3 Вероятностные оценки погрешности результата измерений на основании ряда наблюдений

Доверительный интервал и доверительная вероятность. Если известен закон распределения погрешностей, можно определить вероятность появления погрешности , не выходящей за некоторые принятые границы. Этот интервал называют доверительным интер­валом, а характеризующую его вероятность — доверительной ве­роятностью. В практике измерений применяют различные значе­ния доверительной вероятности, например: 0,90; 0,95; 0,98; 0,99; 0,9973 и 0,999. Доверительный интервал и доверительную вероят­ность выбирают в зависимости от конкретных условий измерений. Так, например, при нормальном законе распределения случайных погрешностей со средним квадратическим отклонением 0 часто пользуются доверительным интервалом от + 3σ до – 3σ, для кото­рого доверительная вероятность равна 0,9973. Такая доверитель­ная вероятность означает, что в среднем из 370 случайных погреш­ностей только одна погрешность по абсолютному значению будет больше 3σ. Так как на практике число отдельных измерений редко превышает несколько десятков, появление даже одной случайной погрешности, большей, чем 3σ, будет маловероятным событием, наличие же двух подобных погрешностей почти невозможно. Это позволяет с достаточным основанием утверждать, что все возмож­ные случайные погрешности измерения, распределенные по нормаль­ному закону, практически не превышают по абсолютному значе­нию 3σ (правило или критерий «трех сигм»).

Доверительный интервал является одной из основных форм выражения точности измерений. Одну из форм представления результата измерения этот ГОСТ 8.011 – 72 устанавливает в следующем виде:

А; Δ от Δ_н до Δ_в; Р, или А ± Δ; Р

где А – результат измерения (действительное значение) в единицах измеряемой величины; Δ, Δ_н, Δ_в – соответственно погрешность измерения с нижней и верхней ее границами в тех же единицах; Р — установленная вероятность, с которой погрешность измере­ния находится в этих границах.

Оценка погрешности результата измерений. Для правильной оценки результата измерений и его погрешности необходимо произ­водить обработку результатов отдельных наблюдений ряда в сле­дующем порядке.

1. Исключить из рассматриваемого ряда измерений случайные грубые погрешности (промахи), используя критерий трёх сигм.

2. Оценить и исключить систематическую погрешность из каж­дого отдельного результата ряда наблюдений, получив таким обра­зом исправленный ряд наблюдений, не содержащий систематических погрешностей.

3. Для исправленного ряда наблюдений оценить основные его характеристики: математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

4. Найти результат измерения (действительное значение измеряемой величины) и оценку среднего квадратического отклонения погрешности результата измерения.

Оценка погрешности измерения в лабораторных условиях производится многократным измерением одной и той же величины. Рассмотрим наиболее характерные случаи обработки результа­тов наблюдений при прямых измерениях. Предположим, что при многократном изме­рении интересующей нас величины получили n отдельных резуль­татов наблюдений. Необходимо:

1. Определить в соответствии с формулой 2 среднее арифметическое значение результатов измерений А_ср.

2. Определить среднюю квадратическую погрешность измерения σ.

При n ≤ 30 σ = ;(4)

при n > 30 σ = . (5)

где а_i – значение измеряемой величины при i измерениях

3. Определить предельную погрешность измерения ׀Δ_lim׀ = ׀3σ׀. Если после определения предельной погрешности измерения, окажется, что какое-то значение ׀А_ср – а_i׀ > ׀3σ׀, то это значение относится к категории промахов и должно быть исключено из дальнейшего рассмотрения.

4. Исключить промахи из протокола измерений и систематическую погрешность, если она имеет место, после чего произвести повторную обработку результатов измерений (пересчитать А_ср и σ).

5. Определить среднюю квадратическую погрешность определяемой величины

σ_Аср = σ/- при количестве измерений n более 30-ти,

σ_Аср = σ/-при количестве измерений n менее 30-ти.

Диапазон, в пределах которого с заданной вероятностью Р находится истинное значение измеряемой величины, равен:

А_изм = А_ср ± t σ_Аср , где t – коэффициент, зависящий от вида закона распределения случайных величин (погрешностей). При обработке небольшого числа измерений (менее 30-ти) обычно применяют распределение Стьюдента (таблица Б.1). В нашем случае количество измерений, как правило, не превышает 30-ти, поэтому мы будем пользоваться распределением Стьюдента.

Тогда границы доверительного интервала математического ожидания («истинного» значения) М[А] величины А лежит в пределах:

А_ср – t σ_Аср ≤М[А] ≤ А_ср + tσ_Аср, (6)

Таблица Б.1– Коэффициент Стьюдента t

Р n	0,8	0,9	0,95	0,99	0,999
2	3,1	6,3	12,7	63,7	637
3	1,9	2,9	4,3	9,9	31,6
4	1,6	2,4	3,2	5,8	12,9
5	1,5	2,1	2,8	4,6	8,6
6	1,5	2,0	2,6	4,0	6,9
7	1,4	1,9	2,4	3,7	6,0
8	1,4	1,9	2,4	3,5	5,4
9	1,4	1,9	2,3	3,4	5,0
10	1,4	1,8	2,3	3,3	4,8
11	1,4	1,8	2,2	3,2	4,6
12	1,4	1,8	2,2	3,1	4,3
13	1,4	1,8	2,2	3,1	4,3
14	1,4	1,8	2,2	3,0	4,2
15	1,3	1,8	2,1	3,0	4,1