методические указания для лабораторных работ / РАСЧЕТ СОБСТВЕННЫХ И ВЗАИМНЫХ ЧАСТИЧНЫХ ЕМКОСТЕЙ СИСТЕМЫ ПРОВОДНИКОВ

1= 11 1+ 12 2 + 13 3 + 14 4 + 15 5

2= 21 1+ 22 2 + 23 3 + 24 4 + 25 5

3= 31 1+ 32 2 + 33 3 + 34 4 + 35 5

(7)

4= 41 1+ 42 2 + 43 3 + 44 4 + 45 5

5= 51 1+ 52 2 + 53 3 + 54 4 + 55 5

Коэффициенты системы определяются аналогично (6), а индексы коэффициентов - взаимными расстояниями проводников. Для одинаковых

Коэффициенты с одинаковыми индексами 11, 22, …, kk опреде-

ляют потенциал проводникам его собственным линейным зарядом, а коэф-

фициенты с разными индексами определяют составляющую потенции-

kn

ала проводника от влияния зарядов соседних проводников. Присвоение ин-

дексов расстояниям a и b иллюстрируется рис. 2.

Коэффициенты называются потенциальными коэффициентами. Ес-

ли все потенциальные коэффициенты системы (7) определены, а потен-

циалы всех проводников известны, то система допускает решение отно-

сительно неизвестных линейных плотностей зарядов проводников:

1= 11 1+ 12 2 + 13 3 + 14 4 + 15 5

2= 21 1+ 22 2 + 23 3 + 24 4 + 25 5

3= 31 1+ 32 2 + 33 3 + 34 4 + 35 5 (10)

4= 41 1+ 42 2 + 43 3 + 44 4 + 45 5

11

5= 51 1+ 52 2 + 53 3 + 54 4 + 55 5

Уравнения системы (10) называются второй группой формул Макс-

велла, а коэффициенты системы - емкостными коэффициентами. Если

Рис. 2. Правило присвоения индексов расстояниям а и b:

аkn – расстояние от проводника k до проводника n; bkn - расстояние от проводника k до изображения проводника n; bkk расстояние от проводника k до изображения проводника k; rk – радиус проводника k

положить 1 0, а 2= 3= 4= 5=0, то из первого уравнения системы:

12

Таким образом, коэффициенты имеют размерность емкости на единицу длины проводника. Все коэффициенты могут быть вычислены через известные коэффициенты :

kn kn , (12)

где - главный определитель системы (7),

– алгебраическое дополнение определителя , которое образуется

kn

вычеркиванием k-й строки и n-го столбца и умножением полученного минора на (-1)k+n.

При всех вычислениях главный определитель получается симметрич-

ным относительно главной диагонали. Симметрия обуславливается равен-

ством расстояний akn = ank и расстояний bkn = bnk и, как следствие, равен-

ством коэффициентов и . Из симметрии главного определителя сле-

kn nk

дует равенство алгебраических дополнений = и коэффициентов

kn nk

= . Все коэффициенты с одинаковыми индексами положительны,

kn kn kk

а с разными – отрицательны.

kn

Уравнения системы (10) в результате эквивалентных преобразований могут быть сведены к третьей группе формул Максвелла. Для примера такие преобразования показаны ниже для первого уравнения системы (10)

прибавлением и вычитанием из уравнения одинаковых произведений:

1= 11 1+ 12 2 + 13 3 + 14 4 + 15 5 + + 12 1 - 12 1 + 13 1 - 13 1 + 14 1 - 14 1 +

15 5 - 15 5 = = ( 11+ 12 + 13 + 14 + 15) 1+ 12 ( 2- 1) + 13 ( 3- 1) +

14 ( 4- 1) + 15 ( 5- 1) = ( 11+ 12 + 13 + 14 + 15) 1-

13

Результаты расчета потенциальных коэффициентов в матричной форме:

Таким образом, все потенциальные коэффициенты системы (7) най-

дены, поэтому возможно решение системы относительно неизвестных ли-

16

нейных плотностей зарядов . В программе Mathcad система (7) запишется в виде:

1 11 1 12 2 13 3 14 4 15 5

2 21 1 22 2 23 3 24 4 25 5

3 31 1 32 2 33 3 34 4 35 5

4 41 1 42 2 43 3 43 4 45 5

5 51 1 52 2 53 3 54 4 55 5

Потенциалам осей присваиваются численные значения в соответствии с вариантом задания:

Систему удобно решать в матричной форме, поэтому потенциалы осей записываются как вектор-столбец, а коэффициенты - как матрица:

17

В результате все линейные плотности зарядов найдены.

Емкостные коэффициенты рассчитываются в соответствии с (12):

kn

kn

где - главный определитель системы (7),

– алгебраическое дополнение определителя , которое образуется

kn

вычеркиванием k-й строки и n-го столбца и умножением полученного минора на (-1)k+n.

Главный определитель образуется на основе матрицы . Для

исключе-

ния путаницы в обозначении элементов матрицы и ее субматриц,

Коэффициентов , а значит и алгебраических дополнений ( ) - 25.

kn kn

Приводить их все не имеет смысла, так как они образуются по известному

простому правилу. Ниже приведен пример записи для двух субматриц.

18

19