учебник Кузнецова 2003

том обозначений aH,α ,aH,ϑ ,aH,V ,aH,γ приведенных в табл.П7

приложения, уравнение принимает следующий вид:

∆H = aH,α∆α + aH,ϑ∆ϑ + aH,V ∆V + aH,γ ∆γ. (2.65)

Уравнения собственного вращательного движения в форме Коши. Преобразуем систему уравнений (2.41) -(2.43) к форме Коши. Для этого выразим из уравнений (2.41) и (2.42) производную скорости крена ∆ωx :

∆ωx = aωx ,α∆α + aωx ,V ∆V + aωx ,ωx ∆ωx + aωx ,ωy ∆ωy + aωx ,β∆β . (2.66)

Обозначения для коэффициентов уравнения aωx ,α ,aωx ,V ,aωx ,ωx ,aωx ,ωy ,aωx ,β приведены в табл.8 приложения

с учетом обозначений табл.9 приложения.

Аналогичным образом выразим из уравнений (2.41) и(2.42) производную скорости рыскания ∆ωy :

∆ωy = aωy ,α∆α + aωy ,V ∆V + aωy ,ωx ∆ωx + aωy ,ωy ∆ωy + aωy ,β∆β . (2.67)

обозначений табл.9 приложения.

Для преобразования уравнения (2.43) к стандартному виду из его правой части необходимо исключить производную ∆α . Для этого

продифференцируем уравнение (2.47) и заменим в нем ∆ϑ его выра-

жением из уравнения (2.46). Заменим ∆θ его выражением из уравнения (2.61), а ∆γ - его выражением из (2.44). Полученное выражение для ∆α подставим в уравнение (2.43), поделив левую и правую части на момент инерции Jz :

∆ωz = aωz ,ωz ∆ωz + aωz ,α∆α + aωz ,ϑ∆ϑ +

aωz ,V∆V + aωz ,ωx ∆ωx + aωz ,ωy ∆ωy + aωz ,β∆β + aωz ,γ ∆γ .(2.68)

ны в табл.10 с учетом обозначений табл.9 приложения.

В кинематических уравнениях вращательного движения самолета (2.44) - (2.46) введем новые обозначения для коэффициентов уравнений aΨ,ωz ,aΨ,ϑ ,aΨ,ωy ,aΨ,γ ,aϑ,ωz , aϑ,ωy ,aϑ,γ ,aγ,ϑ ,aγ,ωx согласно

табл.П11 приложения:

∆ψ = аψ,ωz ∆ωz + аψ,ϑ∆ϑ + aψ,ωy ∆ωy + аψ,γ ∆γ ; (2.69)

∆ϑ = аϑ,ωz ∆ωz + аϑ,ωy ∆ωy + аϑ,γ ∆γ ; (2.70) ∆γ = aγ,ϑ∆ϑ + aγ,ωx ∆ωx + aγ,ωy ∆ωy . (2.71)

Для получения уравнения относительно производной приращения угла атаки ∆α продифференцируем уравнение (2.47) и заменим в нем

производную приращения угла тангажа ∆ϑ ее выражением из уравне-

ния (2.46), производную приращения угла наклона траектории ∆θ - её выражением из уравнения (2.61), а производную приращения угла кре-

на ∆γ - ее выражением из уравнения (2.44):

∆α = aα,ωz ∆ωz + aα,α∆α + aα,ϑ∆ϑ +

aα,V ∆V + aα,ωx ∆ωx + aα,ωy ∆ωy + aα,β∆β + aα,γ ∆γ . (2.72)

12 приложения.

Для получения уравнения относительно производной приращения угла скольжения ∆β продифференцируем уравнение (2.48) и опреде-

лим из него ∆β . Заменим в этом уравнении производную приращения

угла пути ∆Ψ ее выражением из уравнения (2.62), производную приращения угла рыскания ∆ψ -ее выражением из уравнения (2.45), про-

изводную приращения угла крена ∆γ -ее выражением из уравнения

(2.44) и производную приращения угла тангажа ∆ϑ -ее выражением из уравнения (2.46):

∆β = aβ,ωz ∆ωz + aβ,α∆α + aβ,ϑ∆ϑ +

aβ,V∆V + aβ,ωx ∆ωx + aβ,ωy ∆ωy + aβ,β∆β + aβ,γ ∆γ . (2.73)

Обозначения для коэффициентов уравнения aβ,ωz ,aβ,α ,aβ,ϑ ,aβ,V ,aβ,ωx ,aβ,ωy aβ,β,aβ,γ приведены в табл. 13

приложения.

Объединим полученные уравнения собственного поступательного и вращательного движения в мод -ль полного собственного пространственного движения в форме Коши:

∆V = aV,α∆α + aV,ϑ∆ϑ + aV,V ∆V + aV,β∆β + aV,γ ∆γ ; ∆θ = aθ,α∆α + aθ,V ∆V + aθ,θ∆θ+ aθ,ϑ∆ϑ + aθ,β∆β + aθ,γ ∆γ ; ∆Ψ = aΨ,α∆α + aΨ,ϑ∆ϑ + aΨ,V∆V + aΨ,β∆β + aΨ,γ ∆γ ;

∆L = aL,V ∆V + aL,θ∆θ+ aL,Ψ∆Ψ; ∆z = az,V ∆V + az,θ∆θ+ az,Ψ∆Ψ ;

∆H = aH,α∆α + aH,ϑ∆ϑ + aH,V ∆V + aH,γ ∆γ ;

∆ωx = aωx ,α∆α + aωx ,V ∆V + aωx ,ωx ∆ωx + aωx ,ωy ∆ωy + aωx ,β∆β ;

∆ωy = aωy ,α∆α + aωy ,V ∆V + aωy ,ωx ∆ωx + aωy ,ωy ∆ωy + aωy ,β∆β ;

∆ωz = aωz ,ωz ∆ωz + aωz ,α∆α + aωz ,ϑ∆ϑ +

aωz ,V ∆V + aωz ,ωx ∆ωx + aωz ,ωy ∆ωy + aωz ,β∆β + aωz ,γ ∆γ ; ∆ψ = аψ,ωz ∆ωz + аψ,ϑ∆ϑ + aψ,ωy ∆ωy + аψ,γ ∆γ ;

∆ϑ = аϑ,ωz ∆ωz + аϑ,ωy ∆ωy + аϑ,γ ∆γ ; (2.70) ∆γ = aγ,ϑ∆ϑ + aγ,ωx ∆ωx + aγ,ωy ∆ωy ; (2.71) ∆α = aα,ωz ∆ωz + aα,α∆α + aα,ϑ∆ϑ +

aα,V ∆V + aα,ωx ∆ωx + aα,ωy ∆ωy + aα,β∆β + aα,γ ∆γ ;

∆β = aβ,ωz ∆ωz + aβ,α∆α + aβ,ϑ∆ϑ +

aβ,V∆V + aβ,ωx ∆ωx + aβ,ωy ∆ωy + aβ,β∆β + aβ,γ ∆γ . (2.74)

Уравнения вынужденного движения в форме Коши. Преобразу-

ем систему уравнений линеаризованной математической модели полного пространственного вынужденного движения самолета в форме Коши. Динамические уравнения поступательного движения имеют вид:

∆V = aV,α∆α + aV,ϑ∆ϑ + aV,V ∆V + aV,β∆β + aV,γ ∆γ +

aV,δx ∆δx + aV,δy ∆δy + aV,δP ∆δP +aV,fx ∆fx + aV,fy ∆fy + aV,αW ∆αW + aV,βW ∆βW ;(2.75)

∆θ = aθ,α∆α + aθ,V ∆V + aθ,θ∆θ+

aθ,ϑ∆ϑ + aθ,β∆β + aθ,γ ∆γ

+aθ,δx ∆δx + aθ,δy ∆δy + aθ,δP ∆δP + aθ,δz ∆δz

+aθ,fx ∆fx + aθ,fy ∆fy + aθ,fz ∆fz + aθ,αW ∆αW + aθ,βW ∆βW ; (2.76)

∆Ψ = aΨ,α∆α + aΨ,ϑ∆ϑ + aΨ,V∆V + aΨ,β∆β + aΨ,γ ∆γ +aΨ,δy ∆δy + aΨ,δz ∆δz + aΨ,δP ∆δP +aΨ,fy ∆fy + aΨ,fz ∆fz + aΨ,αW ∆αW + aΨ,βW ∆βW ; (2.77)

Выражения для коэффициентов уравнений приведены в табл. 14 с учетом обозначений табл. 15 приложения.

Для кинематического уравнения поступательного движения с учетом уравнений (2.65) получим:

∆H = aH,α∆α + aH,ϑ∆ϑ + aH,V ∆V + aH,γ ∆γ + aH,αW ∆αW .

(2.78)

где aH,α = Vo cos θo / aα,θ.

Уравнения (2.63) и (2.64) остаются без изменений.

Динамические уравнения вращательного движения с учетом урав-

нений (2.66) - (2.68) имеют вид:

∆ωx = aωx ,α∆α + aωx ,V ∆V + aωx ,ωx ∆ωx +

aωx ,ωy∆ωy + aωx ,β∆β + aωx ,δЭ ∆δэ +

+aωx ,δH ∆δн + aωx ,mxв ∆mxв + aωx ,αW ∆αW + aωx ,βW ∆βW ,

(2.79)

∆ωy = aωy ,α∆α + aωy ,V ∆V + aωy ,ωx ∆ωx + +aωy ,ωy∆ωy + aωy ,β∆β + aωy ,δЭ ∆δэ +

aωy ,δH ∆δн + aωy ,myв ∆myв + aωy ,αW ∆αW + aωy ,βW ∆βW , (2.80) ∆ωz = aωz ,ωz ∆ωz + aωz ,α∆α + aωz ,ϑ∆ϑ +

aωz ,V ∆V + aωz ,ωx ∆ωx + aωz ,ωy∆ωy + aωz ,β∆β

+aωz ,γ ∆γ + aωz ,δB ∆δв + aωz ,δP ∆δP + aωz ,δx ∆δx

+aωz ,δy ∆δy + aωz ,δz ∆δz + aωz ,mzв ∆mzв +

aωz ,fx ∆fx + aωz ,fy ∆fy + aωz ,fz ∆fz + aωz ,αW ∆αW

+aωz ,βW ∆βW + aωz ,αW ∆αW + aωz ,βW ∆βW . (2.81)

Выражения для коэффициентов уравнений (2.79) - (2.81) приведены в табл.П16 и П17.

Уравнения (2.69) - (2.71) остаются без изменений. Линеаризованные геометрические соотношения (2.72), (2.73) преобразуем к следующему виду:

∆α = aα,ωz ∆ωz + aα,α∆α + aα,ϑ∆ϑ + aα,V∆V +

aα,ωx ∆ωx + aα,ωy ∆ωy + aα,β∆β + aα,γ ∆γ

+aα,δx ∆δx + aα,δy ∆δy + aα,fz ∆fz + aα,δP ∆δP +

+aα,fx ∆fx + aα,fy ∆fy + aα,fz ∆fz + aα,αW ∆αW + aα,αW ∆αW + aα,βW ∆βW , (2.82)

∆β = aβ,ωz ∆ωz + aβ,α∆α + aβ,ϑ∆ϑ + aβ,V∆V + aβ,ωx ∆ωx + aβ,ωy ∆ωy + aβ,β∆β + aβ,γ ∆γ

+aβ,δy ∆δy + aβ,δz ∆δz + aβ,fy ∆fy + aβ,fz ∆fz +

aα,αW ∆αW + aα,βW ∆βW + aβ,βW ∆βW . (2.83)

Коэффициенты уравнений (2.82) и (2.83) приведены в табл.П18. Таким образом, линеаризованная математическая модель вынужденного движения самолета в форме Коши содержит уравнения (2.75) -

(2.83), (2.63), (2.64), (2.69) - (2.71).

2.4. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ

Анализ и синтез линейных систем базируется на использовании метода пространства состояний. Сущность этого метода заключается в том, что математическая модель исследуемой системы представляется в виде системы дифференциальных уравнений в форме Коши для совокупности переменных, описывающих состояние системы и характеризующих поведение системы в будущем при условии, если известны

состояние в исходный момент времени и приложенные к системе воздействия.

Уравнение собственного движения в пространстве состояний.

Для получения уравнения собственного движения самолета в пространстве состояний воспользуемся системой уравнений (2.74). Тогда математическую модель можно представить следующим образом:

x(t) = Ax(t) , (2.84)

где x(t) - вектор-столбец переменных состояния полного

пространственного движения самолета, который в транспонированном виде определяется следующим образом:

[x(t)]T = [∆ωz (t), ∆α(t), ∆ϑ(t), ∆V(t), ∆θ(t), ∆H(t), ∆L(t), ∆ωx (t), ∆ωy (t), ∆β(t),

∆γ(t), ∆ψ(t), ∆Ψ(t), ∆z(t)], (2.85)

А- матрица состояния полного пространственного движения са-

молета.

А=

Элементы матрицы А в общем случае зависят от времени A(t) .Тогда уравнение состояния (2.84) - линейная нестационарная

модель собственного пространственного движения самолета. Для упрощения последующих исследований будем предполагать, что элемен-

ты матрицы состояния А есть константы. Тогда уравнение (2.84) будет линейной стационарной моделью собственного пространственного движения самолета.

Решение уравнения (2.84) имеет вид: x(t) = ϕ(t, t0 )x(t0 ), (2.87)

где x(t0 ) - начальный вектор переменных состояний, определяе-

мый при t0 ; t0 - начальный момент времени;

Переходная матрица состояния полного пространственного движения самолета

ϕ(t, t0 ) = I − A(t − t0 ) + 2!1 A2 (t − t0 )2 + ... = eA(t−t0 ) , (2.88)

где I - единичная матрица. При t0 = 0

Тогда решением однородного уравнения (2.84), описывающего собственное движение самолета, является

x(t) = eAt x(0). (2.89)

С учетом стационарности рассматриваемой модели движения самолета выполним преобразование Лапласа для обеих частей уравнения

(2.1)

pX(p) − X(0) = AX(p) , (2.90)

где X(0) - начальный вектор переменных состояния, определяе-

мый при t = 0.

Решение уравнения (2.90) дает:

X(p) = [pI − A]−1 X(0). (2.91)

Вычисляя обратное преобразование Лапласа от обеих частей уравнения (2.91), получим:

x(t) = L−1[(pI − A)−1]x(0) . (2.92)

где L−1 - оператор обратного преобразования Лапласа.

Таким образом, сравнивая (2.87) и (2.92), приходим к выводу, что переходная матрица состояния ϕ(t) определяется следующим равен-

ством

ϕ(t) = L−1[(pI − A)−1] , (2.93)

а ее изображение по Лапласу

Ф(p) = [pI − A]−1. (2.94)

Уравнение вынужденного движения в пространстве состояний.

Для получения уравнения вынужденного движения самолета в пространстве состояний воспользуемся уравнениями (2.75)-(2.83). Тогда неоднородная математическая модель может быть представлена следующим образом:

x(t) = Ax(t) + Bуuу(t) + Bвuв(t) . (2.95)

Векторы-столбцы входа по управляющим воздействиям uy (t) и

по внешним возмущениям uв(t) в полном пространственном движении самолета имеют вид

[uy (t)]T = [∆δв(t), ∆δx (t), ∆δy (t), ∆δP (t), ∆δэ(t), ∆δн(t), ∆δz (t)] ; (2.96)

[uв(t)]T = [∆fx (t), ∆fy (t), ∆mzв(t),

∆αW (t), ∆αW (t), ∆fz (t), ∆mxв(t), ∆myв(t), ∆βW (t), ∆βW (t)] . (2.97)

Матрицы входа по управляющим воздействиям By и внешним

возмущениям BB в полном пространственном движении самолета имеют вид:

By =