27 Выражение синусоидальных напряжений и токов с помощью комплексных чисел. Комплексные сопротивление и проводимость. Комплексная мощность.

Синусоидально изменяющуюся электрическую величину можно представить комплексным числом и изобразить в виде вектора на комплексной плоскости с прямоугольной системой координат.

Комплексное число состоит из действительной (вещественной) и мнимой частей. По оси ординат откладывают мнимую часть комплексного числа, а ось обозначают +j; по оси абсцисс – действительную часть комплексного числа, а ось обозначают +1.

На комплексной плоскости синусоидальная величина может изображаться в виде модуля и аргумента или в виде двух составляющих вектора, направленных по действительной и мнимой осям.

Например, синусоидальный ток представляют вектором, модулем которого является значение амплитуды тока, а аргументом – начальная фаза, которую можно выражать в радианах или в градусах.

Составляющим вектора по действительной оси будет, а по мнимой -, то есть

Вектор называют комплекснойамплитудой тока.

При построении векторных диаграмм точно фиксируют угол сдвига между векторами, а положение их относительно осей комплексной плоскости может быть произвольным, поэтому оси можно не изображать.

При анализе электрических цепей переменного тока приходится иметь дело с умножением и делением электрических величин. В этом случае удобно пользоваться комплексами этих величин, записанными в показательной форме:

где - оператор поворота единичного вектора относительно оси действительных величин

Умножение на j означает поворот вектора на +90 градусов (против часов стрелки).

Умножение на –j означает поворот вектора на угол –90 градусов (по часовой стрелке).

28. Резонанс напряжений, условие и признаки, частотные характеристики

Условием возникновения резонанса напряжений в последовательном RLC - контуре является равенство реактивных сопротивлений катушки и конденсатора. При значения противоположных по фазе напряжений на индуктивности и на емкости равны, поэтому резонанс в рассматриваемой цепи называют резонансом напряжений.

Полное сопротивление последовательного контура при резонансе минимально и равно активному сопротивлению.

Из формулы закона Ома следует, что приток в контуре максимален и, ввиду чисто активного сопротивления цепи, совпадает по фазе с приложенным напряжением:

Напряжение на индуктивности и на емкости равны и в Q раз превышают приложенное напряжение:

Величина Q называется добротностью контура и показывает во сколько раз напряжение на реактивном (индуктивном или емкостном) элементе превышает напряжение на входе схемы в резонансном режиме.

где ρ – волновое (характеристическое) сопротивление контура:

Угловая частота, при которой наступает резонанс, называется резонансной угловой частотой:

А частота, при которой возникает резонанс – соответственно резонансной частотой.