Курс лекций по физике - Часть_1 - Механика_Термодинамика

Константа интегрирования может быть выбрана произвольно, поскольку физический смысл имеет не сама энтропия, а ее изменение.

Конечное изменение энтропии S в любом обратимом процессе, в котором система переходит из начального состояния (1) в конечное состояние (2), можно найти как сумму бесконечных изменений энтропии, то есть

Изменение энтропии S зависит только от начального и конечного состояний и не зависит от характера процесса, лишь бы он был обратим.

Изменение энтропии в замкнутой изолированной системе при круговом обратимом процессе будет равно нулю S 0 . Если же процесс круговой, но необратимый, изменение энтропии будет положительно S 0 .

Эти два утверждения составляют содержание в т о р о г о н а ч а л а т е р м о д и -

н а м и к и – полная энтропия замкнутой изолированной системы, состоящей из произвольной системы вместе с ее окружением, в любом естественном процессе не

уменьшается S 0 .

Таким образом, поскольку S 0 (то есть, поскольку энтропия не может убывать в замкнутых изолированных системах), то второе начало термодинамики указывает направление протекания процессов в таких системах: все самопроизвольные процес-

сы в замкнутых изолированных системах протекают в сторону неубывания энтропии.

Если в состоянии (1) энтропия больше, чем в состоянии (2), S1 S2 , то самопроиз-

вольный переход (1)–(2) невозможен, и наоборот, самопроизвольный переход (2)–(1) возможен.

Посмотрим, что это значит. Для примера рассмотрим замкнутую изолированную систему, состоящую из двух подсистем, находящихся при температуре T1 и T2 , между которыми происходит теплообмен. Пусть тепло переходит от подсистемы 1 к подсис-

второму началу термодинамики в изолированной системе в результате протекающих процессов тепло может передаваться только от подсистемы с большей температурой к менее нагретой подсистеме.

Энтропию рассматривают так же как меру неупорядоченности структурированной (упорядоченной) системы. Равновесное состояние системы, при котором все молекулы равномерно распределены по объему системы, является полным отсутствием порядка, абсолютным беспорядком. Чем больше энтропия, тем ближе система к равновесному состоянию и тем больше беспорядок системы.

В соответствии со вторым началом термодинамики все естественные процессы стремятся перевести систему в состояние с большим беспорядком.

После установления второго начала термодинамики возникло представление о «тепловой смерти» Вселенной, под которым понимается такое состояние Вселенной, когда во всех участках мира температура станет одинаковой. Это произойдет, когда энтропия достигнет максимума, тогда все процессы прекратятся, и не будет существовать причин, способных вызвать возникновение каких бы то ни было процессов. Действительно, любой процесс приводил бы к возрастанию энтропии, а это невозможно, так как она уже достигла максимума.

На самом деле гипотеза о «тепловой смерти» Вселенной возникла в результате необоснованного обобщения законов термодинамики изолированных систем на весь мир. Когда в термодинамике мы говорим об изолированной системе, мы имеем в виду изолированность от окружения, которое предполагается существующим. То есть изолированная система – это обязательно «часть», а не целое. Напротив, «Вселенная» в гипотезе о «тепловой смерти» понимается как целое, это «изолированная система» в философском, а не термодинамическом смысле, эта система по сути своей не может никогда ни отдавать тепло, ни получать. Таким образом, это не термодинамическая система и на нее не могут быть распространены законы термодинамики.

Вселенная в целом может эволюционировать непрерывно и монотонно, никогда не приходя в состояние термодинамического равновесия. Как следует из общей теории относительности, благодаря наличию гравитационных полей гигантские космологические объекты могут увеличивать свою энтропию, никогда не приходя в состояние с максимумом энтропии, поскольку такого состояния вообще не существует.

Исторически второе начало термодинамики было получено в ходе изучения теп-

Одна из первых формулировок второго начала термодинамики (формулировка У. Томсона (лорда Кельвина) (W. Tomson, 1824–1907), предложенная в 1851 году): не-

возможен периодический процесс, при котором все забираемое у нагревателя тепло превращается в работу. То есть термодинамический КПД тепловой машины, определяемый как отношение работы, производимой тепловой машиной, к теплу, полученному от нагревателя

не может быть больше или равен единице (всегда строго меньше единицы) 1.

Тема: Основы молекулярной физики газов

Вопросы:

1.Модель идеального газа в молекулярной физике.

2.Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов.

3.Молекулярно-кинетический смысл температуры.

4.Распределение Максвелла молекул по скоростям и энергиям теплового движения. Характеристические скорости.

5.Распределение Больцмана. Барометрическая формула.

Молекулярная физика, вообще говоря, изучает не только макроскопические явления. Свойства и строение отдельных атомов и молекул, рассмотренные нами в предыдущей части курса – в квантовой физике, также являются объектом изучения молекулярной физики. Рассматриваемый в настоящем разделе широкий круг макроскопических явлений обусловлен не столько деталями строения атомов и молекул, сколько необычайно большим числом самих атомов в макроскопической системе. При этом следует иметь в виду, что молекулярная физика, которую мы будем использовать, построенная на основе классической механики, охватывает не весь диапазон экспериментальных фактов. Но такие явления, для которых необходимо привлекать представления квантовой механики, происходящие, например, при очень низкой температуре, мы в настоящем разделе рассматривать не будем.

Поскольку макроскопические системы состоят из огромного множества частиц, которые находятся в движении, лишь в редких случаях с помощью сложных приспособлений можно следить за какой-нибудь одной частицей. Помимо этих случаев, вопросы о движении частиц в макросистемах приходится разрешать на основании стати-

стического метода, основанного на законах теории вероятности и математической статистики. При статистическом подходе события, происходящие в микромире, описываются точными законами механики и с помощью законов теории вероятности предсказывают, как отразится неупорядоченность микромира на процессах, доступных непосредственному наблюдению.

Пользуясь статистическим описанием, свойства газовых систем изучает м о л е -

к у л я р н о – к и н е т и ч е с к а я т е о р и я (МКТ) газов, основанная на том, что газо-

вые системы состоят из мельчайших частиц, находящихся в непрерывном хаотическом тепловом движении.

Одним из частых приемов, присущих статистическому методу, является вычисление средних значений различных величин. Свойства макроскопической системы, каковой является, в частности, газ, обусловлены индивидуальными свойствами частиц, входящих в систему, особенностями их движения, но при статистическом подходе свойства системы описываются средними значениями скоростей, энергий и других динамических характеристик этих частиц.

При изучении поведения реальных газовых систем в МКТ используют идеализированные модели. Простейшей моделью газовой системы в МКТ является м о д е л ь и д е а л ь н о г о г а з а (ИГ), которая основана на двух основных положениях:

1.Молекулы идеального газа имеют пренебрежимо малый собственный объем по сравнению с объемом, занимаемым газом (Vмол V ).

2.Потенциальной энергией взаимодействия между молекулами идеального газа можно пренебречь по сравнению с кинетической энергией движения молекул.

Молекулы идеального газа движутся прямолинейно и равномерно между столкновениями, а столкновения между молекулами происходят за очень короткие промежутки времени по сравнению с интервалом времени между столкновениями.

Важное требование молекулярно-кинетической теории – молекул в газе должно быть много, для того чтобы можно было применять статистическое описание и находить средние значения.

Всоответствии с требованиями модели моделью идеального газа можно пользоваться для реальных газов только в тех случаях, когда газ имеет малую концентрацию молекул и молекулы в газе очень быстро двигаются. При достаточно высокой температуре и малом давлении модель идеального газа применима для любой газовой системы.

Втермодинамике мы уже ввели понятие идеального газа – это газ, для которого экспериментальные законы выполняются точно. Назвав введенную в молекулярнокинетической теории модель газа тоже идеальным газом, мы предполагаем, что его состояния будут описываться обобщенным газовым законом. Убедимся в этом.

Найдем давление идеального газа на стенки сосуда, исходя из представлений мо- лекулярно-кинетической теории. По определению давление

P FS ,

где F – перпендикулярная стенке составляющая силы, действующей со стороны совокупности молекул на стенку, S – площадь участка стенки, на который действует сила F .

По второму закону Ньютона среднюю за время t силу можно найти

F p ,

t

где p – изменение импульса площадки S за время t , то есть импульс, который

передают молекулы газа при соударении c площадкой в течение времени t . Найдем этот импульс.

