Задача 2

Условие задачи: Специалисту авиаремонтного завода для заключения договора о поставке запасных частей из пяти городов необходимо побывать в каждом из них один раз и вернуться в исходный пункт маршрута.

Таблица 7. Исходные данные. Расстояния в км между городами.

Столбцы Строки	1	2	3	4	5
1	__	814	229	310	416
2	814	__	421	732	450
3	229	421	__	640	317
4	310	732	640	__	515
5	416	450	317	515	__

Таблица 8. Исходные данные для расчета затрат на поездку.

Вариант	Виды транспорта
	Железнодорожный				Автомобильный
	Кол-во вагонов	Время ожида-ния (мин.)	Кол-во мест в вагоне	Скорость (км/ч)	Интервал движения (мин.)	Кол-во мест в салоне	Скорость (км/ч)
3	12	12	62	90	40	21	92

Формирование базы данных:

Исходя из данных Таблицы 7, можно сделать вывод, что на данных маршрутах целесообразнее использовать либо железнодорожный транспорт, либо автомобильный.

Автомобильный транспорт (междугородние автобусы, личные автомобили и др.) имеет некоторые особенности и преимущества перед другими видами транспорта. Например:

- высокая маневренность и подвижность;

- способность обеспечивать доставку «от двери до двери» без дополнительных перевалок и пересадок в пути следования;

- высокая скорость доставки, особенно при перевозках на короткие расстояния;

Себестоимость перевозок на автомобильном транспорте, гораздо выше чем на железнодорожном.

Железнодорожный транспорт является основным звеном в единой транспортной системе России. Он играет важную роль в удовлетворении потребности населения в передвижении. Преимуществами данного вида транспорта являются, например:

- регулярность перевозок независимо от времени года, времени суток, климатических условий;

- большая скорость перевозки пассажиров и массивных грузов;

- сравнительно невысокая себестоимость перевозки

Пассажир стремится выбрать наиболее выгодное средство передвижения. Выбор производится с учетом особенностей транспорта и требований пассажиров к качеству обслуживания, а именно:

- безопасности;

- уровня организации движения транспортных средств во времени (частота, регулярность и т.д.);

- затрат времени на поездку с учетом ожидания или скорость передвижения пассажиров;

- комфортабельность и др.

Известно, что безопасность перевозок железнодорожным транспортом значительно выше, чем автомобильным.

Согласно Таблицы 2 (Приложение 3, стр. 31 методического пособия) видно, что скорость движения автомобильного транспорта чуть выше скорости движения транспорта железнодорожного. Интервал движения у автомобильного транспорта чуть выше.

1. Расчеты для железнодорожного транспорта.

   1. Расчет затрат времени пассажира на поездку при использовании железнодорожного транспорта:

Затраты времени пассажира на поездку рассчитываются согласно формулы:

= + , где

– протяженность маршрута;

– скорость движения;

– время, затраченное в начальных и конечных пунктах;

– время ожидания;

здесь: – количество посадочных мест в вагоне;

– количество вагонов в железнодорожном составе;

– коэффициент использования посадочных мест (принимаю равным 0,75);

, – производительность обслуживания пассажиров при посадке и высадке в (из) вагон (а).

Участки маршрута:

1-2: = 814/90 + 62*12*0,75/3000 + 62*12*0,75/3000 + 12/60 = 9,54 (ч);

1-3: = 229/90 + 62*12*0,75/3000 + 62*12*0,75/3000 + 12/60 = 3,04 (ч);

1-4: = 310/90 + 62*12*0,75/3000 + 62*12*0,75/3000 + 12/60 = 3,94 (ч);

1-5: = 416/90 + 62*12*0,75/3000 + 62*12*0,75/3000 + 12/60 = 5,12 (ч);

2-3: = 421/90 + 62*12*0,75/3000 + 62*12*0,75/3000 + 12/60 = 5,17 (ч);

2-4: = 732/90 + 62*12*0,75/3000 + 62*12*0,75/3000 + 12/60 = 8,63 (ч);

2-5: = 450/90 + 62*12*0,75/3000 + 62*12*0,75/3000 + 12/60 = 5,5 (ч);

3-4: = 640/90 + 62*12*0,75/3000 + 62*12*0,75/3000 + 12/60 = 7,61 (ч);

3-5: = 317/90 + 62*12*0,75/3000 + 62*12*0,75/3000 + 12/60 = 4,02 (ч);

4-5: = 515/90 + 62*12*0,75/3000 + 62*12*0,75/3000 + 12/60 = 6,22 (ч);

2. Расчет стоимости пассажиро-часов пребывания пассажира в пути:

Стоимость пассажиро-часов пребывания пассажира в пути ( - это показатель, который характеризует потенциальные потери пассажира из-за пассивного пребывания в пути. По величине затрат, которые можно рассматривать как упущенная выгода клиента или его работодателя, можно осуществлять выбор транспорта по целям поездки. Чем меньше потерь от пассивного пребывания в транспорте во время движения, тем выгоднее способ поездки.

Стоимость пассажиро-часов пребывания пассажира в пути ( рассчитывается по следующей формуле:

, где

– стоимость пассажиро-часа (принимаю равной 1000 руб);

– число пассажиров следующих по i-му варианту перевозки;

– продолжительность поездки пассажира (была рассчитана выше);

– коэффициент транспортной усталости пассажира при поездке (принимаю равным 1,3).

Участки маршрута:

1-2: = 1000 * 1 * 9,54 * 1,3 = 12 402 (руб.);

1-3: = 1000 * 1 * 3,04 * 1,3 = 3 952 (руб.);

1-4: = 1000 * 1 * 3,94 * 1,3 = 5 122 (руб.);

1-5: = 1000 * 1 * 5,12 * 1,3 = 6 656 (руб.);

2-3: = 1000 * 1 * 5,17 * 1,3 = 6 721 (руб.);

2-4: = 1000 * 1 * 8,63 * 1,3 = 11 219 (руб.);

2-5: = 1000 * 1 * 5,50 * 1,3 = 7 150 (руб.);

3-4: = 1000 * 1 * 7,61 * 1,3 = 9 893 (руб.);

3-5: = 1000 * 1 * 4,02 * 1,3 = 5 226 (руб.);

4-5: = 1000 * 1 * 6,22 * 1,3 = 8 086 (руб.);

3. Расчет материальных затрат пассажира на поездку (согласно стоимости билета):

Участки маршрута:

1-2: 1005 (руб.) 1-5: 510 (руб.) 2-5: 560 (руб.) 4-5: 640 (руб.)

1-3: 285 (руб.) 2-3: 520 (руб.) 3-4: 790 (руб.)

1-4: 390 (руб.) 2-4: 900 (руб.) 3-5: 400 (руб.)

4. Расчет абсолютных затрат пассажира на поездку:

Абсолютные затраты пассажира на поездку рассчитываются по формуле:

, где

– материальные затраты на поездку по рассматриваемому маршруту с использованием выбранных видов транспорт а;

– ранее рассчитанная стоимость пассажиро-часов в пути.

Участки маршрута:

1-2: 1005 + 12 402 = 13 407 (руб.)

1-3: = 285 + 3 952 = 4 237 (руб.)

1-4: = 390 + 5 122 = 5 512 (руб.)

1-5: = 510 + 6 656 = 7 166 (руб.)

2-3: = 520 + 6 721 = 7 241 (руб.)

2-4: = 900 + 11 219 = 12 119 (руб.)

2-5: = 560 + 7 150 = 7 710 (руб.)

3-4: = 790 + 9 893 = 10 683 (руб.)

3-5: = 400 + 5 226 = 5 626 (руб.)

4-5: = 640 + 8 086 = 8 726 (руб.)

2. Расчеты для автомобильного транспорта.

   1. Расчет затрат времени пассажира на поездку при использовании автомобильного транспорта:

Расчет затрат времени как и в случае железнодорожного транспорта рассчитывается по формуле:

= + , где считается следующим образом:

, где

- максимальное и минимальное время ожидания автобуса;

- интервал движения автобуса.

для расчета принимаю равным 0,75.

Участки маршрута:

1-2: = 814/92 + 21*0,75/60 + 21*0,75/100 + 0,5*40/60 = 9,58 (ч);

1-3: = 229/92 + 21*0,75/60 + 21*0,75/100 + 0,5*40/60 = 3,22 (ч);

1-4: = 310/92 + 21*0,75/60 + 21*0,75/100 + 0,5*40/60 = 4,1 (ч);

1-5: = 416/92 + 21*0,75/60 + 21*0,75/100 + 0,5*40/60 = 5,26 (ч);

2-3: = 421/92 + 21*0,75/60 + 21*0,75/100 + 0,5*40/60 = 5,31 (ч);

2-4: = 732/92 + 21*0,75/60 + 21*0,75/100 + 0,5*40/60 = 8,69 (ч);

2-5: = 450/92 + 21*0,75/60 + 21*0,75/100 + 0,5*40/60 = 5,63 (ч);

3-4: = 640/92 + 21*0,75/60 + 21*0,75/100 + 0,5*40/60 = 7,69 (ч);

