Совместный расчет
Расчет замкнутых рециркуляционных последовательностей путем совместного решения их уравнений обсуждался многими учеными (Нагиевым, Розеном, Нафтали, Равичем и Норманом). Можно показать, что если система состоит только из линейных уравнений, то для получения ответа в случае рециркуляционных последовательностей необходимо только прямое решение с использованием соответствующих матричных методов. Нелинейные уравнения должны быть решены методом последовательных приближений.
В 1957 г. М.Ф. Нагиев первым предложил применять теорию линейных систем при расчетах химических производств. В общих чертах его метод заключается в следующем: для любой сложной схемы, содержащей рецикл, система алгебраических уравнений может быть получена путем составления баланса либо для каждого компонента, либо для суммарного потока массы или энергии в каждом блоке.
Если в расчете участвуют m блоков, то можно легко составить систему алгебраических уравнений, описывающих установившийся процесс.
Эту систему m линейных уравнений можно решить обычными матричными методами для нахождения потоков. Для системы линейных уравнений лучшим является, конечно, совместное решение.
Т.к. в примере модели блоков являются линейными, k=1, то на основе закона сохранения массы и с учетом K1=0,1; K2=0,1; K3=0,1; K4=0,1 можно составить систему из 15 (по числу потоков) линейных алгебраических уравнений с 15 неизвестными.
1∙X1-1∙X2+0∙X3+1∙X4+0∙X5+0∙X6+0∙X7+0∙X8+0∙X9+0∙X10+0∙X11+0∙X12+0∙X13+0∙X14+0∙X15=0;
0∙X1+1∙X2-1∙X3+0∙X4+0∙X5+0∙X6+0∙X7+0∙X8+0∙X9+0∙X10+0∙X11+0∙X12+0∙X13+0∙X14+0∙X15=0;
0∙X1+0∙X2+1∙X3-1∙X4-1∙X5+0∙X6+0∙X7+1∙X8+0∙X9+0∙X10+0∙X11+0∙X12+0∙X13+0∙X14+0∙X15=0;
0∙X1+0∙X2+0∙X3+0∙X4+1∙X5-1∙X6+0∙X7+0∙X8+0∙X9+0∙X10+0∙X11+1∙X12+0∙X13+0∙X14+0∙X15=0;
0∙X1+0∙X2+0∙X3+0∙X4+0∙X5+1∙X6- 1∙X7+0∙X8-1∙X9+0∙X10+0∙X11+0∙X12+0∙X13+0∙X14+0∙X15=0;
0∙X1+0∙X2+0∙X3+0∙X4+0∙X5+0∙X6+0∙X7+0∙X8+1∙X9-1∙X10+0∙X11+0∙X12+0∙X13+1∙X14+0∙X15=0;
0∙X1+0∙X2+0∙X3+0∙X4+0∙X5+0∙X6+0∙X7+0∙X8+0∙X9+1∙X10-1∙X11+0∙X12-1∙X13+0∙X14+0∙X15=0;
0∙X1+0∙X2+0∙X3+0∙X4+0∙X5+0∙X6+0∙X7+0∙X8+0∙X9+0∙X10+0∙X11+0∙X12+1∙X13-1∙X14-1∙X15=0;
0∙X1+0∙X2+0∙X3+0∙X4+0∙X5+0∙X6+0∙X7+0∙X8+0∙X9+0∙X10+1∙X11-1∙X12+0∙X13+0∙X14+0∙X15=0;
0∙X1+0∙X2+0∙X3+0∙X4+0∙X5+0∙X6+1∙X7-1∙X8+0∙X9+0∙X10+0∙X11+0∙X12+0∙X13+0∙X14+0∙X15=0;
0∙X1+0∙X2+K2∙X3-1∙X4+0∙X5+0∙X6+0∙X7+ K1∙X8+0∙X9+0∙X10+0∙X11+0∙X12+0∙X13+0∙X14+0∙X15=0;
0∙X1+0∙X2+0∙X3+0∙X4+0∙X5+K2∙X6-1∙X7+0∙X8+0∙X9+0∙X10+0∙X11+0∙X12+0∙X13+0∙X14+0∙X15=0;
0∙X1+0∙X2+0∙X3+0∙X4+0∙X5+0∙X6+0∙X7+0∙X8+0∙X9+0∙X10+0∙X11+0∙X12+K4∙X13-1∙X14+0∙X15=0;
0∙X1+0∙X2+0∙X3+0∙X4+0∙X5+0∙X6+0∙X7+0∙X8+0∙X9+K3∙X10-1∙X11+0∙X12+0∙X13+0∙X14+0∙X15=0;
1∙X1+0∙X2+0∙X3+0∙X4+0∙X5+0∙X6+0∙X7+0∙X8+0∙X9+0∙X10+0∙X11+0∙X12+0∙X13+0∙X14+0∙X15=9;
В результате решение получается следующим:
Пример решения задачи
Информационная блок-схема ХТС
Смесители: блоки № 1,3,4,6. Питающий поток - №1 (X1=9 т/ч)
