10 Устойчивость стационарных режимов качки

Рассмотрим АЧХ нелинейной качки (рис.13).

Рис.13 Определение стационарных режимов качки

В диапазоне частот волн ω₁<ω<ω₂ каждому значению частоты соответствуют три расчетные значения амплитуды качки, определяемые точками 1,2, и 3 кривой. Но на самом деле на регулярном волнении с заданными параметрами судно будет качаться с одной определённой амплитудой. Чтобы определить с какой именно амплитудой будет качаться судно, необходимо рассмотреть вопрос об устойчивости судна в стационарных режимах качки, соответствующих ветвям ОА, АВ и ВС АЧХ.

В теории устойчивости движения существуют понятия устойчивости «в малом», когда возмущения рассматриваемого режима настолько малы, что их квадратами и внешними степенями можно пренебречь и устойчивости «в большом», когда возмущения считают конечными. Если рассматриваемый режим движения «в малом» неустойчив, то он неосуществим и физически, т.к. малые возмущения стационарного режима в действительности всегда имеются.

Для изучения устойчивости «в малом» стационарных режимов качки ОА, АВ и ВС будем использовать метод вариаций А.М. Ляпунова. Согласно этому методу, необходимо задаться формой движения, близкой к рассматриваемой [3]:

. (159)

Далее, подставить это выражение в уравнение нелинейной качки и решая его, выяснить, при каких условиях малые возмущения по амплитуде и по начальной фазезатухают, а при каких возрастают. Первые условия будут соответствовать устойчивому режиму качки, вторые– неустойчивому режиму. Исходное дифференциальное уравнение нелинейной бортовой качки можно заменить следующей системой уравнений:

. (160)

Подставим в (146) значения амплитуды и фазы в следующем виде:

, .

Далее разложим правые части системы уравнений (160) в степенные ряды по ис точностью до малых первого порядка, и получим систему дифференциальных уравнений, определяющих законы измененияи:

;

. (161)

где и– производные функцииК₀ и Р₀ по амплитуде, а и – по фазе.

Уравнения (161) называются уравнениями в вариациях. Решение уравнений (161) представим в виде:

,

и составим характеристическое уравнение:

. (162)

Если корни этого уравнения имеют отрицательные вещественные части, то ис течением времени затухают и движение является устойчивым. Это условие сводится к двум неравенствам:

(163)

Первое из неравенств всегда выполняется. Если продифференцировать равенство

по, а

(164)

по ,

для стационарного режима качки, найдем

,

(165)

Отсюда всегда , поскольку>0 всегда.

Рассмотрим второе условие устойчивости. Для этого выразим производные по иправых частей уравнений (160) через производные поω. В стационарном режиме и.

Дифференцируя по ω ,получим:

;

. (166)

Откуда можно получить

. (167)

Производные, входящие в правую часть равенства, можно определить, используя выражения (164).

. (168)

Но ,а^.

С учетом этого:

(169)

С учётом (169) второе условие устойчивости будет иметь вид:

(170)

Следовательно, устойчивы те участки амплитудно-частотной кривой для которых

При ,

а

при (171)

Если эти условия не выполняются, стационарный режим качки неустойчив «в малом» и в реальных условиях плавания существовать не может. Таким образом, участки ОА и ВС АЧХ соответствуют устойчивым режимам качки, а участок АВ– неустойчивому, физически неосуществимому режиму. Это позволяет представить процесс развития нелинейной качки судна в соответствии со следующей схемой. Пусть частота набегающих волн, вначале достаточно большая, уменьшается. Тогда амплитуда качки вначале медленно возрастает в соответствии с изменением участка кривой СВ, затем, в точке В амплитуда резко уменьшается до значения, соответствующих участку АО, затем опять медленно уменьшается, стремясь к нулю при ω→0 (рис.14).

Если же частота волн медленно увеличивается, то амплитуда в начале

медленно возрастает на участке ОА. В точке А она резко увеличивается до значения, соответствующего участку ВС, а затем медленно уменьшается (рис.14).

Таким образом, при нелинейной бортовой качке имеют место явление «срыва» и «скачка» амплитуды.

Чтобы определить с какой же амплитудой, соответствующей участку ОА или ВС, которые «в малом» устойчивы, будет действительно качаться судно, нужно оценить их устойчивость «в большом».

Это можно сделать, с помощью уравнений (164) методом фазовой плотности. Выполненные исследования показывают, что устойчивость режима ВС ниже, чем режимы менее интенсивной качки той же частоты соответствующие участку ОА амплитудно-частотной кривой.

Для судна имеющего S-образную диаграмму остойчивости участки

ОА и ВС будут устойчивы, а АВ-неустойчив (рис.15).

Рис.14 Явления срыва и скачка АЧХ при параболической ДСО

Рис.15 Явления срыва и скачка АЧХ для S-образной ДСО