3-5: = 317/92 + 21*0,75/60 + 21*0,75/100 + 0,5*40/60 = 4,18 (ч);

4-5: = 515/92 + 21*0,75/60 + 21*0,75/100 + 0,5*40/60 = 6,33 (ч);

2. Расчет стоимости пассажиро-часов пребывания пассажира в пути:

принимаю равным 1,3. Формула для расчета приведена выше:

Участки маршрута:

1-2: = 1000 * 1 * 9,58 * 1,5 = 14 370 (руб.);

1-3: = 1000 * 1 * 3,22 * 1,5 = 4 830 (руб.);

1-4: = 1000 * 1 * 4,1 * 1,5 = 6 150 (руб.);

1-5: = 1000 * 1 * 5,26 * 1,5 = 7 890 (руб.);

2-3: = 1000 * 1 * 5,31 * 1,5 = 7 965 (руб.);

2-4: = 1000 * 1 * 8,69 * 1,5 = 13 035 (руб.);

2-5: = 1000 * 1 * 5,63 * 1,5 = 8 445 (руб.);

3-4: = 1000 * 1 * 7,69 * 1,5 = 11 535 (руб.);

3-5: = 1000 * 1 * 4,18 * 1,5 = 6 270 (руб.);

4-5: = 1000 * 1 * 6,33 * 1,5 = 9 495 (руб.);

3. Расчет материальных затрат пассажира на поездку (согласно стоимости билета):

Участки маршрута:

1-2: 1190 (руб.) 1-5: 610 (руб.) 2-5: 660 (руб.) 4-5: 755 (руб.)

1-3: 335 (руб.) 2-3: 620 (руб.) 3-4: 940 (руб.)

1-4: 460 (руб.) 2-4: 1070 (руб.) 3-5: 470 (руб.)

4. Расчет абсолютных затрат пассажира на поездку:

Формула для расчета приведена выше.

Участки маршрута:

1-2: 1 190 + 14 370 = 15 560 (руб.)

1-3: = 335 + 4 830 = 5 165 (руб.)

1-4: = 460 + 6 150 = 6 610 (руб.)

1-5: = 610 + 7 890 = 8 500 (руб.)

2-3: = 620 + 7 965 = 8 585 (руб.)

2-4: = 1 070 + 13 035 = 14 105 (руб.)

2-5: = 660 + 8 445 = 9 105 (руб.)

3-4: = 940 + 11 535 = 12 475 (руб.)

3-5: = 470 + 6 270 = 6 740 (руб.)

4-5: = 755 + 9 495 = 10 250 (руб.)

Все необходимые расчеты произведены. Заношу результаты расчетов в Таблицу 9.

Таблица 9. Абсолютные затраты пассажира на поездку с использованием железнодорожного и автомобильного транспорта (руб.).

Железнодорожный транспорт		1	2	3	4	5
	1	-	13 407	4 237	5 512	7 166
	2	13 407	-	7 241	12 119	7 710
	3	4 237	7 241	-	10 683	5 626
	4	5 512	12 119	10 683	-	8 726
	5	7 166	7 710	5 626	8 726	-
Автомобильный транспорт		1	2	3	4	5
	1	-	15 560	5 165	6 610	8 500
	2	15 560	-	8 585	14 105	9 105
	3	5 165	8 585	-	12 475	6 740
	4	6 610	14 105	12 475	-	10 250
	5	8 500	9 105	6 740	10 250	-

Анализируя расчеты и Таблицу 9 можно прийти к выводу, что для поездки специалиста авиаремонтного завода по выбранным маршрутам целесообразно использовать железнодорожный транспорт. Так как стоимость билетов на железнодорожном транспорте ниже. Также при использовании железнодорожного транспорта меньше затраты времени на нахождение в пути, ниже стоимость пассажиро-часов пребывания пассажира в пути, а следовательно (что и видно в Таблице 9) ниже абсолютные затраты пассажира на поездку. Значит, для поездки специалиста авиаремонтного завода нужно выбрать железнодорожный транспорт (электропоезд).

С транспортом определились. Теперь необходимо решить задачу коммивояжера. Коммивояжер должен побывать в каждом городе один раз и вернуться в исходный пункт маршрута, затратив при этом минимум денег. Для решения задачи необходимо использовать ПС-метод. Не допустимо, чтобы коммивояжер из некоторого города возвращался туда обратно. Поэтому все диагональные элементы должны быть равны нулю. Чтобы добиться этого, достаточно положить их очень большими. Коэффициент при этих элементах должен быть больше любого другого элемента целевой функции. Принимаю значение диагональных элементов равное 13 500. С учетом вышесказанного и Таблицы 9, составляю Таблицу 10 на основе которой, будет решаться задача о назначениях.

Таблица 10.

	1	2	3	4	5
1	13 500, 13 314, 10 403, 6 800	13 407, 7 344,	4 237	5 512	7 166
2	13 407, 10 496, 6 893	13 500, 11 103	7 241	12 119	7 710
3	4 237, 2 695	7 241	13 500, 9 408, 5 805	10 683, 8 905	5 626
4	5 512	12 119, 10 341	10 683, 8 257	13 500, 11 958, 11 357	8 726
5	7 166, 5 052	7 710	5 626	8 726	13 500, 10 380, 7 983

Начнем со сравнения разности коэффициентов целевой функции основной и базовых строк.

1. Разности коэффициентов первой строки со второй:

1 столбец: 13500 – 13407 = 93

2 столбец: 13407 – 13500 = - 93

3 столбец: 4237 – 7241 = - 3004

4 столбец: 5512 – 12119 = - 6607

5 столбец: 7166 – 7710 = -544

Наибольшая разность равна 93 – в первом столбце, а значит элемент х_11, не входит в оптимальный план, т.е. х₁₁ = 0. Следующая по величине разность равна - 93 (во втором столбце). Тогда с₁₁ = 13407 + (-93) = 13314.

Новое значение коэффициента вписываю в туже клетку (Таблица 10) и выделяю жирным шрифтом. Аналогично будут занесены и другие новые значения коэффициентов.

2. Разности коэффициентов первой строки с третьей:

1 столбец: 13314 – 4237 = 9077

2 столбец: 13407 – 7241 = 6166

3 столбец: 4237 – 13500 = - 9263

4 столбец: 5512 – 10683 = - 5171

5 столбец: 7166 – 5626 = 1540

Наибольшая разность равна 9077 – в первом столбце. Но элемент х₁₁ и так не входит в оптимальный план. Поэтому для него только нахожу новое значение с₁₁. Следующая по величине разность, равна 6166 (во втором столбце). Тогда новое значение с₁₁ = 4237 + 6166 = 10403.

3. Разности коэффициентов первой строки с четвертой:

1 столбец: 10403 – 5512 = 4891

2 столбец: 13407 – 12119 = 1288

3 столбец: 4237 – 10683 = - 6446

4 столбец: 5512 – 13500 = - 7988

5 столбец: 7166 – 8726 = - 1560

Наибольшая разность равна 4891 – в первом столбце. Но элемент х₁₁ и так не входит в оптимальный план. Поэтому для него только нахожу новое значение с₁₁. Следующая по величине разность, равна 1288 (во втором столбце). Тогда новое значение с₁₁ = 5512 + 1288 = 6800 .

4. Разности коэффициентов первой строки с пятой:

1 столбец: 6800 – 7166 = - 366

2 столбец: 13407 – 7710 = 5697

3 столбец: 4237 – 5626 = - 1389

4 столбец: 5512 – 8726 = - 3214

5 столбец: 7166 – 13500 = - 6334

Наибольшая разность равна 5697 – во втором столбце, а значит элемент х₁₂, не входит в оптимальный план, т.е. х₁₂ = 0. Следующая по величине разность равна - 366 (в первом столбце). Тогда с₁₂ = 7710 + (-366) = 7344.

Теперь сравним вторую строку с остальными.

1. Разности коэффициентов второй строки с первой:

1 столбец: 13407 – 6800 = 6607

2 столбец: 13500 – 7344 = 6156

3 столбец: 7241 – 4237 = 3004

4 столбец: 12119 – 5512 = 6607

5 столбец: 7710 – 7166 = 544

Наибольших разности две. Ничего сказать нельзя.

2. Разности коэффициентов второй строки с третьей:

1 столбец: 13407 – 4237 = 9170

2 столбец: 13500 – 7241 = 6259

3 столбец: 7241 – 13500 = - 6259

4 столбец: 12119 – 10683 = 1436

5 столбец: 7710 – 5626 = 2084

Наибольшая разность равна 9170 – в первом столбце, а значит элемент х_21, не входит в оптимальный план, т.е. х₂₁ = 0. Следующая по величине разность равна 6259 . Тогда с₂₁ = 4237 + 6710 = 10496.

3. Разности коэффициентов второй строки с четвертой:

1 столбец: 10496 – 5512 = 4984

2 столбец: 13500 – 12119 = 1381

3 столбец: 7241 – 10683 = - 3442

4 столбец: 12119 – 13500 = - 1381

5 столбец: 7710 – 8726 = - 1016

Наибольшая разность равна 4984 – в первом столбце. Но элемент х₂₁ и так не входит в оптимальный план. Поэтому для него только нахожу новое значение с₂₁. Следующая по величине разность, равна 1381. Тогда новое значение с₂₁ = 5512 + 1381 = 6893 .

4. Разности коэффициентов второй строки с пятой:

1 столбец: 6893 – 7166 = -273

2 столбец: 13500 – 7710 = 5790

3 столбец: 7241 – 5626 = 1615

4 столбец: 12119 – 8726 = 3393

5 столбец: 7710 – 13500 = - 5790

Наибольшая разность равна 5790 – во втором столбце. Но элемент х₂₂ и так не входит в оптимальный план. Поэтому для него только нахожу новое значение с₂₂. Следующая по величине разность, равна 3393 (в четвертом столбце). Тогда новое значение с₂₂ = 7710 + 3393 = 11103 .

Теперь сравним третью строку с остальными.

1. Разности коэффициентов третьей строки с первой:

1 столбец: 4237 – 6800 = - 2563

2 столбец: 7241 – 7344 = - 103

3 столбец: 13500 – 4237 = 9263

4 столбец: 10683 – 5512 = 5171

5 столбец: 5626 – 7166 = - 1540

Наибольшая разность равна 9263 – в третьем столбце, а значит элемент х_33, не входит в оптимальный план, т.е. х₃₃ = 0. Следующая по величине разность равна 5171 . Тогда с₃₃ = 4237 + 5171 = 9408.

2. Разности коэффициентов третьей строки со второй:

1 столбец: 4237 – 6893 = - 2656

2 столбец: 7241 – 11103 = - 3862

3 столбец: 9408 – 7241 = 2167

4 столбец: 10683 – 12119 = - 1436

5 столбец: 5626 – 7710 = - 2084

Наибольшая разность равна 2167 – в третьем столбце. Но элемент х₃₃ и так не входит в оптимальный план. Поэтому для него только нахожу новое значение с₃₃. Следующая по величине разность, равна - 1436. Тогда новое значение с₃₃ = 7241 + (-1436) = 5805 .

3. Разности коэффициентов третьей строки с четвертой:

1 столбец: 4237 – 5512 = - 1275

2 столбец: 7241 – 12119 = - 4878

3 столбец: 5805 – 10683 = - 4878

4 столбец: 10683 – 13500 = - 2817

5 столбец: 5626 – 8726 = - 3100

Наибольшая разность равна - 1275 – в первом столбце, а значит элемент х_31, не входит в оптимальный план, т.е. х₃₁ = 0. Следующая по величине разность равна - 2817 . Тогда с₃₁ = 5512 + (- 2817) = 2695.

4. Разности коэффициентов третьей строки с пятой:

1 столбец: 2695 – 7166 = - 4471

2 столбец: 7241 – 7710 = - 469

3 столбец: 5805 – 5626 = 179

4 столбец: 10683 – 8726 = 1957

5 столбец: 5626 – 13500 = - 7874

Наибольшая разность равна 1957 – в четвертом столбце, а значит элемент х_34, не входит в оптимальный план, т.е. х₃₄ = 0. Следующая по величине разность равна 179 . Тогда с₃₄ = 8726 + 179 = 8905.

Теперь сравним четвертую строку с остальными.

1. Разности коэффициентов четвертой строки с первой:

1 столбец: 5512 – 6800 = - 1288

2 столбец: 12119 – 7344 = 4775

3 столбец: 10683 – 4237 = 6446

4 столбец: 13500 – 5512 = 7988

5 столбец: 8726 – 7166 = 1560

Наибольшая разность равна 7988 – в четвертом столбце, а значит элемент х_44, не входит в оптимальный план, т.е. х₄₄ = 0. Следующая по величине разность равна 6446 . Тогда с₄₄ = 5512 + 6446 = 11958.

2. Разности коэффициентов четвертой строки со второй:

1 столбец: 5512 – 6893 = - 1381

2 столбец: 12119 – 11103 = 1016

3 столбец: 10683 – 7241 = 3442

4 столбец: 11958 – 12119 = - 161

5 столбец: 8726 – 7710 = 1016

Наибольшая разность равна 3442 – в третьем столбце, а значит элемент х_43, не входит в оптимальный план, т.е. х₄₃ = 0. Следующая по величине разность равна 1016 . Тогда с₄₃ = 7241 + 1016 = 8257.

