страхование для выдачи студентам / Элементы страховой математики

обойтись без перестрахования (или повысить надежность, или снизить надбавку, повысив тем самым свою конкурентоспособность).

Пример 4. Возможен (но на практике не используемый) “экзотический” перестраховочный договор, где при m > np = 110 весь ущерб оплачивает перестраховщик, а страховщик, соответственно, от выплаты возмещения освобождается. Это приведет к тому, что средний риск страховщика уменьшится на 12.03 (т.е. составит всего 95.9412.03=83.81), а средний риск перестраховщика на столько же увеличится (и будет равен 12.71). Естественно, такая ситуация невыгодна обеим сторонам, т.к. существенно увеличивается риск перестраховщика и плата за него.

Виден парадокс: при ответственности перестраховщика за 6 случаев (от 111 до 117), его ожидаемый риск составит 12.7! Кроме того, при приближении числа случаев к 110 (например, 109) у страховщика

появляется заинтересованность в том, чтобы произошли еще 2 случая,

т.к. если n > 110 (например, 111), то весь ущерб оплачивает перестраховщик! Это объясняет, почему такие договора не практикуются.

Понятно, что можно установить нижнюю границу ответственности перестраховщика и не 110, тогда будет другая плата за договор. Перебрав все возможные варианты, стороны выбирают наиболее приемлемый.

Отметим, что в принципе возможно выполнение расчетов и на локальной теореме Лапласа. Без использования ПЭВМ этот путь более трудоемкий, но при наличии соответствующих программ – возможен. Но результаты будут несколько иными.

Пример 5. Составим вспомогательную таблицу, где указаны :

Для дальнейших расчетов понадобится еще одна таблица, где по

151

строкам указана нижняя граница ответственности перестраховщика, а по столбцам – число фактически предъявленных требований (и соответствующие вероятности). Здесь внутри таблицы указано число страховых случаев, оплачиваемых перестраховщиком.

Для подсчета среднего риска перестраховщика при каждом уровне удержания (строке) найдем сумму произведений чисел в этой строке (объем передаваемого риска) на соответствующую вероятность, (например, нижняя граница равна 100):

0.042 1 + 0.042 2 + 0.041 3 + … + 0.014 15 + 0.012 16 + 0.010 17 = 3.405.

Это и будет ожидаемый риск перестраховщика, если его нижняя граница ответственности равна 100, а верхняя 116 (17 единиц).

Получим соответственно:

3.405 2.927 2.491 2.097 … 0.120 0.068 0.032 0.010

(Отметим, что в каждой строке эта сумма уменьшается на сумму вероятностей от этого столбца до последнего, например, первая сумма равна:

0.042 + 0.042 + 0.041 +…+ 0.014 + 0.012 + 0.010 = 0.478;

следующая сумма на 0.042 меньше, т.е. 0.436 и т.д. Эти суммы :

0.478 0.436 0.394 0.353 … 0.052 0.036 0.022 0.010

могут быть использованы для упрощения расчетов.)

В частности, если ответственность перестраховщика от 111 до 116, то его средний риск равен 0.283, что несколько отличается от найденного ранее 0.24, что объясняется различием подходов в интегральной теореме Лапласа (для непрерывной случайной величины) и в локальной теореме (для дискретной величины).

Замечание. Если нормальным законом аппроксимируется непрерывная случайная величина, например, общий объем убытка в портфеле, то интегральная теорема имеет традиционный вид, при этом интегрирование ведется по отрезку (a,b). Здесь не возникает никаких нюансов. Но иногда эту задачу модифицируют. Если ущерб фиксирован и одинаков, то можно оперировать числом страховых случаев. Задача становится дискретной. Общий объем выплат и величина запаса – кратны страховой сумме. Здесь возникает нюанс. Прежде всего, необходимость округления только в большую сторону. Кроме того,

152

результаты можно получить не только по интегральной, но и по локальной теореме. P(m1 ≤ m ≤ m2) по локальной теореме определяется, как сумма (m2 – m1 + 1) слагаемых. А по интегральной теореме традиционная формула приводит к интегрированию по отрезку длиной (m2 – m1), т.е. на 1 короче. Естественно, результаты различаются. Этот эффект в теории вероятностей известен. И для его устранения отрезок интегрирования расширяют: (m1 – 0.5; m2 + 0.5). Тогда расхождения существенно уменьшаются и сводятся к замене суммы интегралом. В качестве упражнения рекомендуется исследовать данный пример с указанным уточнением. Например, отрезок (110, 116) надо заменить отрезком (109.5; 116.5). Формулы и техника вычислений сохраняются. Но результаты несколько изменятся.