Разделители: блоки № 5,7,10. Выходной поток - №15
Реакторы: блоки № 2,9,8.
Математические модели аппаратов для вычислительных блоков:
Смеситель : Y = X1 + X2, где X – входной поток блока, Y – выходной;
Разделитель: X = Y1 + Y2; Y1=K∙X; Y2=(1-K)∙X; Для всех рециклических потоков принимается K=0,1 (В данном случае K1=0,1; K2=0,1; K3=0,1; K4=0,1;);
Реактор: Y = k∙X (для реакторов принимается k=1 для всех вариантов);
Структурная модель ХТС
Матрица процесса имеет вид:
|
№ блока |
Название блока |
№ потоков, связ. с этим блоком |
|
1 |
Смеситель |
1 4 -2 |
|
2 |
Реактор |
2 -3 |
|
3 |
Смеситель |
3 8 -4 -5 |
|
4 |
Смеситель |
5 12 -6 |
|
5 |
Разделитель |
6 -7 -9 |
|
6 |
Смеситель |
9 14 -10 |
|
7 |
Разделитель |
10 -11 12 |
|
8 |
Реактор |
11 -12 |
|
9 |
Реактор |
7 -8 |
|
10 |
Разделитель |
12 -14 -15 |
Матрица смежности:
|
Из блока № |
В блок № | |||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 | |
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
1 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
1 |
|
8 |
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
9 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
Пустые ячейки содержат нулевые значения.
Для определения рециклических контуров возводим матрицу смежности в степень, соответствующую количеству потоков, участвующих в контуре. В результате показательными являются матрицы третьей, четвертой и пятой степени.
Матрица достижимости:
На основании матриц смежностей до пятого порядка включительно была получена матрица достижимости:
Транспонированная матрица достижимости пятого порядка имеет следующий вид:
Найдем матрицу W, являющуюся пересечением обыкновенной и транспонированной форм матрицы достижимости:
Из полученной матрицы видно, что рециклическими являются контуры, состоящие из блоков: (1, 2, 3, 4, 5), (6,7,8), (9) и (10).
Матрица циклов:
|
№ контура |
Номер потока |
Ранг контура | |||||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
| ||
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 | |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 | |
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
5 | |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
3 | |
|
Частота потока |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
| |
Проанализировав информационную блок-схему ХТС, а также рассмотренные выше матрицы мы сделали вывод, что разрывать необходимо потоки с номерами 6,10,11 (с наибольшей частотой потока).
Нахождение значений рециклических потоков численными методами при данной размерности задачи представляет из себя трудоемкую задачу. Т.к. в данном случае модели блоков являются линейными, k=1, то на основе закона сохранения массы и с учетом K1=0,1; K2=0,1; K3=0,1; K4=0,1 можно составить систему из 15 (по числу потоков) линейных алгебраических уравнений с 15 неизвестными.
