страхование для выдачи студентам / Элементы страховой математики

Теперь приравниваем: П×7.48 = S×0.38, т.е. П = S×0.051, т.е. 51тыс. Номинально за 10 лет внесено 510 тыс.

Оказывается, при том же условии (страховой случай возможен 1 раз в 100 лет) рисковая премия равна не 1% от страховой суммы, а чуть больше 5% от нее. Причины этого кажущегося парадокса: другой закон распределения и временной интервал, отличный от 100 лет! Мы изменили схему, оставив только первый (10 летний) период.

Замечание. Попробуем рассуждать иначе. Пусть за 100 лет страховой случай произойдет с вероятностью 0.999 (практическая достоверность) или не произойдет с вероятностью 0.001 (практическая невозможность). Тогда при t = 100 (лет) имеем:

(1 – exp(-a×t)) = 0.999, т.е. exp(-a×t) = 0.001, тогда a = 0.0691.

Получается совсем другая интенсивность и, соответственно, другие вероятности. Следовательно, другое соотношение между рисковой премией и страховой суммой. (Расчеты предлагается выполнить самостоятельно, в качестве упражнения)

Наконец, если в качестве отправной точки (практической достоверности) взять не 0.999, а 0.99 (т.е. снизить требования к достоверности наших результатов), то получим: a = 0.046, а если, наоборот, повысить требования и задать в качестве практической достоверности 0.9999, то a = 0.093.

Таким образом, видно, что формулировка «событие происходит 1 раз в 100 лет» совершенно не информативна, т.к. допускает различные толкования. Требуется более четкое предположение о законе распределения.

8.4.Страхование риска невозвращения кредита

Коммерческий банк принял вклад размером «А» на 1 год под i1 % годовых. Т.е. через год он обязан вернуть клиенту сумму: A(1 + i1). Одновременно он такую же сумму А выдал в качестве кредита (на тот же срок) под i2 % годовых. Поскольку в обоих договорах срок – 1 год, то проценты – простые. Найти прибыль банка (до выплаты налогов на прибыль), если все стороны выполнят свои обязательства (издержками пренебречь).

A(1 + i2) – A(1 + i1) = A(i2 – i1)

В действительности банк должен считаться с возможностью возникновения ситуации, когда он не получит выданного кредита (с процентами), например, из-за разорения своего клиента. Поэтому банк хочет застраховать риск невозвращения кредита своим клиентом и обращается к страховщику за соответствующей страховой защитой.

Проанализируем позиции сторон. Банк стремится зафиксировать размер своих убытков на уровне страхового взноса. Естественно, для него ситуация приемлема, если этот страховой взнос меньше ожидаемой

131

прибыли A(i2 – i1). Имея общие представления о процессе страхования, банкир проводит свою оценку надежности своего клиента, чтобы оценить вероятность невозвращения кредита. Но он не имеет представления об общей ситуации с невозвращением кредита и о вызванных этим потерях страховщика.

Страховщик, наоборот, менее информирован о надежности конкретного получателя кредита, но имеет сведения о частости невозвращения кредита и о размере этого невозвращенного кредита. Здесь надо отметить один нюанс. У страховщика есть оценка вероятности невозвращения кредита (случайное событие) и оценка распределения своего ущерба, если произошел страховой случай (т.е. условное распределение случайной величины). А банкира не интересует процесс невозвращения кредита «вообще». Его интересует ситуация именно в его конкретном случае для выданной суммы «А», которую он рассчитывает получить (с процентами на нее): A(1 + i2).

Поэтому страховщик решает предварительную (вспомогательную) задачу: определяет апостериорную (Байесовскую) вероятность невозвращения кредита конкретного размера.

Естественно, оценки вероятности, определенные страховщиком и банкиром, могут не совпасть. Если банкир получил большее значение вероятности, он согласится на условия страховщика (но должен задуматься о причинах расхождения). А если он получил меньшее значение (и расхождение – существенное), то он имеет несколько вариантов. Можно: а) поискать другого страховщика (у которого более благоприятная статистика и потому – ниже тарифы); б) рискнуть и оставить часть риска на своей ответственности (и тем самым уменьшить плату за страхование); в) поверить страховщику и либо отказать просителю кредита, либо изменить условия его предоставления, и т.д.

