Определенный интеграл и его содержание

Пусть функция задана на отрезке. Сделаем следующие шаги:

1. разобьем отрезок произвольным образом наотрезков точками;

2. на каждом отрезке длинойвыберем произвольную точку;

3. вычислим значение функции в этой точке где;

4. найдем сумму

(8.5)

Ее называют интегральной суммой для функции на отрезке.

5. вычислим предел интегральной суммы при условии, что максимальная из длин частичных отрезков стремится к нулю. Если этот предел существует, конечен, не зависит от способа разбиения отрезка, и от способа выбора точкина каждом из частичных отрезков, то она и называется определенным интегралом от функциина отрезке. Т.о.:

Определение.2. Если существует конечный предел интегральной суммы (8.5) при , не зависящий от способа разбиения отрезканачастичных отрезков и выбора точекна каждом из них, то этот предел называетсяопределенным интегралом от функции на отрезкеи обозначается

.

Функция называется в этом случае интегральной на отрезке.

Итак, математически это определение можно записать так:

(8.6)

Числа иназывают нижним и верхним пределами интегрирования соответственно,- отрезок интегрирования,- переменная интегрирования.

В соответствии с этим определением равенства (8.2)-(8.4) теперь можно записать в виде (8.7)

то есть площадь криволинейной трапеции , путь, пройденный точкой с переменной скоростью, работа по перемещению материальной точки под действием переменной силывыражаются определенным интегралом.

Из определение (8.2) не вытекает, что любая функция интегрируема на любом отрезке. Можно найти такие функции, для которых определенный интеграл не существует, то есть интегральная сумма не стремится к какому-либо конечному пределу. Поэтому отметим условия, при которых функция является интегрируемой.

Теорема.1. Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема 2. Если функция на отрезкеограничена и имеет конечное количество точек разрыва, то она интегрируема на отрезке .

Теорема 3. Монотонная ограниченная функция всегда интегрируема.

Замечание 1. Отметим, что определенный интеграл зависит только от вида функции и пределов интегрирования, но не зависит от обозначения переменной интегрирования, то есть

Замечание 2. При введении понятия определенного интеграла мы предполагали, что. Если, то примем по определению

(8.8)

Замечание 3. В случае будем считать по определению

(8.9)

Замечание 4. Вычисление по определению, то есть как предела интегральной суммы, связано с большой вычислительной трудностью, поэтому возникает задача: найти практически удобный метод его вычисления. Этот метод мы рассмотрим дальше.

Основные свойства определенного интеграла

Из формулы определенного интеграла и основных теорем о пределах вытекают следующие свойства определенного интеграла:

1.Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, то есть, если- постоянная, то

(8.10.)

2. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного количества непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от каждого слагаемого, то есть

(8.11)

3. Если на отрезке ,где функции иудовлетворяют условию, то

Если и, то это свойство можно продемонстрировать геометрически (рис.8.2).

Поскольку ,, это площадь криволинейной трапециибольше площади криволинейной трапеции.

4. Если инаименьшее и наибольшее значение функциина отрезкеи, то

(8.12)

Для это свойство иллюстрируется геометрически таким образом (рис. 8.3):

Для это свойство иллюстрируется геометрически таким образом (рис. 8.3):

Площадь криволинейной трапеции больше площади прямоугольника, но меньше площади прямоугольника.

5. (Теорема о среднем). Если функция непрерывна на отрезке, где, то на этом отрезке найдется такое значение, что будет справедливым равенство:

(8.13)

Геометрически для случая, когда, это означает (рис.8.4), что площадь под кривойнаравна площади прямоугольника со сторонамии

6. Для произвольных трех чисел справедливо равенство

(8.14)

если только все эти три интеграла существуют.

В случае, когда содержится междуиі, это свойство иллюстрируется геометрически (рис. 8.5).

Если же , то

откуда имеем:

Учитывая замечание (2) о том, что

(при изменении пределов интегрирования знак изменяется на противоположный), отсюда получим, что