема ответственности (в пуле), а также (при каждом объеме ответственности) распределение объема ущерба – позволяют (вместе) принять решение. Первая составляющая позволяет оценить свою долю в пуле, а вторая – объем принимаемого риска. Разумеется, информация периодически обновляется, что требует переоценки соответствующих распределений.

Таким образом, возникает теоретико–игровая задача (неантагонистическая!), где один игрок (страховщик – участник пула) должен выбрать свою стратегию (объем передаваемой ответственности), опираясь на распределение вероятностей «применения пулом своих стратегий». Причем каждой паре выбранных стратегий соответствует определенный объем передаваемого риска (т.е. снижение ожидаемых выплат), и вместе с тем, определенный объем принимаемого риска, (т.е. повышение ожидаемых выплат). Для второй составляющей можно, по крайней мере, найти математическое ожидание этой величины. С учетом не только портфеля пула, но и своей стратегии, т.к. от нее зависит доля ответственности участника.

Следовательно, необходимо выбрать свою стратегию, оптимальную в том смысле, что она минимизирует ожидаемый объем выплат (сумму оставленного на собственном удержании риска из своего портфеля и принятого из портфеля пула). Методы решения подобных задач достаточно хорошо известны (но не применительно к задачам страхования!). Например, Дж. Данциг предлагает свести теоретико– игровую задачу к задаче линейного программирования и решать последнюю с помощью эффективного программного обеспечения, реализующего этот набор методов.

Автору ближе теоретико – игровые методы, опирающиеся на вероятностно – статистические алгоритмы. Впервые эти методы приведены в кн. Дж. Неймана и О. Моргенштерна. Затем эти идеи конкретизированы в кн. Карлина и др.

Применительно к страховым задачам известно решение теоретической (и крайне редко встречающейся на практике) задачи, где

262

предполагается наличие k страховщиков с портфелями, распределение общих убытков в которых – одинаково.

Для этой задачи получено аналитическое решение, состоящее в том, что каждый страховщик оставляет на собственном удержании только 1/k часть своего риска (что соответствует объединению портфелей). И. Карри показал, что если убытки компаний взаимно независимы, и если каждый участник пула стремится минимизировать дисперсию убытков собственного удержания, то предлагаемое решение – оптимально.

Однако, в реальных условиях подобная ситуация – нетипична, поэтому предлагается подход, свободный от приведенных ограничений.

Численное решение теоретико-игровой задачи получается с помощью метода В. Брауна, модифицированного с использованием идеи «доминирующих» стратегий. По-видимому, следует признать наиболее эффективным средством решения подобных задач подход, основанный именно на вероятностно-статистических методах. Эта идея впервые была предложена Дж. Робинсон, однако, только в классическом изложении, т.е. в пространстве «чистых» стратегий.

Автор обобщил эту идею на случай «смешанных» стратегий (что вполне оправдано в данной содержательной задаче и существенно расширило сферу применения метода) и внес в алгоритм модификацию, позволяющую снизить размерность задачи с помощью предварительного «доминирования» стратегий, а затем реализовал эту модификацию в виде алгоритма и программы. Видно, что этот подход может успешно использоваться в приведенной задаче о страховом пуле. Проблема – в необходимости наличия реальных данных о распределениях общего ущерба в портфелях всех участников пула.

Предложенная модель может быть уточнена в виде игры N лиц (страховщиков – участников пула), причем более логичным и оправданным является безкоалиционная игра. Пул – сам является коалицией, участие в нем – добровольное. Поэтому создание коалиции внутри коалиции вряд ли целесообразно.

Однако, в принципе, создание коалиций алгоритмом не запрещено. Это может потребоваться для анализа, например, регионального рынка.

Приведем классическую схему и модификацию метода.

Классическая схема метода Брауна.

При решении практических задач часто достаточно найти приближенное решение игровой задачи. Приемлемое решение можно получить с помощью приведенных ниже численных методов решения матричных игр.

Идея метода Брауна (специфического для теории игр итерационного численного метода нахождения цены игры и оптимальных смешанных стратегий) состоит статистическом моделировании игры. Пусть рассматривается бесконечный процесс

263

повторения игры с матрицей: A = {αij}(1 ≤ i ≤ m ; 1 ≤ j ≤ n) . Предположим, что в k повторениях этой игры первый игрок выбирал

R(k) назовем эмпирической смешанной стратегией первого игрока,

порожденной последовательностью чистых стратегий i1 , i2 , ..., ik ,.

