4.3 Способ Сизова в.Г.

Данный способ применим не только при положительных, но и при нулевой и отрицательных метацентрических высотах [5].

Заменим независимую переменную θ новой переменной φ по формуле

где θ₀-угол крена , для которого производится расчет.

Тогда , а пределам интегрирования θ=0 и θ= θ₀ отвечают соответственно новые пределы φ=π/2 и φ=0.

Тогда формулу для периода можно записать4(17)

или

. (18)

При любых значениях φ подынтегральная функция в бесконечность не обращается, однако при φ=0 имеем неопределенность типа 0/0. Раскроем её по правилу Лопиталя. Обозначим подынтегральную функцию как

(19)

Ее предел , согласно правилу Лопиталя, ,

где

;

(20)

Тогда

. (21)

Окончательно

при φ=0 (22)

4.4 Способ Павленко г.Е.

Способ Павленко основан на следующей замене переменной интегрирования

(23)

Тогда подкоренное выражение, находящееся в знаменателе интеграла, преобразуется к виду:

. (24)

Дифференцируя выражение (23) найдём

(25)

С другой стороны, можно записать

(26)

Приравнивая эти выражения, найдем:

(27)

.

Определим пределы интегрирования новой переменной . При θ=0 имеем d=0, и следовательно, на основании выражения (23) sinξ=0, т.е. ξ=0. При θ=θ₀ d=d₀; следовательно sinξ=1 и ξ=π/2. Таким образом, после замены переменной интегрирования, формула для периода качки преобразуется к виду:

(28)

Произведя сокращения, окончательно получим:

(29)

Входящий в формулу (29) интеграл не содержит величин, обращающихся в бесконечность; для его вычисления можно применить любое правило приближённого интегрирования. При этом плечо остойчивости ℓ следует рассматривать как функцию новой переменной ξ.

Однако формула Павленко обладает тем же недостатком, что и формула Сизова. При ξ=0, т.е при θ=0, подинтегральная функция обращается в неопределённость. Для её раскрытия используем правило Лопиталя. Предел подинтегральной функции ,

где

;

. (30)

Но,

,

тогда

ℓim= .

Отсюда

. (31)

Известно, что . Тогда, окончательно

. (32)

Способ Павленко Г.Е. неприменим при отрицательной и нулевой метацентрических высотах [1].

Для расчета нелинейной бортовой качки судна на волнении необходимо знать периоды качки на спокойной воде в широком диапазоне углов крена– теоретически от нуля до угла заката диаграммы статистической остойчивости.

Однако этому углу отвечает состояние неустойчивого равновесия судна, при котором период обращается в безопасность, что затрудняет построение кривой периодов в районе угла заката. Частота качки всюду остается конечной, поэтому частотный графикω_θ(θ₀) более удобен для использования. Чтобы построить частотный график, нужно вычислить частоту для углов качки θ₀=10, 20, 30⁰….применяя каждый раз формулу для τ_θ с использованием одного из приведенных способов. Углу качки, равному нулю, отвечает частота, вычисленная по формулам линейной теории. Слева от оси ординат, по которой откладываются углы θ₀, строится диаграмма остойчивости, справа – частотный график( рис.4).

Рис.4. Частотные графики нелинейной бортовой качки

Форма частотного графика определяется видом диаграммы статистической остойчивости. Можно выделить следующие группы кривых ( рис.5)

1) кривые 3, отклоняющиеся влево от вертикали, в сторону меньших частот соответствуют диаграммам статической остойчивости , расположенным ниже касательной;

2) кривые 2 , отклоняющиеся сначала вправо от вертикали, а затем влево соответствуют диаграммам статической остойчивости, частично расположенным выше касательной;

3) кривые 1, относящиеся к судам с линейным начальным участком диаграммы статической остойчивости.

Рис.5 Формы частотных графиков

Кроме этого, существуют S-образные форму частотных графиков, соответствующих диаграммам статической остойчивости с ярко выраженной нелинейностью начального участка .