Ясно, что в этой задаче нас интересует только ситуация, когда банкир и страховщик пришли к согласию и заключили договор. Т.е. банкир отдал часть своей ожидаемой прибыли страховщику в обмен на страховую защиту. Для этого они согласовали вероятность страхового случая с этим кредитом. Далее расчеты идут по общей схеме.

Рассчитывается математическое ожидание потерь банка:

A(1 + i2) Pг , затем дисперсия: A2(1 + i2)2 Pг (1 – Pг ) и среднее квадратическое отклонение: A(1 + i2) Рг (1 − Рг) .

МО потерь характеризует рисковую премию при полной защите, а СКО служит для оценки рисковой надбавки, обеспечивающей определенную надежность (вероятность неразорения: 1-ε). Если у страховщика n аналогичных договоров, то относительная рисковая надбавка равна:

132

Как ранее показано, первый сомножитель характеризует надежность, второй – степень риска в одном договоре, третий – объем портфеля.

Нетто-премия получается из рисковой премии умножением на (1 + Θ), а брутто-премия получается из нетто-премии делением на (1 – f), где f – доля нагрузки на ведение дел в тарифе.

Замечание. Здесь использовано упрощающее предположение о наличии у страховщика портфеля из n аналогичных рисков. Ясно, что даже при наличии качественной однородности обеспечить количественную однородность (равенство размеров выданных кредитов и вероятностей невозвращения у различных клиентов разных банков) – очень трудно. Наконец, сроки договоров о выдаче кредитов не совпадают между собой и с календарным годом (или даже с месяцем). Следовательно, в определенный момент (или промежуток) времени можно говорить лишь о некоторой интенсивности потока страховых случаев во всем страховом портфеле и вызванными этим потоком выплатами возмещений.

Поэтому страховщик вынужден работать не с отдельными рисками, а со всем портфелем. Он анализирует весь объем ответственности (сумму страховых сумм) и всю собранную неттопремию. И решает, какую надежность (для всего портфеля) обеспечивает вся собранная рисковая надбавка. А затем распределяет суммарную надбавку между субпортфелями и далее между отдельными своими клиентами.

На практике страховщик может опираться на усредненные значения страховых сумм и вероятностей невозвращения кредита (т.е. возникновения страховых случаев), но заложить в расчеты более высокую надежность (1 – ε). Кроме того, страховщик не обязан принимать на себя весь риск. Можно потребовать, чтобы банкир оставил часть риска (20% - 40%) на своей ответственности (пропорциональный договор). Это повышает осмотрительность банкира при выдаче кредита.

При всей условности изложенного подхода, он, в первом приближении, неплохо иллюстрирует характер взаимоотношений сторон (банкира и получателя кредита, банкира и страховщика).

Проиллюстрируем сформулированные рекомендации на числовом примере. Чтобы абстрагироваться от инфляционных процессов и проблем, вызванных изменением курса валют, будем составлять (и анализировать) все договоры в твердой валюте.

Этот большой пример 6 разобьем на составляющие.

Пример 6-1. Банк получил от вкладчиков 10 млн. у.е. сроком на 1 год под 6% годовых. И одновременно выдал ту же сумму в кредит на один год под 36% годовых.

133

Если процессы – детерминированные, то все обязательства безусловно выполняются, поэтому через год банк получит за выданный кредит: 10×1.36 = 13.6 млн., а выплатит вкладчику: 10×1.06 = 10.6 млн. Следовательно, его прибыль (не учитывая издержки и налоги) составит: 3 млн.

Замечание. В данной ситуации не вполне оправдано столь существенное различие ставок: 6% и 36%. Можно предположить, что банк пытается таким образом обеспечить «самострахование» от риска невозвращения выданного кредита. Т.е. появляется элемент риска, процесс перестает быть детерминированным и превращается в стохастический.

Пример 6-2. Есть риск невозвращения кредита. Банк оценивает вероятность этого случайного события в 0.05. Следовательно, банк либо получает прибыль в 3 млн. с вероятностью q = 0.95, либо терпит убыток в 10.6 млн. с вероятностью р = 0.05.

Тогда математическое ожидание его прибыли составит:

3.0×0.95 + (-10.6) ×0.05 = 2.85 – 0.53 = 2.32,

т.е. ожидаемая прибыль уменьшилась на 19%. И появился риск понести существенные убытки.

Банкир решил зафиксировать свои убытки с помощью страхования риска невозвращения кредита (сроком на 1 год). Страховщик оценивает вероятность подобного страхового случая в 0.05 (как и банкир – страхователь). По этим рискам у страховщика рисковая надбавка составляет 40% от рисковой премии, а доля нагрузки в тарифе равна 20%. Согласно договору, при наступлении страхового случая (если банк не получит от своего клиента через год 13.6 млн.), страховщик компенсирует этот ущерб полностью (по окончании срока действия договора).

Замечание. Строго говоря, современная цена суммы 13.6, выплаченной через год, равна 13.6/1.06= 12.83. Поэтому единовременная премия должна вычисляться, исходя из этого значения величины ущерба. Но в имущественном страховании страховщику предоставлено право (но не вменено в обязанность!) не дисконтировать размер страхового возмещения, т.е. он может определять взнос, опираясь на 13.6 (вместо 12.83). Как это отразится на его конкурентоспособности – другой вопрос!

Страховщик принял риск размером 13.6, поэтому его рисковая премия составит: 13.6×0.05 = 0.68 млн.

Нетто-премия равна: 0.68×1.4 = 0.95, и брутто-премия:

0.95/(1 – 0.2) = 1.19 млн. Это и есть зафиксированный убыток банкира. Поэтому теперь он имеет гарантированную прибыль в размере:

134

3.0 – 1.19 = 1.81 млн.

Банкир поделился прибылью со страховщиком в обмен на получение гарантированной прибыли (которая стала существенно меньше не только «детерминированной», но и «ожидаемой»). Конечно, мы не учитываем ситуацию, когда в течение 1 года разорятся оба партнера банка: взявший кредит и страховщик.

Отметим, что можно было оперировать понятием «ставки», т.е. вероятность 0.05 в договоре с полной защитой играет роль рисковой ставки. Тогда нетто-ставка равна: 0.05×1.4 = 0.07, следовательно, брутто-ставка: 0.07/0.8 = 0.0875. единовременный страховой взнос равен: 13.6×0.0875 = 1.19 млн.

Теперь рассмотрим некоторые модификации данного договора.

Пример 6-3. Договор пропорциональной ответственности. Страховщик возмещает только 80% ущерба (20% остаются на ответственности самого страхователя, т.е. банкира). Тогда страховой взнос составит: 1.19×0.8 = 0.952 млн. А его ожидаемая прибыль:

13.6×0.95 – 10.6 – 0.952 – 13.6×0.05×0.2 = 12.92 – 11.552 – 0.136 = 1.23

Ожидаемая прибыль банкира уменьшилась в 1.5 раза по сравнению с договором о полной страховой защите (и вдвое по сравнению с ситуацией при отсутствии договора – п.2). Кроме того, появилась возможность понести серьезные потери при страховом случае:

10.6 + 13.6×0.8 – 0.952 = - 0.677 млн.

Поэтому банкир хотел бы уменьшить свою долю ответственности (с

20% до 10%).

Пример 6-4. Страховщик согласился на такое изменение условий договора. Тогда страховой взнос составит: 1.19×0.9 = 1.071 млн. Компенсация при страховом случае: 13.6×0.9 = 12.24 млн. Прибыль банка (при наступлении страхового случая) составит:

12.24 – 10.6 – 1.071 = 0.569.

(Банкир не имеет убытка даже при страховом случае!) Ожидаемая прибыль банкира:

13.6×0.95 – 10.6 – 1.071 – 13.6×0.05×0.1 = 1.181 млн.

Видно, что повышение надежности обеспечивается за счет уменьшения ожидаемой прибыли. Соответственно, стремление к увеличению прибыли снижает надежность, т.е. появляется опасность понести убытки. Здесь иллюстрируется действие фактора «готовность к риску».

135

Пример 6-4-а. Что получит страховщик? Нагрузка идет на ведение дела, поэтому учитываем только нетто-премию:

1.071×0.8 = 0.857 млн.

Его ожидаемые убытки равны рисковой премии:

13.6×0.05×0.9 = 0.608.

Разность: 0.857 – 0.608 = 0.249 (40% от 0.608) – это рисковая надбавка. Она и составляет ожидаемую прибыль страховщика.

Его потери при страховом случае: (- 12.24 + 0.863 = - 11.377 млн.) с вероятностью 0.05. А если случая не будет, страховщик «заработает» нетто-премию 0.863 с вероятностью 0.95.

Понятно, что страховщик тоже просчитал эти варианты и может потребовать не уменьшения, а увеличения доли ответственности страхователя (банкира) до 30%. В качестве самостоятельного упражнения предлагается проанализировать этот договор и его последствия для сторон.

Пример 6-5. Ранее указано на возможность несовпадения оценок вероятности страхового случая. Пусть страховщик оценил эту вероятность не в 0.05, а в 0.1. Если договор заключен на этих условиях, то брутто-ставка в договоре о полной защите равна: 0.1×1.4/0.8 = 0.175. Для суммы 13.6 взнос составит: 13.6×0.175 = 2.38 млн. Ожидаемая прибыль банкира: 13.6 – 10.6 – 2.38 = 0.62 млн. Уменьшилась в 4 раза по сравнению с отсутствием договора (п.2).

Пример 6-5-а. Если договор предусматривает пропорциональную ответственность страховщика на уровне 80%, то взнос:

1.36×0.8×0.1×1.4/0.8=1.904 , ожидаемая прибыль:

13.6×0.9 – 10.6 – 1.904 – 13.6×0.2×0.1 = - 0.53 млн. (убыток!). Но убыток может быть значительно выше: 13.6×0.8 – 10.6 – 1.904 = - 1.62 млн. (с вероятностью 0.1).

Видно, что при этой оценке вероятности страхового случая банкир должен стремиться к полной страховой защите.

Можно определить предел собственной ответственности, при котором банкир еще не будет в убытке при наступлении страхового случая. (Напоминаем, что мы игнорируем его издержки и налоги.)

Во всех предыдущих примерах анализировался договор с единовременной премией. Рассмотрим модификацию договора с рассрочкой взносов по кварталам. Очевидно, надо учесть изменение цены денег и риск недополучения страховщиком всех взносов из-за наступления страхового случая, например, во втором квартале.

Пример 6-6. При равномерном распределении вероятности страхового случая для каждого квартала вероятности равны:

р/4 = 0.05/4 = 0.0125.

136

Это позволяет найти вероятности отсутствия страховых случаев по кварталам: 0.9875; 0.975; 0.9625.

При простой процентной ставке 6% годовых коэффициенты дисконтирования для второго, третьего и четвертого взносов равны: 1/1.015; 1/1.03; 1/1.045 соответственно. Надо определить номинальный ежеквартальный взнос «п», современная цена которого равна цене единовременной брутто-премии «П» (1.19 млн.)

п + п×0.9875/1.015 + п×0.975/1.03 + п×0.9625/1.045 = п×3.8406 п×3.8406 = 1.19; п = 1.19/3.8406 = 0.310 млн.

Отметим, что общий номинальный взнос равен: 4×0.31 = 1.24, что несколько превышает единовременную премию 1.19. Более того, современная цена этих 4-х взносов:

п(1 + 1/1.015 + 1/1.03 + 1/1.045) = п×3.913 = 0.31×3.913 = 1.213

Это несколько больше единовременной премии (из-за риска недополучения всех взносов), но несколько меньше суммы номинальных взносов (из-за изменения цены денег).

Пример 6-7. Рассмотрим ситуацию, когда кредит возвращается не одним платежом ровно через год, а в виде нескольких платежей. Здесь возникает вопрос о процентах: когда и в каком размере они выплачиваются.

Пусть кредит 10 млн. предоставлен на 1 год, но возвращается частями: через 5 месяцев 50% взятой суммы, еще через 4 месяца – 30% взятой суммы, через 3 месяца – последние 20% взятой суммы и все проценты за взятый кредит.

Решение. Согласно теории процентной ставки /30/ первые 5 месяцев проценты наращивались на всю взятую сумму кредита. Наращенная сумма составила:

10×(1 + 0.36×5/12) = 10×1.15 = 11.5.

