Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
AD.docx
Скачиваний:
48
Добавлен:
21.03.2016
Размер:
965.38 Кб
Скачать

Доказательство.

Применим теорему о среднем (свойство 9. ) к интегралу  Получаем, что , где  Делим обе части последнего равенства на и переходим к пределу при :

 

так как при переменная  Следовательно, в точке  существует производная , причем 

Таким образом, доказано важное свойство:

Производная определенного интеграла от непрерывной функции по его верхнему пределу равна подынтегральной функции, вычисленной при верхнем пределе:

  =  (2)

Замечание. Из доказанного свойства следует, в частности, что всякая непрерывная функция имеет первообразную. Согласно п. 5. 2. для непрерывной на [a, b] функции  существует определенный интеграл то есть существует функция  Так как  то  является первообразной для  на отрезке [a, b].

Если в определенном интеграле  изменять верхний предел b, то будет меняться и значение интеграла, то есть интеграл будет функцией верхнего предела.

Обозначим верхний предел x, а переменную интегрирования, чтобы не смешивать ее с верхним пределом, обозначим t. Таким образом, интеграл с переменным верхним пределом является функцией от x.

Имеет место теорема: производная интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена верхним пределом

Доказательство. По определению производной

 где  [первый интеграл представим в виде суммы двух интегралов, пользуясь свойством аддитивности]= [по теореме о среднем]= где  

Тогдаследует из определения непрерывной функции, т.к. при  . Таким образом, 

Это значит, что интеграл с переменным верхним пределом  является первообразной для функции .

Вычисление определенных интегралов путем нахождения числа, разделяющего множества сумм Дарбу, весьма громоздко. Гораздо проще вычислять определенный интеграл как разность значений первообразной. Но для этого нужно выяснить, какие из интегрируемых функций имеют первообразные. Мы докажем, что их имеют все непрерывные функции.

Разбиение промежутка интегрирования

Теорема 1. Если функция  интегрируема на отрезках  и  , то она интегрируема и на отрезке , причем выполняется равенство

(1)

Доказательство. Возьмем любое разбиение  отрезка . Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что точка с является одной из точек разбиения (в противном случае мы присоединим ее к ним). Но тогда, если, например, , каждая сумма Дарбу для отрезка  распадается на две суммы, соответствующие отрезкам  и 

 и  где

Так как функция  интегрируема на отрезках  и , то для любого  найдутся такие разбиения  и  этих отрезков, что

Эти разбиения в совокупности образуют разбиение  отрезка . При этом имеем:

откуда следует, что функция  интегрируема и на отрезке .

Из неравенств  и  следует, что

Таким образом, как , так и  разделяют множества  и  сумм Дарбу для отрезка . Поскольку эти множества разделяются лишь одним числом, то равенство (1) доказано.

Производная:

Рассмотрим функцию y = f(x), интегрируемую на отрезке [а, b]. Если х на промежутке [a, b], то функция f(x) интегрируема также на любом отрезке [а, х]. Предположим, что х меняется на отрезке [а, b], тогда на этом отрезке определена функция

(Переменную интегрирования обозначили буквой t, переменный верхний предел - буквой х).

Теорема 1. Если функция у = f(x) интегрируема на отрезке [а, b], то функция Ф(х) непрерывна на этом отрезке.

Теорема 2. Если подынтегральная функция непрерывна, то производная определенного интеграла с переменным верхним пределом существует и равна значению подынтегральной функции для этого предела. т.е.

Следствие 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], то при любом х

Теорема . : Если функция f непрерывна на отрезке [a,b] , то она имеет первообразную на этом отрезке, причем первообразной для функции является интеграл с переменным верхним пределом :и поэтому

f(t)dt+C(8), где С — произвольная константа.

○Пусть x – произвольная точка отрезка [a,b]. По теореме о дифференцируемости интеграла функция F(x)определяемая формулой (1) ,имеет в точке производную равную f(x) ,т.е.

F'(x)=f(t)dt)=f(x) (9)

Согласно определению первообразной функция F(x) является первообразной для функции f(x) на отрезке [a,b]и поэтому справедливо равенство (8)●

Следствие : Из теоремы выше и теоремы из определения первообразной следует ,что всякая первообразнаяФ(x) для функции f ,непрерывной на отрезке [a,b] , имеет вид

(10),где С – постоянная.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]