1. Разности коэффициентов четвертой строки с третьей:

1 столбец: 5512 – 2695 = 2817

2 столбец: 12119 – 7241 = 4878

3 столбец: 8257 – 5805 = 2452

4 столбец: 11958 – 8905 = 3053

5 столбец: 8726 – 5626 = 3100

Наибольшая разность равна 4878 – во втором столбце, а значит х₄₂ не входит в оптимальный план, т.е. х₄₂ = 0_. Следующая по величине разность, равна 3100 . Тогда с₄₂ = 7241 + 3100 = 10341.

3. Разности коэффициентов четвертой строки с пятой:

1 столбец: 5512 – 7166 = - 1654

2 столбец: 10341 – 7710 = 2631

3 столбец: 8257 – 5626 = 2631

4 столбец: 11958 – 8726 = 3232

5 столбец: 8726 – 13500 = - 4774

Наибольшая разность равна 3232 – в четвертом столбце, но элемент х₄₄ и так не входит в оптимальный план. Поэтому нахожу новое значение коэффициента. Следующая по величине разность, равна 2631 . Тогда с₄₄ = 8726 + 2631 = 11357.

Теперь сравним пятую строку с остальными.

1. Разности коэффициентов пятой строки с первой:

1 столбец: 7166 – 6800 = 366

2 столбец: 7710 – 7344 = 366

3 столбец: 5626 – 4237 = 1389

4 столбец: 8726 – 5512 = 3214

5 столбец: 13500 – 7166 = 6334

Наибольшая разность равна 6334 – в пятом столбце, а значит элемент х₅₅ не входит в оптимальный план, т.е. х₅₅ = 0. Следующая по величине разность равна 3214 . Тогда с₅₅ = 7166 + 3214 = 10380.

2. Разности коэффициентов пятой строки со второй:

1 столбец: 7166 – 6893 = 273

2 столбец: 7710 – 11103 = - 3393

3 столбец: 5626 – 7241 = - 1615

4 столбец: 8726 – 12119 = - 3393

5 столбец: 10380 – 7710 = 2670

Наибольшая разность равна 2670 – в пятом столбце. Но элемент х₅₅ и так не входит в оптимальный план. Поэтому нахожу новое значение с₅₅ . Следующая по величине разность равна 273 . Тогда новое значение с₅₅ = 7710 + 273 = 7983.

1. Разности коэффициентов пятой строки с третьей:

1 столбец: 7166 – 2695 = 4471

2 столбец: 7710 – 7241 = 469

3 столбец: 5626 – 5805 = - 179

4 столбец: 8726 – 8905 = - 179

5 столбец: 7983 – 5626 = 2357

Наибольшая разность равна 4471 – в первом столбце, а значит элемент х₅₁ не входит в оптимальный план, т.е. х₅₁ = 0. Следующая по величине разность равна 2357 . Тогда с₅₁ = 2695 + 2357 = 5052.

Из Таблицы 10 видно, что все элементы первого столбца равны нулю кроме х₄₁. Элемент х₄₁ = 1. Исключаем из рассмотрения столбец №1 и строку №4. Таблица 10 преобразовывается в Таблицу 11. И далее рассматриваем Таблицу 11.

Таблица 11

	2	3	4	5
1	13 407, 7 344, 4 496	4 237, 3 060, 2 412	5 512	7 166, 4 769
2	13 500, 11 103, 10 348, 9 325	7 241	12 119, 10 989	7 710
3	7 241	13 500, 9 408, 5 805, 5 157	10 683, 8 905	5 626
5	7 710	5 626	8 726	13 500, 10 380, 7 983

Перейдем к рассмотрению разности коэффициентов в столбцах.

1. Разность коэффициентов второго столбца с третьим:

1 строка: 7344 – 4237 = 3107

2 строка: 11103 – 7241 = 3862

3 строка: 7241 – 5805 = 1436

5 строка: 7710 – 5626 = 2084

Наибольшая разность равна 3862 – во второй строке. Но элемент х₂₂ и так не входит в оптимальный план. Следующая по величине разность равна 3107 . Тогда новое значение с₂₂ = 7241 + 3107 = 10348.

2. Разность коэффициентов второго столбца с четвертым:

1 строка: 7344 – 5512 = 1832

2 строка: 10348 – 12119 = - 1771

3 строка: 7241 – 8905 = - 1664

5 строка: 7710 – 8726 = - 1016

Наибольшая разность равна 1832 – в первой строке, а значит элемент х₁₂ не входит в оптимальный план, т.е. х₁₂ = 0. Следующая по величине разность равна - 1016 . Тогда с₁₂ = 5512 + (- 1016) = 4496.

3. Разность коэффициентов второго столбца с пятым:

1 строка: 4496 – 7166 = - 2670

2 строка: 10348 – 7710 = 2638

3 строка: 7241 – 5626 = 1615

5 строка: 7710 – 7983 = - 273

Наибольшая разность равна 2638 – во второй строке. Но элемент х₂₂ и так не входит в оптимальный план. Следующая по величине разность равна 1615 . Тогда новое значение с₂₂ = 7710 + 1615 = 9325.

Теперь сравниваю третий столбец с остальными.

1. Разность коэффициентов третьего столбца со вторым:

1 строка: 4237 – 4496 = - 259

2 строка: 7241 – 9325 = - 2084

3 строка: 5805 – 7241 = - 1436

5 строка: 5626 – 7710 = -2084

Наибольшая разность равна - 259 – в первой строке. А значит элемент х₁₃ не входит в оптимальный план. Т. е. х₁₃ = 0. Следующая по величине разность равна - 1436 . Тогда с₁₃ = 4496 + (- 1436) = 3060.

2. Разность коэффициентов третьего столбца с четвертым:

1 строка: 3060 – 5512 = - 2452

2 строка: 7241 – 12119 = - 4878

3 строка: 5805 – 8905 = - 3100

5 строка: 5626 – 8726 = - 3100

Наибольшая разность равна - 2452 – в первой строке. Но элемент х₁₃ и так не входит в оптимальный план. Следующая по величине разность равна - 3100 . Тогда новое значение с₁₃ = 5512 + (- 3100) = 2412.

3. Разность коэффициентов третьего столбца с пятым:

1 строка: 2412 – 7166 = - 4754

2 строка: 7241 – 7710 = - 469

3 строка: 5805 – 5626 = 179

5 строка: 5626 – 7983 = - 2357

Наибольшая разность равна 179 – в третьей строке. Но элемент х₃₃ и так не входит в оптимальный план. Следующая по величине разность равна - 469 . Тогда новое значение с₃₃ = 5626 – (- 469) = 5157.

Перехожу к сравнению четвертого столбца с остальными.

1. Разность коэффициентов четвертого столбца со вторым :

1 строка: 5512 – 4496 = 1016

2 строка: 12119 – 9325 = 2794

3 строка: 8905 – 7241 = 1664

5 строка: 8726 – 7710 = 1016

Наибольшая разность равна 2794 – во второй строке. А значит элемент х₂₄ не входит в оптимальный план. Следующая по величине разность равна 1664 . Тогда с₂₄ = 9325 + 1664 = 10989.

2. Разность коэффициентов четвертого столбца с третьим :

1 строка: 5512 – 2412 = 3100

2 строка: 10989 – 7241 = 3748

3 строка: 8905 – 5157 = 3748

5 строка: 8726 – 5626 = 3100

Наибольших разности две. Ничего сказать нельзя.

3. Разность коэффициентов четвертого столбца с пятым :

1 строка: 5512 – 7166 = - 1654

2 строка: 10989 – 7710 = 3279

3 строка: 8905 – 5626 = 3279

5 строка: 8726 – 7983 = 743

Наибольших разности две. Ничего сказать нельзя.

Сравниваю пятый столбец с остальными.

1. Разность коэффициентов пятого столбца со вторым :

1 строка: 7166 – 4496 = 2670

2 строка: 7710 – 9325 = - 1615

3 строка: 5626 – 7241 = - 1615

5 строка: 7983 – 7710 = 273

Наибольшая разность равна 2670 – в первой строке. А значит элемент х₁₅ не входит в оптимальный план. Следующая по величине разность равна 273 . Тогда с₁₅ = 4496 + 273 = 4769.

Из Таблицы 11 видно, что все элементы первой строки равны нулю, кроме х₁₄. Строка 1 и столбец 4 исключаются из дальнейшего рассмотрения. Таблица 11 преобразовывается в Таблицу 12.

Таблица 12.

	2	3	5
2	13 500, 11 103, 10 348, 9 325	7 241	7 710
3	7 241	13 500, 9 408, 5 805, 5 157	5 626
5	7 710	5 626	13 500, 10 380, 7 983, 6 095

2. Разность коэффициентов пятого столбца с третьим :

2 строка: 7710 – 7241 = 469

3 строка: 5626 – 5157 = 469

5 строка: 7983 – 5626 = 2357

Наибольшая разность равна 2357 – в пятой строке. Но элемент х₅₁ и так не входит в оптимальный план. Следующая по величине разность равна 469. Тогда новое значение с₅₁ = 5626 + 469 = 6095.

Анализируя таблицу 12 прихожу к выводу, что кроме х₁₄ = 1 и х₄₁ =1, единице могут быть равны либо х₂₃, х₃₅, х₅₂ , либо х₂₅, х₃₂, х₅₃.

А значит, из таблицы 12 следует, что решение задачи о назначениях имеет 2 варианта и имеет вид:

Вариант (а):

Таблица 13.

	1	2	3	4	5
1				1
2			1
3					1
4	1
5		1

Маршрут для варианта (а): 1-4-1 и 2-3-5-2

Вариант (б):

Таблица 14.

	1	2	3	4	5
1				1
2					1
3		1
4	1
5			1

Маршрут для варианта (б): 1-4-1 и 2-5-3-2

В обоих вариантах решения задачи получилась совокупность двух замкнутых локальных маршрутов. Это не является решением задачи коммивояжера. Для получения требуемого решения следует использовать решение задачи о назначениях для получения одного замкнутого маршрута наименьшей стоимости. Следует соединить локальные маршруты в один так, чтобы увеличение целевой функции было минимальным.

Решение задачи коммивояжера.

Решение задачи о назначениях дает матрицу, представленную в Таблице 15, где элементы, входящие в оптимальные решения помечены знаком *. Диагональные элементы содержат штрафные функции (С = 13 500), запрещающие поездку из города в тот же город.

Таблица 15.

	1	2	3	4	5
1	13 500	4 496	2 412	5 512*	4 769
2	6 893	13 500	7 241*	10 989	7 710*
3	2 695	7 241*	13 500	8 905	5 626*
4	5 512*	10 341	8 257	13 500	8 726
5	5 052	7 710*	5 626*	8 726	13 500

Теперь необходимо подсчитать оценку β для каждой из ветвей входящей в оптимальные решения по следующей формуле:

β_kr = min {C_ir} + min {C_jk}

i=1,n; i≠k j=1,n; j≠r

Эта оценка говорит о том, насколько увеличится целевая функция, если эта ветвь не войдет в оптимальное решение.

1. β₁₄ = 2412 + 8726 = 11138

β₂₃ = 6893 + 2412 = 9305

β₂₅ = 6893 + 4769 =11662

β₃₂ = 2695 + 4496 = 7191

β₃₅ = 2695 + 4769 =7464

β₄₁ = 8257 + 2695 = 10952

β₅₂ = 5052 + 4496 = 9548

β₅₃ = 5052 + 2412 = 7464

Наибольшее значение β_kr = β₂₅ = 11662, что соответствует ветви 2-5. Это ветвь обязательно должна остаться в оптимальной цепи. При этом ветвь 5-2 недопустима. Обозначаю недопустимые ветви жирным шрифтом. Матрица упрощается, из неё исключаются уже рассмотренные ветви. Таблица 15 переходит в Таблицу 16.1

Таблица 16.

	1	2	3	4
1	13 500	4 496	2 412	5 512*
3	2 695	7 241*	13 500	8 905
4	5 512*	10 341	8 257	13 500
5	5 052	13 500	5 626*	726

2. β₁₄ = 2412 + 8726= 11138

β₃₂ = 2695 + 4496 = 7191

β₄₁ = 8257 + 2695 = 10952

β₅₃ = 5052 + 2412 = 7464

Наибольшее значение β_kr = β₁₄ = 11138, что соответствует ветви 1-4. Связать её с оптимальной цепью нельзя. При этом ветвь 4-1 недопустима. Матрица упрощается, из неё исключаются уже рассмотренные ветви. Таблица 16 переходит в Таблицу 17.

Таблица 17.

	1	2	3
3	2 695	7 241*	13 500
4	13 500	10 341	8 257
5	5 052	13 500	5 626*

3. β₃₂ = 2695 + 10341 = 13036

β₅₃ = 5052 + 8257 = 13309

Наибольшее значение β_kr = β₅₃ = 13309, что соответствует ветви 5-3. Присоединим эту ветвь к концу оптимальной цепи и получим: 2-5-3. При этом ветвь 3-2 будет недопустима.

Матрица упрощается, Таблица 17 переходит в Таблицу 18.

Таблица 18.

	1	2
3	2 695	13 500
4	13 500	10 341

Из Таблицы 18 следует появление в оптимальной цепи ветви 3-1, и появление ветви 4-2.

Ветвь 3-1 присоединим к концу цепи, а ветвь 4-2 к началу и получим: 4-2-5-3-1. А с учетом ранее полученной ветви 1-4, которую присоединим к началу имеющейся цепи, получим окончательную оптимальную цепь, которая имеет вид: 1-4-2-5-3-1.

Величина целевой функции с учетом полученной оптимальной цепи:

С = 5512 + 10341 + 7710 + 5626 + 2695 = 31 884 (руб.)

31 884 руб. – это есть минимальные затраты на поездку специалиста авиаремонтного завода по пяти городам.