9.2. Пример комплексного решения основных актуарных задач (надбавка, начальный резерв, перестрахование, вероятность разорения) с использованием пуассоновской аппроксимации Пример 6. Пусть портфель состоит из 1000 договоров с

одинаковыми вероятностями страхового случая 0.01 и страховыми суммами в 1 единицу страховой суммы. Решение. Нормальный закон неприменим, но возможна аппроксимация законом Пуассона, для которой получим:

Из распечатки видно, что средний размер выплат равен 10 и что с вероятностью 0.58 фактический размер выплат не должен превзойти это

153

значение. Пусть надбавка составляет 10%. тогда будет собрано в виде премий не 10 е.с.с., а 10+1=11 е.с.с. Это позволит поднять надежность до 70%. Однако вероятность разорения остается слишком большой (30%)

что неприемлемо, а возможность повысить надбавку исчерпана из-за конкуренции. Поэтому компания вынуждена использовать собственные средства.

Например, если начальный резерв составит 4 е.с.с., то он повысит надежность до 95% . Этого явно недостаточно. Но с другой стороны, начальный резерв уже составил 4/10 = 40% от собранных премий. Повышать его дальше нецелесообразно. Отметим, что за счет резерва в 7 е.с.с. можно повысить надежность до 99% .

(Ранее отмечалось, что добиться 100% надежности практически невозможно. Для этого в данном примере нужен запас в 989 единиц, тогда можно обойтись без надбавки, но когда свои средства в 90 раз превышают собранные взносы, страхование теряет смысл бизнеса и превращается в благотворительность.)

Итак, дальнейшее (после 95%) повышение надежности возможно только путем перестрахования. Рассмотрим различные варианты эксцедентного перестрахования.

Пример 6-1. Перестраховщик берет на себя ответственность за те страховые случаи, обязательства по которым не в состоянии выполнить его клиент (основной страховщик), т.е. за случаи от 16 и далее. Здесь, в принципе, возможны варианты:

-повысить надежность до 0.99 - случаи 16, 17, 18;

-повысить надежность до 0.999 - случаи 16 - 21;

-повысить надежность до 1. - случаи 16,17,18, ..., 1000.

(ранее отмечалась принципиальная невозможность обеспечить 100% надежность, т.е. оплату возмещений всех N случаев).

Сколько должен заплатить страховщик перестраховщику за перераспределение риска в каждом варианте? Для этого надо определить математическое ожидание ответственности перестраховщика.

В первом варианте перестраховщику, возможно, придется

Имеем дело с тремя несовместными событиями, из которых может одновременно реализоваться не более одного. Поэтому МО выплаты равно:

1 0.0217 + 2 0.0128 + 3 0.0071 = 0.0686

Это и есть рисковая премия за перестрахование. На практике цена перестрахования также включает рисковую надбавку, но есть и скидка, точнее, комиссионные, которые платит перестраховщик своему клиенту (основному страховщику - цеденту) за то, что тот пришел именно к

154

нему (не надо искать своего клиента). Обычный страховщик сам ищет своего страхователя.

Будем считать, что относительная рисковая надбавка у перестраховщика (для рассматриваемого риска) составляет 15%. Он обязан обеспечить более высокую надежность, чем цедент (основной страховщик). Комиссионные составят 2% (от рисковой премии).

Замечание. В реальности комиссионные предоставляются в процентах от тарифа (т.е. брутто-взнос уменьшается на процент этих комиссионных). Например, если доля нагрузки в тарифе страховщика составляет 8%, а комиссионные рассчитываются на этапе нетто-премии, то нетто-ставка перестрахования составит: 1 + 0.15 – 0.02 = 1.13 от рисковой ставки, а брутто-ставка равна: 1.13/(1 – 0.08) = 1.228 рисковой ставки. Если же эти 2% вычитаются на этапе брутто-ставки, то бруттоставка составит: 1.15/0.92 – 0.02 = 1.230 от рисковой ставки (несколько выше, как и следовало ожидать!).

Есть еще один нюанс. Цедент оплачивает перестраховщику его брутто-премию. Возникает вопрос: из каких своих средств? (из своей нетто-премии или брутто-премии?). может ли он использовать для оплаты перестрахования собранную с портфеля нагрузку? (или часть ее?) Истрачена ли вся собранная им нагрузка? Расходы на ведение дела имели место. Но часть риска «ушла»! Поэтому резонно считать, что соответствующую часть прибыли (заложенную в нагрузку) цедент не заработал, т.е. эта часть нагрузки может быть использована для оплаты перестрахования. А как разделить между цедентом и перестраховщиком расходы на превентивные мероприятия? И соответствующую часть нагрузки? Есть и другие вопросы. Все это на практике решается не столько на математических принципах, сколько на конъюнктурных (рыночных, особенно, в современных российских условиях), с учетом ситуации на основном страховом рынке и на перестраховочном.

Поэтому в рамках данного учебного курса эти вопросы не рассматриваются. Мы ограничиваемся расчетом нетто-премий и считаем, что цедент оплачивает нетто-премию перестраховщика из своей нетто-премии. В данном примере нетто-премия цедента составляет 1.10 его рисковой премии, а нетто-премия перестраховщика (после вычета комиссионных) равна 1.13 рисковой премии, которая одинакова (у цедента и перестраховщика).

В /8, 11/ , чтобы не загромождать пример, в начале предполагалось, что эти две составляющие (надбавка перестраховщика и его комиссионные цеденту) компенсируют друг друга. (Далее это упрощение подверглось критике).

Итак, перестрахование одной единицы риска стоит дороже страхования этой же единицы риска в основном договоре. Понятно, что в этих условиях передать на перестрахование конкретный риск для цедента нецелесообразно. Поэтому он передает на перестрахование превышение потерь, т.е. ситуацию, когда в портфеле возникло больше

155

страховых случаев, чем ожидалось. Согласно договору, перестраховщик оплачивает возмещение только по нескольким следующим страховым случаям. Вероятность большого отклонения числа произошедших страховых случаев от ожидаемого – достаточно мала, поэтому плата за перестрахование становится умеренной и приемлемой.

Возвращаясь к примеру, получим: если рисковая премия в договоре о перестраховании случаев № 16 – 18 составила 0.0686 е.с.с., то нетто-премия равна:

0.0686×1.13 = 0.0775 е.с.с.

Во втором варианте сумма несколько увеличится за счет случаев

получим: 0.0686 + 4 0.0037 + 5 0.0019 + 6 0.0009 = 0.0983

Аналогично, нетто-премия: 0.0983*1.13 = 0.1111.

В третьем варианте расчеты по данной схеме достаточно громоздки, однако можно рассуждать иначе. Известно, что ∑(k Pk)=λ=10. Поэтому искомая величина может быть представлена в виде:

=(10-9.13) - 15 (1-0.95126) = 0.83 - 0.73 = 0.10

Вданном примере цена перестрахования достаточно мала, поэтому возникает возможность переложить на перестраховщика весь риск сверх среднего (10 случаев) и расплатиться с ним за счет рисковой надбавки (то есть без привлечения своих средств). Если это пройдет, то своих денег вкладывать не придется (резерв не нужен). Более того, возможно, даже удастся получить прибыль или снизить рисковую надбавку, и тем самым, свой тариф (повысить конкурентоспособность).

Теперь страховщик рассуждает иначе. Он собирает (исходя из

принципа эквивалентности риска) суммарную премию в λ=10 е.с.с. А весь последующий риск хочет переложить на перестраховщика, который будет оплачивать случаи с 11 по 1000 и в среднем заплатит:

Аналогично вышеизложенному получим:

(10-4.58) - 10 (1-0.583) = 5.42 - 4.17 = 1.25

Именно эту сумму 1.25 е.с.с. надо заплатить за перестрахование (в качестве рисковой премии). А нетто-премия составит: 1.25×1.13 = 1.4125 е.с.с. Конечно, хотелось бы ее полностью переложить на страхователя,

156

назначив надбавку на безопасность в размере 14.5%, но из соображений конкурентоспособности придется часть этой суммы платить самому. А тогда, в среднем, страховщику не хватит собранных премий (11) на выполнение своих обязательств (10) и оплату услуг перестраховщика (1.41). Дефицит составит 0.4125 е.с.с. Он будет медленно, но верно разоряться.

Поэтому страховщик вынужден пойти по пути удешевления перестрахования, то есть передать перестраховщику меньшую часть риска (за меньшую плату), а образовавшийся зазор закрыть своими средствами. Подразумевается, что если собранных средств достаточно для выполнения своих обязательств и оплаты перестрахования, то свои средства расходуются и пополняются так, что их величина, в среднем, не убывает.

Итак, в данном примере, поскольку страховщика не устраивают ни вариант передачи на перестрахование всех случаев после 10 (из-за дороговизны), ни вариант передачи всех случаев после 15 (из-за необходимости иметь большой резерв), то остается перебрать промежуточные варианты и выбрать наиболее приемлемый.

Пример 6-2. Напомним, что если страховщик оставляет себе риск до случая (m>λ) включительно, а все случаи (k > m) передает перестраховщику, то средний риск перестраховщика определяется по формуле:

Чтобы не загромождать текст расчетами, приведем лишь сводные

Нетто-премии получены на основе рисковых премий: 0.837, 0.537, 0.317, 0.180 умножением на 1.13. Видно, что плата за перестрахование (при увеличении уровня собственного удержания) последовательно снижается (причем по нелинейному закону) на: 0.946 – 0.609 = 0.335;

0.609 – 0.358 = 0.251; 0.358 – 0.203 = 0.155.

Для выбора оптимального варианта надо знать, под какой процент можно разместить свои свободные средства. Если 1 е.с.с., размещенная под процент, приносит доход больший, чем «экономит» на перестраховании, то надо сокращать свои средства. А иначе, наоборот, увеличивать свои средства, уменьшая оплату перестрахования.

Это означает, что если цедент может разместить свои временно свободные средства под 34%, то ему целесообразно остановиться на варианте, где он удерживает за собой случаи до 11-го включительно, а

157

весь последующий риск (начиная с 12-го) передает на перестрахование. Т.к. одна высвобожденная из резерва е.с.с. позволит компенсировать плату за перестрахование.

Если процентная ставка (при размещении своих средств) составит от 25% до 33%, то целесообразно увеличить уровень собственного удержания до 12 случаев. Следующее изменение политики при

16% < i < 25%, и т.д.

Замечание. В таблице указана величина начального резерва, однако, в него включен остаток от надбавки после оплаты услуг перестраховщика. Поэтому собственные средства страховщика, вложенные в резерв, несколько меньше, они соответственно равны: 0.946, 1.609, 2.358, 3.203. Следовательно, при оценке эффективности своих возможных инвестиций страховщик в знаменатель помещает не всю величину резерва, а только свой вклад в резерв, например,

(0.946 - 0.609) / (1.609 - 0.946) = 0.335/0.663 = 0.51 = 51% .

То есть границы процентных ставок, определяющие различные стратегии поведения, несколько изменятся.

Замечание. Разумеется, в практических задачах λ не обязано быть целым числом. Более того, относительная рисковая надбавка не обязана быть достаточно круглой, как и объем портфеля. Тогда возникают некоторые нюансы. Их следует учесть, потому что иначе неточности могут привести не только к техническим ошибкам, но и к неверным, в принципе, выводам. Покажем некоторые моменты. Прежде всего, собранные нетто-взносы, как правило, не кратны страховой сумме, выплачиваемой при наступлении страхового случая. Но здесь округление промежуточных результатов до целого иногда необходимо (надо обеспечить выплату возмещения для 13 случаев, а не для 12.7), а иногда недопустимо (нельзя проигнорировать возникшую возможность увеличить резерв на 0.3 е.с.с.). В примере расчеты выполнены с точностью до 0.001, этого достаточно для подобного учебного примера, но на практике может потребоваться более высокая точность.

В /8, 11/ рассмотрен «комплексный пример», где приведены некоторые отклонения от рациональных условий договора, близких к реальным. В частности, показано, что если перестраховщик назначит слишком маленькую надбавку (причины снижения надбавки для повышения конкурентоспособности и последствия аналогичны ситуации у основного страховщика), то возможна ситуация, когда перестрахование станет дешевле страхования, тогда цедент может собрать взносы, передать риск перестраховщику, а прибыль оставить себе. Ясно, что это – нереально. Поэтому в учебном курсе проиллюстрировано соотношение между надбавками у цедента и у перестраховщика. Показано, что надбавка перестраховщика всегда

158

выше, но соизмерима с надбавкой цедента. Иначе нет риска, который можно перестраховать на этих условиях.

Пример 7. Пусть λ=6.4 , надбавка 10%, тогда всего собрано взносов 6.4 1.1 = 7.04. Это позволяет выплатить возмещение до седьмого случая включительно. Если страховщик оставляет себе риск до шестого случая включительно, а все следующие (начиная с седьмого) передает на перестрахование, то для оплаты услуг перестраховщика он располагает суммой 7.04 - 6 = 1.04, которой более, чем достаточно.

Здесь важно отметить, что страховщик может оставить себе риск меньше, чем собранная рисковая премия, (6 < 6.4), однако, в этом примере (где страховые суммы у всех страхователей одинаковы) оставляемый риск ‘равен’ числу страховых случаев, поэтому должен быть целым числом. Оставленный риск может быть равным даже 5, выгодно ли это страховщику - другой вопрос!

Итак, λ=6.4 означает только, что в среднем за много лет ежегодная выплата возмещений составит 6.4 е.с.с., но величина резерва и плата за перестрахование зависят от λ лишь косвенно, через величины оставляемого и передаваемого риска.

Учитывая все изложенное, ясно, что нецелесообразно округлять собранную сумму взносов 7.04 до 7. Даже при том, что малая разность 0.04 не должна привести к принципиальным расхождениям.

Пример 8. Возможна и другая ситуация λ=12.4, тогда λ 1.1=13.64, и если страховщик оставляет себе риск до 12-го случая включительно, то у него остаются средства в размере 13.64 - 12 = 1.64 , а не 1.0 . Это расхождение может привести к принципиальным расхождениям. Например, суммы 1 недостаточно для оплаты договора о перестраховании, следовательно, страховщик обязан создать начальный резерв из своих средств, то есть отвлечь в резерв определенную сумму, которую он мог бы выгодно инвестировать. А остатка 1.64 ему вполне достаточно для покупки перестраховочного договора (возможно, даже при более высокой надежности) поэтому он не станет создавать резерв и нести убытки из-за этого.

Если актуарий “не заметит” этого различия, он нанесет убыток компании (и своей репутации). Очевидно, противоположная ошибка (рекомендация отказа от создания начального резерва при наличии объективной необходимости в нем) может привести страховую компанию к катастрофе.

Замечание. В данном примере до сих пор неявно предполагалось, что страховщик оставляет себе риск до среднего, а передает на перестрахование риск выше среднего. Более того, расчеты показали, что страховщику может недоставать рисковой надбавки для оплаты

159

договора о перестраховании. Тогда он вынужден сдвигать вправо границу передаваемого риска (левую границу зоны ответственности перестраховщика). А зазор между риском, покрываемым за счет собранных премий, и риском перестраховщика необходимо закрыть за счет своего резерва, то есть вложить свои средства.

Но ведь никто не запрещает страховщику передать на перестрахование и часть риска до среднего. Идея такого подхода в том, что высвобождаемых средств страховщика может быть больше, чем увеличение платы за перестрахование. Тогда будет возможным оплата перестраховочного договора за счет собранных взносов. Следовательно, отпадет необходимость в создании своего резерва. Требуется только соответствующее актуарное обоснование такого решения.

Пример 9. Вероятность неразорения 0.9 . Цена перестрахования при передачи страховых случаев от 10-го до 14-го включительно составит:

−9 (0.125 +0.114 + 0.095 + 0.073 + 0.052) = 5.036 −9 0.459 < 1.

Ау страховщика остается 11-9=2 е.с.с. Он может оплатить договор

иу него еще останется сумма: 2-0.905=1.095. Если он передает и 9-й страховой случай, то после соответствующих расчетов видно, что у страховщика останется 1.418 е.с.с. - больше, чем в предыдущем случае. Получается, что чем больше риска страховщик передает на перестрахование, тем в большем выигрыше он остается. Конечно, перестрахование стабилизирует ситуацию, значительно снижает риск разорения, способствует снижению своих резервов. Но с точки зрения здравого смысла возникает некоторое противоречие. Не должно быть так, что чем меньше риск, тем больше прибыль.

Следовательно, в наших рассуждениях допущена ошибка. Очевидно, назначенная нами произвольно рисковая надбавка внесла свой вклад в получение этих парадоксальных результатов. Мы предположили, что у перестраховщика комиссионные компенсируют его надбавку. На практике, наверное, не вполне, то есть перестрахование стоит несколько дороже.

В дальнейшем будет показано, что рисковая надбавка в перестраховании при одинаковой рисковой премии несколько выше, чем

вобычном страховании. Например, в страховании надбавка 10%, в перестраховании 15%, а комиссионные 2%, то есть у перестраховщика остается еще 3% . Это связано с тем, что на перестрахование передаются

восновном, большие риски.

Наконец, в практическом страховании есть целый ряд факторов, влияющих на выбор стратегии поведения на страховом рынке. Мы в нашем примере этого учесть просто не в состоянии.

160