Аналогично определяется эмпирическая смешанная стратегия второго игрока, порожденная последовательностью его чистых стратегий

j1 , j2 , ..., jk , .

На (k+1)-м повторении каждый из игроков выбирает свою чистую стратегию, оптимальную против эмпирической смешанной стратегии противника, определяемой частотами появления чистых стратегий в прошедших повторениях игры. Таким образом, процедура метода Брауна состоит из следующих шагов:

Шаг 1: Первый игрок выбирает свою чистую стратегию: i1 , например, по минимаксному критерию. Тогда: R(k) = Pi1 . Поэтому теперь второй игрок выбирает свою чистую стратегию: j1 , наилучшую против R(1) . Тогда: Q(1) = Q j1 . Если этот выбор (или какой-либо из последующих) неоднозначен, то выбирается какая-либо из возможных чистых стратегий, обеспечивающая тот же результат, что и j1 , например, с наименьшим номером.

Шаг 2: Первый игрок выбирает свою чистую стратегию i2 , наилучшую против Q(1) . Второй игрок выбирает свою чистую

стратегию: j2 , наилучшую против R(2) , порожденной последовательностью (i1 ,i2 ) .

Шаг 3: Первый игрок выбирает чистую стратегию: i3 , наилучшую против Q(2) , порожденной последовательностью (j1 , j2 ) . Второй игрок выбирает чистую стратегию: j3 , наилучшую против R(3) , порожденной

последовательностью: (i1 , i2 , i3 ) .

264

Шаг l: Первый игрок выбирает чистую стратегию: il , наилучшую против Q(l−1) , порожденной последовательностью: j1 , j2 , ..., jl −1 , .

Второй игрок выбирает чистую стратегию jl , наилучшую против R(l) ,

порожденной последовательностью: i1 , i2 , ..., il , .

Таким образом, в указанную процедуру входит лишь один совершенно произвольный выбор il . Рассматриваемое на l-м шаге предполагаемое первым игроком поведение второго игрока – эквивалентно тому, что второй игрок выбирает с равной вероятностью

l-м шаге чистую стратегию il . Обозначим через v1 (R) гарантированный выигрыш первого игрока при стратегии: R, а через v2 (Q) – максимальный выигрыш, который может получить первый игрок, если

Аналогично, второй игрок на своем l-м шаге выбирает jl так, что:

Итак, выбор стратегий в данной игре производится следующим образом. Как отмечено ранее:

265

То эта общая величина равна v, и соответствующие стратегии:

R(l−1) и Q(l−1) стремятся к оптимальным стратегиям. Это позволяет отыскать приближенную цену игры. Для этого повторяют (моделируют) игру и на каждом шаге вычисляют пару чисел: v1 (R(l −1) ) и v2 (Q(l −1) ). Т.к. v лежит между ними, то процесс заканчивается при достижении заданной точности.

Доказательство сходимости итеративного процесса подобного рода приведено в кн. А.В. Кружевского «Теория игр» Киев, Вища Школа, 1977. Оценка скорости сходимости этого метода дается формулой:

из которой видно, что скорость сходимости невелика и падает с увеличением размерности игры: (m+n). Низкая скорость сходимости объясняется тем, что если, например, первый игрок достиг оптимальной стратегии, то он не останавливается на ней, а продолжает попытки увеличить свой выигрыш (если второй игрок к этому моменту еще не достиг своей оптимальной стратегии) и тем самым может ухудшить свое положение.

В методе Брауна требуется, чтобы каждый игрок применял свои чистые стратегии, являющиеся наилучшими против эмпирической смешанной стратегии, определенной по всем предыдущим чистым стратегиям противника. Если игроки имеют ограниченную память и могут помнить не все «ходы», а лишь несколько последних, то метод Брауна может оказаться не сходящимся (происходит зацикливание). Например, если каждый игрок «помнит» только один ход, то он выбирает свою стратегию, оптимальную против последней использованной стратегии противника.

Однако, отмеченное обстоятельство не снижает значения метода Брауна для решения игровых задач. Метод достаточно прост и отражает жизненную практику приобретения опыта игроками в результате повторения конфликтных ситуаций.

Модификации метода.

Для повышения эффективности метода предложен ряд модификаций, рассмотренных, например, в кн. М. Дрешера «Стратегические игры. Теория и приложения.» М., «Сов. радио», 1964. В частности, для уменьшения количества повторений можно использовать (в качестве признака окончания процесса) величину:

266

Другой полезной идеей является предложенное Дж. Робинсон сокращение множеств допустимых стратегий с помощью предварительного их доминирования. Автор данной работы реализовал метод Брауна с доминированием стратегий в виде программы и показал, что эффективность модифицированного алгоритма превышает эффективность классического варианта, по крайней мере, вдвое. Целый ряд практических задач (например, при анализе страхового пула) характеризуется наличием большого числа заведомо невыгодных стратегий. Это позволяет надеяться на существенное повышение эффективности модифицированного алгоритма при решении подобных задач.

Однако, Дж. Робинсон предложила алгоритм в пространстве чистых стратегий, а смешанная стратегия была окончательным вариантом решения задачи. В рассматриваемой модели страхового пула, вследствие неопределенности, вызванной изменением во времени изначально заложенных значений параметров, возможно наличие многих смешанных стратегий, каждая из которых является оптимальной при своем наборе значений параметров. Возникает задача следующего порядка, состоящая в сравнении этих смешанных стратегий. Таким образом, следующая модификация направлена на решение этой задачи.

Модификация для задачи управления запасами.

Идея предлагаемой модификации базируется на инерционности реальных систем, что допускает переход системы только в ближайшие состояния. Точнее, вероятность перехода системы из некоторого исходного состояния в другое (достаточно отдаленное) предполагается пренебрежимо малой. Это позволяет существенно снизить размерность задачи, отказавшись от полного перебора вариантов, включая заведомо бесперспективные и маловероятные. Разумеется, при программной реализации этого алгоритма следует допустить возможность итерационного изменения порогового значения вероятности. Это позволяет постепенно сужать область допустимых решений. Создается эффект работы с переменным шагом, что существенно уменьшает общий объем вычислений. Эти работы были в свое время опубликованы.

Применительно к страховому пулу задача несколько меняется. Каждый страховщик, собирающийся вступить в пул, знает состав риска, принятый пулом к настоящему моменту времени, а следовательно, знает и распределение величины ущерба в пуле (если состав риска не изменится). Поэтому можно считать, что один игрок (пул) уже имеет некоторую смешанную стратегию (в отличие от набора чистых стратегий в классической схеме).

Однако, распределение ущерба в пуле меняется под влиянием решений, принимаемых каждым участником. Т.е. у этого игрока появляются дополнительные стратегии, о которых другой игрок (страховщик) может только догадываться. Поэтому возникает задача

267

оценки семейства распределений величины ущерба в пуле. Надо не только оценить вероятность определенного объема и состава ответственности в пуле, но и (на основе этого) оценить вероятность определенного ущерба в таком пуле.

Кроме того, хотя каждый отдельный страховщик передает в пул наиболее опасные риски, пул, в целом, (как игрок) не заинтересован в увеличении общего объема ущерба (только для того, чтобы максимально увеличить выплаты другого игрока). Поэтому данная игра не является антагонистической. Возникает аналог игры с природой, допускающий, тем не менее, применение идей В. Брауна.

14.3. Исследование риска в страховании методом ковариационного анализа с факторизацией качественных переменных

Диапазон статистических методов, используемых в настоящее время в практике статистических исследований, которыми можно дополнить результаты ковариационного анализа в целях повышения его эффективности, достаточно широк.

Системный подход к анализу экономического процесса предполагает использование комплекса взаимосвязанных методов, дополняющих результаты друг друга, а также предоставляющих новую информацию о характере и особенностях развития страхового рынка. В то же время необходимо учитывать, что применение тех или иных методов ограничено уровнем программной реализации этих методов на ПЭВМ и допустимостью затрат на исследование по трудоемкости.

Формализация реальной задачи исследования зависимости тарифа в страховании от количественных (возраст) и качественных (профессия) признаков на основе предварительного содержательного анализа и учет вышеперечисленных условий и требований приводит к выводу о необходимости использования идей ковариационного анализа, а также методов множественной линейной регрессии для получения модели зависимости цены страховой услуги от признаков, входящих в исследование.

В данной работе практически все эти методы модифицированы с целью повышения надежности результатов исследования. Их органическое сочетание позволяет уточнить результаты ковариационного анализа.

Ковариационный анализ представляет собой метод, соединяющий идеи дисперсионного и регрессионного анализа /1/, он позволяет изучать вероятностно-статистические модели, в которых присутствуют как качественные, так и количественные признаки. Ковариационный анализ достаточно подробно освящен в /Болч Б., Хуань К. Многомерные статистические методы для экономики. М., 1979, и Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ. Подход с использованием ЭВМ. М., 1982/. В работе приняты обозначения, используемые в /Айвазян С.А., Енюков

268

И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Исследование зависимостей. М., 1985/.

В исследовании страхового рынка ковариационный анализ представляется, как совокупность методов и результатов, относящихся к математико-статистическому анализу моделей, предназначенных для исследования зависимости среднего значения некоторого количественного результирующего показателя от набора неколичественных факторов Xd и одновременно от набора

количественных (регрессионных или сопутствующих) переменных X . Неколичественные факторы Xd данного исследования задают

сочетания условий (качественной природы), в которых производилась фиксация каждого из наблюдений (экспериментальных значений) y и X, и описываются с помощью индикаторных переменных.

Основные теоретические и прикладные разработки по ковариационному анализу относятся к линейным моделям /1/. Однако, это обстоятельство не является существенным ограничением, если предварительно преобразовать нелинейную модель в линейную, например, опираясь на идеи Бокса-Кокса /А., Е., М./. Если анализируется схема из n наблюдений со скалярным результирующим признаком y, с

k возможными типами условий эксперимента и с p сопутствующими переменными x(1), x(2), …, x(p) , то линейная модель ковариационного анализа задается уравнениями:

x(s) , зависящие от конкретного сочетания условий эксперимента , т.е. от

вектора X di = (xdi(1) ,..., xdi(k) )| ;

εi(Xdi)- величина остаточных случайных компонент , т.е. “ошибок измерения”, имеющих нулевые средние значения.

Основное содержание ковариационного анализа - в построении статистических оценок для неизвестных параметров θd1,…, θdk; θ1,…, θp и статистических критериев, предназначенных для проверки различных гипотез относительно значений этих параметров.

Если в модели постулировать априори θ1,=…=θp≡0 , то получится модель дисперсионного анализа; если же из модели исключить влияние

269

неколичественных факторов (т.е. положить θd1,=…=θdk ≡0), то получится линейная модель регрессионного анализа. В вычислениях ковариационного анализа используется разбиение ковариаций переменных Y и X точно так же, как в дисперсионном анализе используются разбиения остаточной суммы квадратов.

В исследовании будет использоваться модель ковариационного анализа в матричном виде:

Y=XdΘd +XΘ+ε

Или

Y=(Xd,X)<ΘΘd > +ε,

где

Y - вектор-столбец (n*1)наблюдений результирующего показателя; Xd - матрица (n*k) плана эксперимента по неколичественным

факторам Xd;

Θd -вектор-столбец (k*1) неизвестных параметров, соответствующих неколичественным факторам (общее среднее, главные эффекты, взаимодействия и т.п.);

X - матрица (n*p) плана регрессионных (количественных) объясняющих переменных;

Θ - вектор-столбец (p*1) параметров (неизвестных коэффициентов регрессии);

ε - вектор-столбец (n*1) случайных остатков модели, подчиняющийся нормальному распределению N(0,σ2 *In, где остаточная

дисперсия σ 2 неизвестна (подлежит оцениванию).

Предполагается, что тип условий эксперимента Xd не влияет на матрицу плана регрессионных экспериментов X, т.е. столбцы матрицы X линейно не зависят от столбцов матрицы Xd (существенное предположение). К несущественным предположениям относятся допущения о том, что матрицы X и Xd имеют полный ранг (соответственно k и p) и что отсутствуют ограничения на параметры Θd.

Для нахождения оценок Θd и Θ неизвестных параметров Θd и Θ применяется обычный метод наименьших квадратов (как в множественной регрессионной модели). Однако в исследовании существенно упрощен анализ за счет использования специального вида матрицы (Xd , X) и специфики модели дисперсионного анализа. С этой целью используется двухшаговый метод наименьших квадратов /1/, который применительно к модели ковариационного анализа состоит из следующих этапов:

В исследуемой модели полагается Θ≡0 и находят оценки ΘB (0) и остаточную сумму квадратов ( при условии Θ≡0 ):

270