1.6. Синтез оптимальных фильтров

Рассмотрим различные способы синтеза оптимальных фильтров. Фильтры для выделения сигнала на фоне коррелированного шума строятся обычно на основе спектрального метода, т. е. при использовании для комплексной частотной характеристики фильтра выражения (1.8).

Для согласованных фильтров, выделяющих сигнал на фоне белого шума, возможны два метода – спектральный и временной. Временной метод основан на использовании связи между импульсной характеристикой фильтра и сигналом согласно формуле (1.11). При этом синтез согласованного фильтра заключается в построении такого линейного устройства, импульсная характеристика которого с точностью до масштабного множителя и с некоторым запаздыванием воспроизводит функцию, являющуюся зеркальным отражением сигнала. Метод особенно удобен для сигналов симметричной формы, так как в этом случае зеркальное отражение сигнала совпадает с самим сигналом. По определению импульсная характеристика есть отклик линейной системы на d-функцию. Поэтому нужно так подбирать блоки согласованного фильтра, чтобы при действии на его входе -функции на выходе воспроизводился сигнал заданной формы и длительности.

1.6.1. Синтез согласованного фильтра для прямоугольного видеоимпульса

Рассмотрим временной и спектральный методы синтеза фильтра на примере прямоугольного видеоимпульса:

Последовательность действий при синтезе временным методом иллюстрируется рис. 1.2.

Рис. 2.2

Известно, что единичная ступенька (перепад), или функция Хевисайда Y(t), (x₂(t)) есть интеграл от d-функции (x₁(t)):

После задержки единичной ступеньки на длительность импульса t_и (x₃(t)), ее инвертирования (x₄(t)) и вычитания из x₂(t) получим заданный прямоугольный импульс x₅(t), амплитуду которого можно изменять, меняя коэффициент передачи устройства. Отсюда следует, что искомый фильтр (рис. 1.3, а) состоит из интегратора 1, линии задержки на t_и 2, инвертора 3, сумматора 4 и усилителя 5. Инвертор и сумматор могут быть заменены вычитающим устройством 6 (рис. 1.3, б). Работа обоих вариантов фильтра идентична.

Рис. 1.3

Рассмотрим синтез фильтра спектральным методом. Комплексный спектр прямоугольного видеоимпульса

.

Для согласованного фильтра

Полагая t_и = t₀ , окончательно получим

(1.18)

Рассмотрим члены, входящие в выражение (1.18). Оператор , как известно, представляет собой оператор идеального интегрирования гармонического сигнала;kA – коэффициент передачи линейного устройства; – задержку на время_и. Видно, что структурная схема такого фильтра соответствует рис. 1.3.

Механизм работы согласованного фильтра (см. рис. 1.3) можно выяснить, рассматривая прохождение через него импульса сигнала и шума (рис. 1.4).

Рис. 1.4

Входной сигнал x₁(t) с помощью интегрирующего устройства накапливается в течение времени _и = t₀  до своего пикового значения (x₂ на рис. 1.4). Задержка на _и (x₃) и вычитание прекращают накопление сигнала, который уже дал на выходе максимальное значение, но вместе с тем прекращают и накопление шума. Выходной сигнал (x₄) становится треугольным.

К аналогичному результату можно прийти, найдя аналитическое выражение для выходного полезного сигнала.

Для прямоугольного видеоимпульса ковариационная функция

,

или, в силу симметрии ковариационной функции: .

Заменяя в последнем выражении t на t – t₀ и полагая t_и = t₀ , на основании формулы (1.14) получаем

.

График этой функции совпадает с приведенным на рис. 1.4. Видно, что длительность полезного сигнала на выходе фильтра удваивается.