Из нее возвращено 5, остаток 6.5. За следующие 4 месяца эта сумма возросла до:

6.5×(1 + 0.36×4/12) = 6.5×1.12 = 7.26.

Из этой суммы возвращено 3, остаток 4.26 за последние 3 месяца увеличился до:

4.26×(1 + 0.36×3/12) = 4.26×1.09 = 4.64,

которые и должны быть возвращены кредитору (банку). Номинально банкир получит:

5 + 3 + 4.64 = 12.64.

Ясно, что ранее возвращенные суммы могут быть использованы для предоставления нового кредита (и получения дополнительной прибыли). Однако, все происходящее за пределами анализируемого договора нас не интересует. Чтобы учитывать недополученную прибыль, ее надо внести в договор.

137

Необходимо застраховать данный договор и проанализировать последствия для сторон.

Разобьем период действия договора о кредите (и соответственно, о страховании) на три этапа. Если страховой случай произойдет в течение первого этапа, то банкир ничего не получит от своего клиента. Поэтому при полной страховой защите страховщик должен компенсировать все потери банкира. Каков размер этих потерь?

Здесь требуется четкость в страховом договоре. Когда страховщик выплачивает компенсацию? Если фирма, взявшая кредит, потерпела крах и немедленно проинформировала об этом банк, который пришел к выводу о невозможности возврата кредита, и потому немедленно проинформировал о страховом случае страховщика, и в договоре предусмотрена немедленная выплата компенсации, то размер компенсации определяется по формуле: 10*(1 + 0.36×t/365), где t – число дней с начала действия договора (в пределах первого этапа). Получив эту сумму, банк может пустить ее в оборот.

Другая ситуация, если невозвращение первой части взятого кредита не считается неисправимым бедствием, а приводит к консолидации платежей и некоторым штрафным санкциям по отношению к должнику. Он лишь обязан полностью выполнить свои обязательства перед кредитором в конце года, консолидируя платежи (с учетом штрафа). И только, если в этот момент он не в состоянии возвратить сумму кредита плюс проценты плюс штраф, признается, что произошел страховой случай. У банка появляется возможность предъявить обоснованный иск о выплате страхового возмещения. Тогда считается, что исходная сумма 10 млн. предоставлена в кредит на 1 год под 36%, т.е. возмещается 13.6 млн. и из этого определяется страховой взнос.

Отметим, что 13.6 ≠ 12.64. Потому, что учитывается возможность инвестирования возвращенных средств на тех же условиях. (Страхование риска недополученной прибыли!)

Пример 6-7-а. Для первого этапа вероятность страхового случая равна: 0.05×5/12 = 0.021. Потери равны 13.6.

Если страховой случай произойдет во время второго этапа длиной в 4 месяца, (вероятность этого: 0.05×4/12 = 0.017), то банкир успеет получить первую выплату от своего клиента, т.е. его потери уменьшатся, так как полученную сумму он сможет инвестировать на тех же условиях. Итак, потери банкира:

13.6 – 5×(1 + 0.36×7/12) = 13.6 – 5×1.21 = 13.6 – 6.05 = 7.55.

Наконец, если страховой случай произойдет в течение третьего этапа (с вероятностью: 0.05×3/12 = 0.013), то потери банкира равны:

7.55 – 3× (1 + 0.36×3/12) = 7.55 – 3×1.09 = 7.55 – 3.27 = 4.28

138

Т.е. ту сумму, которую он должен был получить при возврате последней части кредита и всех процентов.

Теперь остается найти математическое ожидание потерь банкира:

13.6×0.021 + 7.55×0.017 + 4.28×0.013 = 0.470.

Это и есть рисковая премия. Далее находим нетто-премию:

0.47×1.4 = 0.658, и брутто-премию: 0.658/0.8 = 0.823. Видно, что этот договор о полной защите отличается от ранее рассмотренного договора. Разумеется, и здесь может быть условие о пропорциональной ответственности.

Пример 6-8. Представляется интересным рассмотреть ситуацию, когда стороны договорились считать, что возвращенная сумма не может быть сразу выгодно инвестирована. Поэтому она приносит не 36%, а только 6%. И из этого рассчитывается размер компенсации и цена страховой защиты.

