2. Методы расчета хтс

4. Последовательные вычисления

Предположим, что расчет рециркуляционной последовательности должен быть выполнен в некотором порядке по одному блоку до тех пор, пока не будут рассчитаны все блоки. Последовательность вычислений повторяется до тех пор, пока изменение каждой переменной потока от одной итерации к другой не станет меньше допустимого отклонения. Это так называемое последовательное вычисление рециркуляционной последовательности. Для каждой последовательности вычислений необходимо найти ряд потоков (разорванные потоки), переменные которых не могут быть рассчитаны прежде, чем они потребуются на первой итерации. Эти переменные задаются начальными значениями.

Какова же «наилучшая» последовательность? Как ее найти? Это ключевые вопросы, явившиеся предметом многих исследований. Наилучшая последовательность - это та, которая максимально сокращает время, необходимое для вычислений при заданной точности. Но, к сожалению, для того чтобы определить действительно минимальное время, одни и те же вычисления необходимо проделать несколькими путями. Это исключает возможность нахождения наилучшей последовательности вычислений заранее.

Минимальное время вычислений - это главный критерий - который необходимо перевести в некоторый эквивалентный критерий, используемый на начальной стадии. Некоторые исследователи избирали для минимизации число разорванных потоков, полагаемых известными, или в более общем случае суммарное число переменных разорванных потоков, также полагаемых известными. Конечно, последний критерий включает предыдущий как частный случай, когда все потоки имеют одинаковое число переменных. Однако не было доказано, что такие критерии обеспечивают минимальное время вычислений. Более того, маловероятно, что это вообще будет доказано, так как ухудшение процесса вычислений зависит от того, насколько далеки предполагаемые значения переменных потоков от тех, к которым они сходятся. Необходимо провести обширное исследование по сходимости расчетов и по выявлению определяющих критериев для установления наи­лучшей их последовательности.

Какой бы критерий ни был выбран для определения наилучшей последовательности, он может быть выбран либо в результате систематического исследования, либо численными методами с помощью матриц. Алгоритмы Саржента и Кристенсена используют способ прочтения списков для отыскания минимального числа рецикических параметров, которые должны предполагаться известными. Алгоритм Кристенсена позволяет находить наилучшую после­довательность, когда другие методы бесполезны. Ли и др. разработали методики для некоторых случаев. Для иллюстрации идеи численного подхода Ли, матрица процесса и матрица циклов Ли и др. используются поочередно для рециркуляционной последовательности блоков рис. 1.1.

Метод Ли - отыскание числа разрываемых потоков. Для сравнения матрица циклов Ли применяется к той же замкнутой последовательности на рис. 1.1.

Метод нахождения рециркуляционных последовательностей и их контуров требует определения степеней матрицы смежности путем ее умножения на саму себя. Здесь применимо обычное правило, согласно которому элемент (i,j) произведения двух матриц А и В есть

где a_ik ,b_kj есть (i,k) и (k,j) -элементы матриц А и В соответственно, m – число потоков. Однако арифметика в этом случае булева, т. е. имеет два элемента: истина, ложь. Булево сложение (лог. «или»):

0+0=0;

0+1=1;

1+1=1.

Булево умножение (лог. «и»):

0×0=0;

0×1=0;

1×1=1.

Это эквивалентно использованию обычной арифметики и замене всех положительных целых чисел единицей.

Когда n-я степень матрицы А получена последовательным умножением А на саму себя, то Аⁿ показывает связи, которые проходят из любого блока к любому другому блоку через п потоков. Совершенно так же, как и в матрице А, единица в элементе (i,j) матрицы Аⁿ означает, что существует по крайней мере один путь через n потоков из блока, соответствующего строке i, к блоку, соответствующему столбцу j. И наоборот, ноль означает отсутствие такой связи.

Если Аⁿ (n=2, 3, ...) получена для замкнутой схемы, то ее не­которые диагональные элементы в конце концов станут единицами. Т.о. любой блок i, соответствующий диагональной единице, имеет связь через п потоков с самим собой, т. е. получается контур. Таким образом можно найти все контуры.

Для определения рециклических контуров возводим матрицу смежности в степень, соответствующую количеству потоков, участвующих в контуре. В результате показательными являются матрицы третьей, четвертой и пятой степени.

Идентификация рециркуляционных последовательностей блоков - матрица достижимости/

Булева сумма степеней матрицы А называется матрицей достижимости.

Ее элемент будет равен 1, если равен 1 по крайней мере один соответствующий элемент какой-либо степени матрицы А.

Результирующая матрица R_n отображает связи от блока i в блок j через некоторое число потоков ≤ п. Тогда элемент r_ij матрицы R_n будет равен 1 в том и только в том случае, если существует по крайней мере одна такая связь. В пределе при n→∞, R_n→R_∞ матрица достижимости записывает, существует ли какая-нибудь связь от блока i к блоку j через любое (конечное) число потоков. Таким образом, r_∞ij=1 в том и только в том случае, если существует некоторая связь i→j .

Теперь транспонируем А или R_n , т. е. А^т или R_n^т приводит к изменению направлений всех связей i→j, так как строки становятся столбцами, и наоборот. Поскольку по определению в рециркуляционной последовательности имеются не только связи i→j , но и связи типа j→i. Если матрица R_∞ и ее транспонированная форма R_∞т накладываются, то единица сохраняется только там, где она была в R_∞и в R_∞^т. Результат суперпозиции, называемый пересечением, можно записать следующим образом:

Теперь r_∞ij=1 только в том случае, если в блок-схеме имеется связь i→j, а r^Т_∞ij=1, если в блок-схеме имеется связь j→i. Тогда W_∞ij=1 в том и только в том случае, если существует связь ij. Это будет исключать блоки, не входящие ни в одну из рециркуляционных последовательностей, потому что тогда не будет связи из этого блока в любой другой блок в обоих направлениях. Т.к. по определению рециркуляционной последовательности блоков все ее члены взаимосвязаны, любая ненулевая строка в W будет списком всех членов одной рециркуляционной последовательности. Любой блок, не входящий ни в одну из рециркуляционных последовательностей и не являющийся входным или выходным блоком, входит в разомкнутую последовательность блоков между двумя ре­циркуляционными последовательностями. Его можно будет непосредственно рассчитать тогда, когда предшествующая рециркуляционная последовательность уже рассчитана.

Матрица достижимости:

На основании матриц смежностей до пятого порядка включительно была получена матрица достижимости:

Транспонированная матрица достижимости пятого порядка имеет следующий вид:

Найдем матрицу W, являющуюся пересечением обыкновенной и транспонированной форм матрицы достижимости:

Из полученной матрицы видно, что рециклическими являются контуры, состоящие из блоков: (1, 2, 3, 4, 5), (6,7,8), (9) и (10).

Таблица 2.3

Матрица циклов

№ контура	Номер потока																Ранг контура
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
1		1	1	1												3
2					1	1	1	1								4
3						1			1	1	1	1				5
4										1	1			1		3
Частота потока	0	1	1	1	1	2	1	1	1	2	2	1	0	1	0

Проанализировав информационную блок-схему ХТС, а также рассмотренные выше матрицы мы сделали вывод, что разрывать необходимо потоки с номерами 6,10,11 (с наибольшей частотой потока).