Будем считать для простоты, что все молекулы движутся с постоянной скоростью

Найдем количество молекул, находящихся в объеме V и движущихся к площадке. Рассмотрим молекулы, летящие по взаимно перпендикулярным направлениям (оси Оx, Oy, Oz ). Треть молекул в среднем летит вдоль оси Ox (половина по направлению

оси, половина обратно), треть – вдоль оси Oy (туда и обратно) и треть – вдоль оси Oz . Таким образом, в одном направлении (к площадке S ) летит лишь шестая часть всех

молекул. Следовательно, в площадку за время t попадет N 16 nV 16 nSv t

молекул, где n – концентрация молекул в газе. Эти молекулы передадут площадке импульс p N p0 , где p0 – импульс, передаваемый одной налетающей на стен-

ку молекулой. Считая удар абсолютно упругим, найдемp0 m0v ( m0v) 2m0v ,

где m0 – масса молекулы.

Подставив полученные выражения в выражение для давления, получим

При более строгом и сложном рассмотрении необходимо учесть, что молекулы имеют различные по величине и направлению скорости, тогда вместо квадрата скоро-

сти v 2 давление будет определяться через среднее значение квадрата скорости v 2 ,

P 13 nm0 v 2 .

Полученное выражение носит название о с н о в н о г о у р а в н е н и я м о л е к у -

л я р н о - к и н е т и ч е с к о й т е о р и и г а з о в .

Поскольку средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы равна

давление можно выразить через среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы

P 23 n.

Это другая форма записи основного уравнения МКТ.

Сравним основное уравнение молекулярно-кинетической теории с экспериментально полученным уравнением состояния идеального газа P nkT . Видим, что они согласуются между собой, если

Таким образом, мы убедились, что модель идеального газа, введенная в молеку- лярно-кинетической теории газа, действительно описывает идеальный газ, введенный в

термодинамике. Именно это выражение средней кинетической энергии молекулы мы использовали в предыдущей теме для определения внутренней энергии, в частности, одноатомного идеального газа. Сейчас мы его обосновали.

Выражение для средней квадратичной скорости может быть получено и иначе.

Поскольку кинетическая энергия поступательного движения молекулы m0v 2 ,

2

Заметим, что функция Максвелла, как любое распределение, является типичным случаем статистического закона, а потому, чем больше число N молекул рассматривается, тем ближе реальное распределение к распределению Максвелла. Кроме того, отметим, что в распределении Максвелла не учитывается влияние силовых полей, например, гравитационного поля Земли, то есть, рассматривается случай, когда на молекулы газа не действуют никакие силы, кроме сил удара при столкновениях. В отсутствии внешних сил концентрация молекул газа в состоянии равновесия всюду одинакова, но этого не будет при наличии силовых полей.

Рассмотрим поведение молекул газа в гравитационном поле Земли.

В отсутствии силы тяжести молекулы воздуха в результате теплового движения должны были бы рассеяться в мировое пространство. Притяжение к Земле в отсутствии теплового движения, напротив, должно было бы привести к падению молекул на земную поверхность. Эти противоположные тенденции – тяготение и тепловое движение приводят газ в устойчивое состояние, при котором его концентрация и давление убывают с высотой.

Выделим столб газа площадью основания S . Давление на высоте h обозначим P(h) , а давление на высоте h dh обозначим P(h dh) . Здесь dh – бесконечно ма-

Будем считать, что

1) температура не меняется с высотой (T const );

ской атмосферы получаем б а р о м е т р и ч е с к у ю ф о р м у л у

gh

P(h) P e RT .

0

Разделив числитель и знаменатель показателя экспоненты на число Авогадро, запишем барометрическую формулу в другом виде

где U (h) m0 gh – потенциальная энергия молекулы массой m0 на высоте h .

Из барометрической формулы можно получить соотношение между концентрациями газа на различной высоте, так как давление газа связано с концентрацией соотношением P nkT . При изотермических условиях р а с п р е д е л е н и е м о л е к у л п о в ы с о т е в гравитационном поле, называемое распределением Больцмана, будет иметь вид

Для произвольных силовых полей можно записать общее выражение распреде-

ления Больцмана

U

n n0e kT ,

здесь U – потенциальная энергия молекулы в силовом поле. Последнее выражение, записанное в виде

n e kTU ,

n0

определяющее долю молекул, имеющих потенциальную энергию U , часто называют «е-положением Больцмана», которое справедливо для любого поля внешних сил, а для гравитационного поля Земли приводит к барометрической формуле.

Концентрация молекул меньше там, где потенциальная энергия молекул больше. Молекулы стремятся занять положение с наименьшей энергией. Этому стремлению препятствует тепловое движение молекул.