Решение. При страховом случае на первом этапе ничего не меняется, т.е. размер компенсации 13.6. Но полученные 5 млн. за оставшиеся 7 месяцев превратятся в:

5×(1 + 0.06×7/12) = 5×1.035 = 5.175,

Поэтому потери банкира составят: 13.6 – 5.175 = 8.425 (вместо 7.55), что должно отразиться и на размере компенсации и на цене договора.

Соответственно, если страховой случай произойдет в течение третьего этапа, то потери равны:

8.425 – 3×(1 + 0.06×3/12) = 8.425 – 3×1.015 = 8.425 – 3.045 = 5.38 = 4.28 !

Здесь сразу видна порочность этого подхода, опирающегося на «двойной стандарт», ущерб 13.6 получен на основе 36%, а далее учитывались 6%. Поэтому такой договор на практике вряд ли встретится.

Пример 6-9. Что произойдет, если накопившиеся проценты будут возвращаться вместе с очередной частью основной суммы кредита?

На первом этапе за 5 месяцев наращенная сумма кредита составит: 10×(1 + 0.36×5/12) = 11.5, (включая проценты в размере 1.5). Возвращаются: 5 + 1.5 = 6.5. Остаток: 5.

На втором этапе за 4 месяца этот остаток 5 превратится в:

5×(1 + 0.36×4/12) = 5.6 (проценты 0.6).

Возвращаются: 3 + 0.6 = 3.6.

Остаток: 5.6 – 3.6 = 2.0.

На третьем этапе: 2.0×(1 + 0.36×3/12) = 2.18 возвращаются полностью.

Теперь оцениваем риск страховщика.

Если случай произойдет на первом этапе (с вероятностью 0.021), то в конце года надо компенсировать банкиру потери в размере 13.6.

139

При страховом случае на втором этапе ущерб уменьшается на величину возвращенной суммы (6.5) и проценты на нее до конца года. Поэтому с вероятностью 0.017 ущерб составит:

13.6 – 6.5×(1 + 0.36×7/12) = 13.6 – 7.865 = 5.735.

На третьем этапе (с вероятностью 0.013) этот ущерб еще уменьшится:

5.735 – 3.6×(1 + 0.36×3/12) = 5.735 – 3.924 = 1.811.

Суммируя, получим:

13.6×0.021 + 5.735×0.017 + 1.811×0.013 =

= 0.2856 + 0.0975 + 0.0235 = 0.4066.

(Выше отмечено, что в целях повышения своей конкурентоспособности страховщик имеет право, но не обязан, учесть современную цену, а не номинальную.)

Современная цена этой суммы: 0.4066/1.06 = 0.384.

Это – рисковая премия. Нетто-премия равна: 0.384×1.4 = 0.537.

Брутто-премия: 0.537/0.8 = 0.671.

Таким образом, условия страхового договора зависят от условий договора о кредите. Исходя из этого, определяется риск страховщика, а, следовательно, и цена страховой защиты.

В страховом договоре ответственность страховщика может быть уменьшена не только в виде пропорциональной ответственности, но и по правилу первого риска. Т.е. страховщик возмещает ущерб страхователя полностью, если этот ущерб не превышает страховой суммы. Иначе выплачивается только страховая сумма. Это другая форма участия страхователя в возмещении ущерба в обмен на снижение страховых взносов.

Пример 6-10. Банкир и страховщик договорились о страховой сумме 7.0 млн. Рассмотрим ситуацию, когда страхового случая не было на первом этапе, но он произошел на втором. Следовательно, банкир успел получить первую часть возвращенного кредита. Сравним два ранее рассмотренных договора.

Если банкир получил только часть основной суммы (5 млн.) без процентов, то его потери составили:

13.6 – 5×1.21 = 13.6 – 6.05 = 7.55 > 7.0,

поэтому страховщик возместит только 7.0, следовательно, банкир недополучит 0.55 млн.

А если после первого этапа банкир получил не только часть основной суммы, но и проценты, т.е. 5 + 1.5 = 6.5, то его потери составят:

13.6 – 6.5×1.21 = 13.6 – 7.865 = 5.735 < 7.0,

поэтому будут возмещены полностью.

(Понятно, что при страховом случае на первом этапе в обоих договорах будет возмещена лишь страховая сумма 7.0, а если страховой

140