1∙X1-1∙X2+0∙X3+1∙X4+0∙X5+0∙X6+0∙X7+0∙X8+0∙X9+0∙X10+0∙X11+0∙X12+0∙X13+0∙X14+0∙X15=0;
0∙X1+1∙X2-1∙X3+0∙X4+0∙X5+0∙X6+0∙X7+0∙X8+0∙X9+0∙X10+0∙X11+0∙X12+0∙X13+0∙X14+0∙X15=0;
0∙X1+0∙X2+1∙X3-1∙X4-1∙X5+0∙X6+0∙X7+1∙X8+0∙X9+0∙X10+0∙X11+0∙X12+0∙X13+0∙X14+0∙X15=0;
0∙X1+0∙X2+0∙X3+0∙X4+1∙X5-1∙X6+0∙X7+0∙X8+0∙X9+0∙X10+0∙X11+1∙X12+0∙X13+0∙X14+0∙X15=0;
0∙X1+0∙X2+0∙X3+0∙X4+0∙X5+1∙X6- 1∙X7+0∙X8-1∙X9+0∙X10+0∙X11+0∙X12+0∙X13+0∙X14+0∙X15=0;
0∙X1+0∙X2+0∙X3+0∙X4+0∙X5+0∙X6+0∙X7+0∙X8+1∙X9-1∙X10+0∙X11+0∙X12+0∙X13+1∙X14+0∙X15=0;
0∙X1+0∙X2+0∙X3+0∙X4+0∙X5+0∙X6+0∙X7+0∙X8+0∙X9+1∙X10-1∙X11+0∙X12-1∙X13+0∙X14+0∙X15=0;
0∙X1+0∙X2+0∙X3+0∙X4+0∙X5+0∙X6+0∙X7+0∙X8+0∙X9+0∙X10+0∙X11+0∙X12+1∙X13-1∙X14-1∙X15=0;
0∙X1+0∙X2+0∙X3+0∙X4+0∙X5+0∙X6+0∙X7+0∙X8+0∙X9+0∙X10+1∙X11-1∙X12+0∙X13+0∙X14+0∙X15=0;
0∙X1+0∙X2+0∙X3+0∙X4+0∙X5+0∙X6+1∙X7-1∙X8+0∙X9+0∙X10+0∙X11+0∙X12+0∙X13+0∙X14+0∙X15=0;
0∙X1+0∙X2+K2∙X3-1∙X4+0∙X5+0∙X6+0∙X7+ K1∙X8+0∙X9+0∙X10+0∙X11+0∙X12+0∙X13+0∙X14+0∙X15=0;
0∙X1+0∙X2+0∙X3+0∙X4+0∙X5+K2∙X6-1∙X7+0∙X8+0∙X9+0∙X10+0∙X11+0∙X12+0∙X13+0∙X14+0∙X15=0;
0∙X1+0∙X2+0∙X3+0∙X4+0∙X5+0∙X6+0∙X7+0∙X8+0∙X9+0∙X10+0∙X11+0∙X12+K4∙X13-1∙X14+0∙X15=0;
0∙X1+0∙X2+0∙X3+0∙X4+0∙X5+0∙X6+0∙X7+0∙X8+0∙X9+K3∙X10-1∙X11+0∙X12+0∙X13+0∙X14+0∙X15=0;
1∙X1+0∙X2+0∙X3+0∙X4+0∙X5+0∙X6+0∙X7+0∙X8+0∙X9+0∙X10+0∙X11+0∙X12+0∙X13+0∙X14+0∙X15=9;
Решить данную систему уравнений можно различными способами, например:
написать программу на языке высокого уровня, или с помощью пакетов Mathcad, MATLAB и т.п.
В результате решение получается следующим:
