страхование для выдачи студентам / Элементы страховой математики

1)страховщик игнорирует полученные ранее данные о новом риске и использует только данные из большего объема данных о подобных рисках, то есть оставляет прежний взнос m;

2)страховщик игнорирует подобные риски (так как у него уже накоплено достаточно информации о новом риске), поэтому взнос определяется только на основе нового риска и назначается х.

Очевидно, что каждая из этих двух позиций имеет свои недостатки. С одной стороны, нельзя игнорировать новый риск, характеристики которого могут отличаться от предшествующих аналогов. А с другой - как быть, если x = 0 ? И в какой момент следует переходить от расчетов по первой методике к расчетам по второй?

Очевидно, необходим компромисс между двумя крайними позициями.

Это и достигается с помощью доверительного взноса, который определяется, как взвешенная сумма взносов, рассчитанных по этим двум подходам, а веса определяются с помощью коэффициента доверия (к новым данным!) Z:

Z х + (1-Z) m, 0 < Z < 1.

Эта формула линейна от соответствующих оценок, коэффициент доверия указывает на оценку страховщиком надежности прямых данных о новом риске, он возрастает с ростом числа наблюдений. С учетом возможности регулярного перерасчета формула обладает всеми требуемыми свойствами.

Пример 3. Пусть известна цена подобного риска m = 25. Выплаты по новому риску составили по годам: 30, 26, 25, 35, 29, 35, 37. Страховщик использует формулу доверительного взноса:

V = Z х + (1 - Z) m , 0 < Z < 1.

При этом он считает, что в начале (при отсутствии информации о новом риске) Z = 0, а через 10 лет у него будет достаточно данных, чтобы опираться только на новую информацию Z = 1. Предполагается, что коэффициент Z возрастает равномерно

Решение. Средние выплаты по новому риску за предшествующие годы равны:

30/1 = 30 (30 + 26)/2 = 28

(30 + 26 + 25)/3 = 27

(30 + 26 + 25 + 35)/4 = 29 (30 + 26 + 25 + 35 + 29)/5 = 29

(30 + 26 + 25 + 35 + 29 + 35)/6 = 30 (30 + 26 + 25 + 35 + 29 + 35 + 37)/7 = 31

Тогда перед первым годом взнос рассчитывается, опираясь на m=25, а затем Z равен: 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 .

191

Следовательно, взнос V (по годам) будет принимать значения :

0.1 30 + 0.9 25 = 3 + 22.5 = 25.5 0.2 28 + 0.8 25 = 5.6 + 20 = 25.6 0.3 27 + 0.7 25 = 8.1 + 17.5 = 25.6 0.4 29 + 0.6 25 = 11.6 + 15 = 26.6 0.5 29 + 0.5 25 = 14.5 + 12.5 = 27 0.6 30 + 0.4 25 = 18 + 10 = 28 0.7 31 + 0.3 25 = 21.7 + 7.5 = 29.2

Новый риск несколько больше прежнего, поэтому взнос постепенно повышается (и темпы роста увеличиваются). В данном примере страховщик «недобирает» взносы (выплаты по новому риску не компенсируются). Но можно предположить, что рисковая надбавка несколько уменьшает этот негативный эффект.

Возможен и подход, основанный на идеях Байеса. Ранее на их основе были получены значения оценок для нового клиента:

λ$ =∫λf(λ) dλ и указана корректировка представлений по мере поступления новой информации:

f(λ/данные) = f(λ) f(данные/λ)/f(данные).

Дальнейшее развитие этого направления и применение этого аппарата для решения более сложных актуарных задач достаточно подробно изложено в кн. Карри /6/ .

10.5.Некоторые проблемы определения рисковой надбавки.

При исследовании портфеля долгосрочных договоров также возникает задача оценки вероятности разорения. Здесь анализируется поток заявок (исков). В результате получается формула, аналогичная формуле для краткосрочной модели. Это позволяет указать правила расчета рисковой премии и рисковой надбавки в зависимости от объема собственных средств. Разумеется, в долгосрочном страховании повышается роль задачи определения коэффициента рассрочки при переходе от единовременной премии к периодической.

В рамках данного раздела рассматриваются такие виды договоров страхования, для которых можно пренебречь влиянием инфляции и наращения денежных средств, получаемых от клиента. Иными словами, временная протяженность договора составляет такую единицу времени, на протяжении которой инфляция уравновешивает наращение денежных средств. Обычно, в краткосрочном страховании (например, в краткосрочном страховании жизни и, как правило, страховании имущества) в качестве такой единицы выбирают один год.

Кроме того, здесь не учитывается время фактического предъявления требования о выплате. Рассматривается фиксированная совокупность договоров, по которым в момент времени t=0 поступают

192

премии, формирующие резерв страховых выплат, который к моменту t=1 должен обеспечить все выплаты с некоторым достаточно высоким уровнем надежности.

Как уже говорилось выше, в настоящем учебном курсе рассчитывается только основная часть страховой премии, которая формирует резерв страховых выплат (без нагрузки). Рассмотрим договор с фиксированным ущербом (смерть, кража, угон автомобиля), в котором человек платит страховой компании “п” (руб.) - страховую премию. Компания соглашается выплатить сумму b (руб.), если страховой случай произойдет в течение года. Иначе страховая компания ничего не платит.

Известно, что b больше «п». Купив за “п” (руб.) страховой полис, застрахованный избавил свою семью от риска финансовых потерь, связанных с неопределенностью момента наступления страхового случая и величиной потерь. Этот риск приняла на себя страховая компания. Если страхового случая нет, то иск к страховой компании равен нулю. Иначе иск к страховой компании составит b (руб.). Для упрощения расчетов положим b=1 - единица денежной суммы. (В страховании принят термин «единица страховой суммы».)

Этот индивидуальный риск является элементарной составляющей финансового риска страховой компании. Случайную величину, определяющую данный элементарный риск, обозначим, как ξ j . Индекс

j означает, что данная случайная величина описывает выплаты на одного (скажем, с номером j) клиента. Вероятность наступления страхового случая может зависеть от некоторых факторов (при страховании автомобиля от угона – от марки и возраста автомобиля, а также, от его состояния). При страховании жизни вероятность зависит, прежде всего, от возраста застрахованного. В дальнейшем, для определенности, рассматриваем именно такой договор (на случай смерти).

Распределение ζ j имеет следующий вид:

p ,i = 0

Πi = P(ξ = i) = qx ,i = b

x

x - возраст застрахованного,

px - вероятность того, что человек в возрасте x лет проживет еще по меньшей мере один год,

qx - вероятность того, что человек в возрасте x лет умрет в течении ближайшего года.

Это позволяет найти характеристики риска (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации) для отдельного договора, а затем, объединяя отдельные договора в портфель, и соответствующие характеристики всего портфеля. В общем случае здесь используется аппарат «свертки», а при выполнении определенных условий (однородность и многочисленность портфеля) расчеты ведутся на основе биномиального

193

закона или его нормальной аппроксимации.

Рисковая премия обеспечивает выполнение принципа эквивалентности финансовых обязательств страховщика и страхователя, состоящего в том, что, в среднем, и страхователь, и страховщик должны платить одинаково. Следовательно, рисковая премия одного договора должна быть равна математическому ожиданию величины индивидуального иска:

Страховая (рисковая) надбавка еще называется платой за риск и должна отражать возможные флуктуации (колебания, отклонения) индивидуального иска. Так как риск перераспределяется между многими участниками страховой совокупности, то страховая надбавка определяется для всей совокупности договоров.

Понятно, что чем больше совокупность одинаковых независимых рисков, тем меньше фактический суммарный риск отличается от своего математического ожидания. В качестве критерия оценки суммарного риска в страховании используется «степень риска» - коэффициент вариации суммарных выплат по данной страховой совокупности.

Коэффициент вариации показывает сбалансированность наиболее вероятных значений суммарных выплат вокруг их среднего ожидаемого значения и, следовательно, может служить критерием оценки суммарного риска страхового портфеля. В нашем случае он зависит от параметра индивидуального риска qx и обратно пропорционален объему «n» страховой совокупности.

Эмпирически установлено, что для финансовой устойчивости портфеля достаточно, чтобы степень риска была меньше 1/3. Отсюда может быть установлен минимальный объем портфеля для обеспечения финансовой устойчивости. Если страховая совокупность состоит не из одинаковых рисков (в нашем случае это означает, что в одном страховом портфеле есть договора с людьми разного возраста), то суммарная степень риска должна быть, как минимум, не больше, чем степени рисков отдельных подсовокупностей данной совокупности, составленных из одинаковых рисков.

В качестве первой цели поставим задачу вычисления фонда страховых возмещений, который с надежностью γ =99% обеспечит все

поступающие требования о выплате возмещений по данной совокупности договоров. Страховая компания исходит из того, что величина резерва страховых выплат должна быть такой, чтобы общие выплаты ее не превышали. Это условие можно записать формально как:

Ρ(U − ξ0 ≥ 0) = 1 − ε ≈ 1,

где U - величина резерва страховых выплат.

ε =1% 1 −ε= γ Ρ(U −ξ≥ 0) = γ

194

Ρ(ξ≤ U) = γ

Ρ ξσ−(Μξξ) ≤ Uσ−(ξΜξ) = γ

Обозначим какα (γ ) правую часть неравенства, стоящего под знаком вероятности:

α(γ) = U − Μξ

σ(ξ)

Ρ ξσ−(Μξξ) ≤ α(γ) = γ

Согласно центральной предельной теореме, если ξj - ограничены и одинаково распределены, то при больших значениях n:

- функция распределения вероятностей нормальной случайной величины.

По таблице значений распределения нормальной случайной величины находим, что α (99%) = 2,33. Следовательно, величина страхового резерва может быть рассчитана как:

U= 2,33 σξ+Μξ

14243

L”‡ќ.

Страховая компания со всех клиентов данной совокупности должна собрать U. Следовательно, если сложить все премии, слева получим U, а справа:

где как Lобщ. мы обозначим фонд суммарной страховой надбавки. Отсюда получим что:

L общ. = α(γ) σ(ξ общ ) .

Остается задача разделения фонда суммарной страховой надбавки между различными договорами. Существуют различные способы и подходы к решению этой задачи. Здесь мы приведем наиболее часто используемые, отличающиеся подходами к учету интереса страхователя.

I. СПОСОБ заключается в том, что страховая надбавка пропорциональна индивидуальным средним выплатам, т.е.:

195

Аналогичным образом определяются риски остальных частей совокупности:

nm - ожидаемое количество договоров в доле m-ом субпортфеле

Μξ ”‡ ќ‡ = Μξ (1) + Μξ (2) + L + Μξ (m) -

- суммарное среднее ожидаемое значение страховых выплат.

Аналогичным образом определяется дисперсия для отдельных частей совокупности:

σ(ξ общ ) = D( ξобщ )

σ - общее среднеквадратическое отклонение, γ - уровень выполнения обязательств по выплатам страховой компанией. Каждая страховая компания определяет для себя различный уровень надежности выполнения обязательств (который, однако, должен быть не ниже регламентируемого Страхнадзором). Если уровень надежности равен, например, 99%, то получим:

α (99%) = 2,33.

Здесь, согласно закону больших чисел, использована нормальная аппроксимация, и соответствующее табличное значение.

196

II.СПОСОБ заключается в том, что страховая надбавка устанавливается пропорционально индивидуальной дисперсии выплат,

т.е.:

∆j = k2Dξj k = σобщ. α(γ)

Dобщ.

∆j = σобщ.α(γ) Dξj.

Dобщ.2

Недостатком этого способа является несоответствие единиц измерения: страховая надбавка измеряется в единицах дисперсии, т.е. в руб2. (Это учитывается в размерности коэффициента k).

III.СПОСОБ заключается в том, что страховая надбавка пропорциональна среднеквадратическому отклонению, т.е.:

Этот способ используется наиболее часто.

Интересно отметить, что, в принципе, можно ориентироваться на равенство надежностей в каждом субпортфеле. Однако, это приводит к результатам, аналогичным для 3-го способа. Если субпортфели недостаточно многочисленны, что не позволяет использовать нормальную аппроксимацию, актуарий вынужден опираться на процентные точки распределения суммарного ущерба. Это несколько усложняет аналитические выкладки, но на практике вполне достаточно численных результатов, полученных на компьютере.

В этой книге проиллюстрировано на численном примере различие получаемых при этих подходах значений рисковых надбавок для отдельных субпортфелей. При этом прокомментированы интересы самого страховщика и отдельных групп страхователей.

197

расходов и комиссионных определяет прибыль или убытки на этой статье.

Эксцедентный предусматривает для каждого риска удержание не более определенной максимальной суммы (различающейся по классам риска). Избыточная часть риска передается до определенного предела (например, до 10-кратного удержания). Премии и возмещения делятся пропорционально отношению страховых сумм. Есть комиссия.

Три основных непропорциональных договора:

−эксцендент убытка,

−эксцендент убыточности,

−перестрахование наибольшего убытка.

В договорах эксцендента убытка от каждого страхового возмещения, превышающего приоритет («первый риск» или удержание передающей компании, согласно договору) перестраховщик оплачивает превышение, ограниченное пределом («вторым риском») или размером перестраховочного покрытия. Возмещение рассчитывается на полис, на риск или на событие. Различают покрытия: рабочее и чрезвычайное в зависимости от ответственности (по одному риску или по нескольким). Поэтому покрытие на полис или на риск - всегда - рабочее, а на событие может быть и рабочим и чрезвычайным.

Имеет место постоянная ставка перестраховочной премии - фиксированный процент от исходной премии.

При переменных условиях договора отметим скользящую шкалу, где перестраховочная премия это сумма страховых возмещений по договору эксцедента убытка в процентах к исходному объему премии плюс нагрузка в некоторых пределах (премия = 1,25 горящей стоимости, но в пределах от 4% до 9%).

Договор эксцедента убыточности (стоп лосс) максимально обеспечивает стабилизацию нетто результата (ограничение годовых убытков передающей компании). Перестраховщик оплачивает (до определенного предела) сумму всех страховых возмещений, превышающую определенный процент от исходного объема премии

(удержание - точка стоп лосс), (покрытие = 50% сверх 110% от исходного объема премии).

Обычно ставка - постоянна, встречаются и переменные (например, при страховании от града), вычисляемые по данным прошлых лет.

Перестрахование наибольших убытков предусматривает выплату определенного числа наибольших возмещений (3) за год. Возможна комбинация с договором эксцедента убытка (за каждое из трех наибольших возмещений выплачивается превышение над суммой в 1 млн., но не более 10 млн. за все три). Иногда комбинируют с договором стоп лосс (выплачивается часть суммы трех максимальных страховых возмещений от 4% до 10% исходного объема премии).

Договоры о перестраховании могут заключаться для предотвращения разорения вследствие катастрофических выплат,

199

которые практически непредсказуемы. Например, страховая компания заключает договор о непропорциональном эксцедентном

перестраховании, согласно которому уровень собственного удержания составляет 10000 у.е. Это означает, что при возникновении больших убытков (превышающих указанную сумму) страховщик выплачивает из своих средств только эти 10000, а все, что больше этой суммы, оплачивает перестраховщик. Для определения цены договора о перестраховании необходимо распределение большого ущерба. (Рис. 11.1.).

вероятность

Рис. 11.1

Очевидно, рисковая премия при перестраховании будет равна математическому ожиданию ответственности перестраховщика, которое, в свою очередь, составит интеграл по отрезку, определяемому границами ответственности перестраховщика:

∫b x p(x) dx , a = min x, b = max x

a

Отметим, что возможно и пропорциональное перестрахование (которое может относиться ко всему диапазону ущерба или к некоторой его части, и в частности, может быть кусочным).

Рассмотрим математический аппарат непропорционального (эксцедентного) перестрахования.

Пусть X - размер требования, M - уровень собственного удержания, Y - выплата страховщика, Z - выплата перестраховщика, тогда: X=Y+Z.

Если X<M, то Y=X, Z=0; а если X>M, то Y=M, Z=X-M;

Для страховщика эффект данного вида перестрахования состоит не только в уменьшении средних значений страховых выплат, но еще и в уменьшении дисперсии страховых выплат, что создает предпосылки для снижения надбавки на безопасность.

Покажем, что M(Y)<M(X), D(Y)<D(X).

До перестрахования: M(x) = ∞∫x f(x) dx

0

200