8. Применение определенного интеграла
Вычисление площадей плоских фигур
|
|
Площадь
криволинейной трапеции,
ограниченной линиями:
|
|
|
Площадь фигуры, ограниченной линиями:
(Пределы
интегрирования
|
|
|
Площадь сектора, ограниченного кривой, заданно в полярной системе координат
Сектор
ограниченный кривой
|
,
,
,
.
при
,
.
на
.
и
являются решением уравнения
).
.
и лучами
та
.
.
Объём тела вращения
|
|
Объём
тела,
образованного вращением вокруг оси
Ох криволинейной трапеции
|
где
-
дуга кривой
от
до
.
Площадь поверхности вращения
|
|
Площадь
поверхности,
образованной вращением вокруг оси Ох
участка кривой
|
|
Площадь
поверхности вращения,
образованной вращением вокруг оси Ох
участка кривой, заданной в параметрическом
виде:
|
от
до
.
Длина дуги плоской кривой
|
|
Если
кривая задана в прямоугольной декартовой
системе координат уравнением
до
|
|
Если кривая задана параметрически:
| |
|
|
Если
кривая задана своим уравнением в
полярных координатах:
|
,от точки
то
то
точки А та В имеют координаты
то
и координаты точек А и В:
то
Примеры:
Пример
1. Вычислить интегралы:
а)
б)
в)
Решение:
а)
б)
в)
Пример
2. Исследовать на
сходимость интеграл
Решение:
Т.о., данный интеграл является сходящимся.
Пример
3. Найти площадь фигуры,
ограниченной параболой
и прямой
Решение:
Найдем точки пересечения прямой с параболой:
Искомую
площадь найдем как разность двух площадей
криволинейных трапеций: ограниченных
прямой и параболой.
Ответ:
(кв.ед.).
Пример 4.
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной
кардиоидой
Решение
|
|
|
Пример
5. Вычислить объём тела,
образованного вращением вокруг оси Ох
косинусоиды в пределах от
до
.
Решение:
Объем
тела вращения находим по формуле
где в нашем случае
Пример 6.
Вычислить длину одной арки циклоиды
Решение:
Длина дуги
плоской кривой, заданной параметрически
вычисляется так:
Найдем для нашего случая
Тогда
Пример
7. Вычислить
с помощью формулы трапеций приближенное
значение определенного интеграла
при n = 10 .
Решение
|
i |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0.1 |
0.909 |
|
2 |
0.2 |
0.833 |
|
3 |
0.3 |
0.769 |
|
4 |
0.4 |
0.714 |
|
5 |
0.5 |
0.667 |
|
6 |
0.6 |
0.625 |
|
7 |
0.7 |
0.588 |
|
8 |
0.8 |
0.555 |
|
9 |
0.9 |
0.526 |
|
10 |
1 |
0.5 |
.
Разобьем сегмент [0;1] на 10 частей, получим
точки
и вычислим
.
Составим таблицу.
Используя
данные, взятые из таблицы, приближенно
вычислим интеграл:
Ответ:
