Математическое моделирование

В большинстве случаев конечной целью моделирования является получение математической модели, то есть совокупности математических формул и уравнений, представляющих соотношение S ⊂ X_*Y в замкнутом виде, позволяющем числено определять величину изменений выходных переменных в зависимости от задаваемых изменений входных переменных.

Математической моделью общей системы будем называть отношение на непустых (абстрактных) множествах

S ⊂ _*{V_i : i ∈ I}, (2.6) где

_* - символ декартова произведения,

I - множество индексов.

Пусть, далее,

I_x ⊂ I и I_y ⊂ I образуют разбиение множества I, то есть, пусть

I_x ∩ I_y = ∅ и I_x ∪ I_y = I

Тогда множество

X = {V_i : i ∈ I_x} ,

будем называть входным объектом, а множество

Y = {V_i : i ∈ I_y} –

выходным объектом системы.

Система S, для которой такое разбиение существует, определяется соотношением

S ⊂ X _* Y. (2.7)

В литературе по системному анализу такую систему часто называют система “вход - выход”.

Если при этом S является функцией

S : X → Y, (2.8)

то соответствующая система будет называться функциональной.

Пусть, наконец, для данной функциональной системы S существует произвольное множество C, а функция R : (C _* X) → Y такова, что

(x, y) ∈ S ⇔ (∃C)[R(c, x) = y]. (2.9)

Тогда C называется множеством глобальных состояний системы, а его элементы - просто глобальными состояниями системы, функция R называется глобальным откликом системы S.

Соотношения (2.6) - (2.9) образуют в своей совокупности предельно общее определение класса систем, доступных анализу математическими методами или методами исследования операций. Сюда входят системы, для которых может быть составлена математическая модель в соответствии с соотношением (2.6), имеющие вход и выход в соответствии с соотношением (2.7), являющиеся функциональными в соответствии с соотношением (2.8) и имеющие множество глобальных состояний и глобальную функцию отклика в соответствии с соотношением (2.9).

ПРИМЕР

Функцией состояния называют любую термодинамическую величину, которая зависит только от текущего состояния системы и не зависит от того, каким путём система пришла в это состояние. В зависимости от выбора независимых термодинамических переменных одна и та же функция состояния может рассматриваться или как независимая переменная, или как функция других термодинамических величин, характеризующих состояние системы.

К функциям состояния относятся, например,

• температура,

• давление,

• объём,

• теплоёмкость,

• энтропия,

• термодинамические потенциалы.

Эти величины не являются независимыми. Связь между термодинамическими функциями состояния для конкретной системы задаётся уравнениями состояния.

Уравне́ние состоя́ния — уравнение, связывающее между собой термодинамические (макроскопические) параметры системы, такие, как температура, давление, объём, химический потенциал и др. Уравнение состояния можно написать всегда, когда можно применять термодинамическое описание явлений. При этом реальные уравнения состояний реальных веществ могут быть крайне сложными.

Уравнение состояния системы не содержится в постулатах термодинамики и не может быть выведено из неё. Оно должно быть взято со стороны (из опыта или из модели, созданной в рамках статистической физики). Термодинамика же не рассматривает вопросы внутреннего устройства вещества.

Для исследования зависимости реакции системы от тех или иных факторов в современной науке используют метод функций отклика. Этот метод широко применяется в инженерных науках, например, теории автоматического регулирования или теории планирования эксперимента. Его суть заключается в использовании информации об отклике системы на известные воздействия для получения оператора перехода по схеме: воздействие- реакция. В терминах теории сложных систем, динамика сложной открытой системы, каковой является, например, экосистема, характеризуется описанием связи между входными и выходными сигналами.

В соответствии с основным свойством таких систем - способностью откликаться на внешние воздействия - будем называть в дальнейшем такие системы респозинтивными (от английского слова response - отклик). Эти системы будут представлять для нас особый интерес, поскольку все организационные системы, являющиеся объектом нашего внимания, обладают свойством респозинтивности, хотя и не в смысле, определяемом соотношением (2.9), а в гораздо более широком смысле. Несколько более подробно свойства респозинтивных систем и место организационных систем в общей классификационной схеме будут рассмотрены далее.

ЭТАПЫ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА

Первый этап системного анализа - выявление проблемной ситуации.

Второй этап - формирование набора целей, достижение которых обеспечит ликвидацию (компенсацию последствий) или, хотя бы, снижение остроты возникшей (или выявленной) проблемной ситуации.

На третьем этапе осуществляется формирование набора функции или действий, которые надо осуществить (осуществлять) для достижения сформулированных на втором этапе целей. То есть формируется ответ на вопрос: “Что надо делать (сделать) для того, чтобы намеченные цели были достигнуты?” или на вопрос: “Как должна функционировать система, способная постоянно отслеживать сформулированную цель?”

Четвертый этап - проектирование системы (или комплекса средств). Подбирается элементная база системы, разрабатывается ее структура, на основе которой возможна реализация набора фунцкций, сформированного на третьем этапе. На четвертом этапе предполагается “проникновение” внутрь “черного ящика”, представляющего систему, и выявление таких элементов и отношений между ними, которые обеспечивают целенаправленное функционирование системы. Итогом четвертого этапа является ответ на вопрос: “На базе каких средств и методов может быть эффективно реализован необходимый набор функций?”

Применительно к существующей системе, для которой элементная база задана, исходной предпосылкой четвертого этапа анализа является утверждение

(∃ℜ(m))[(m)Q&ℜ(m) → (∃P)(P ∩ Q = ∅)] (2.10)

и четвертый этап заключается в поиске таких отношений ℜ(m), при которых система, состоящая из заданного множества объектов (m), обладающих свойствами Q, приобретает заданные свойства P, то есть решается задача синтеза или совершенствования структуры.

Применительно к вновь создаваемым системам исходной предпосылкой для четвертого этапа анализа является утверждение

(∃(m)Q)(∃ℜ(m))[(m)Q&ℜ(m) → (∃P)(P ∩ Q = ∅)] (2.11)

и тогда четвертый этап заключается в поиске такого множества объектов (m), обладающих свойствами Q, и таких отношений между ними ℜ(m), которые в своей совокупности образуют систему, обладающую заданными свойствами P, то есть решается задача синтеза элементной базы структурной схемы системы. Этот сложный этап проектирования, в свою очередь, подразделяется на несколько подэтапов, осуществляемых в следующей последовательности:

а) Построение концептуальной, а на ее основе - структурной модели системы, выделение подсистем, выделение блоков и элементов в подсистемах, определение функциональных связей между ними;

б) Определение математических моделей элементов на основе анализа их физиче-ской сущности (или на основе экспериментальных данных, эвристических постулатов и т.п.);

в) Синтез математических моделей блоков, подсистем и всей системы в целом и определение функции отклика системы;

г) Анализ полученной функции отклика и определение тех возможных изменений в составе элементов и (или) их свойств (параметров), благодаря которым функция отклика изменится в благоприятном (в заданном смысле) направлении. При этом улучшится качество системы в том смысле, что на выходе системы будут достигаться более ценные результаты при более широком диапазоне входных управляемых (и не управляемых) воздействий.

На пятом этапе осуществляется проверка реализуемости спроектированной системы при заданных внешних условиях. Проверка осуществляется в лабораторных условиях, с помощью методов имитационного моделирования и, в конечном итоге, на натурных испытаниях. Итогом проверки является ответ на вопрос: “Так ли хороша система на практике, как она была задумана в проекте и в какой мере ликвидирована проблемная ситуация?”

При отрицательном ответе на этот вопрос этапы системного анализа реализуются в обратном порядке. А именно, проверяется адекватность разработанной структуры сформированному набору функций, затем - адекватность сформированных функции заданному набору целей и т. д. В конечном итоге вновь анализируется проблемная ситуация и движение по этапам вновь идет в прямом порядке. Такой процесс должен циклически повторяться до тех пор, пока на пятом этапе не будет достигнут положительный результат.

На пятом этапе учитываются внешние условия, действующие на входы функционирующей системы, которая является открытой для вещества, энергии и информации. Эти воздействия выступают либо как ограничивающие, либо как содействующие факторы. И с учетом этих факторов может оказаться, что среда не дает возможности выбора удовлетворительного набора средств для совершенствования существующей либо создания новой системы. В этом случае применение системного подхода приводит к обоснованию отказа от нереальной цели.

В тех же случаях, когда на основе обобщенного системного анализа выявлена принципиальная возможность получения положительного решения, встает вопрос о выборе соответствующей методологии проектирования. При этом следует подчеркнуть, что задача проектирования новой системы и задача совершенствования существующей системы принципиально не различаются и осуществляются в одинаковой последовательности и с использованием одинаковых приемов.

Развитие методологии исследования и проектирования сложных систем является главным направлением системного подхода и направлено на перевод эвристических процедур анализа и синтеза систем в формализованные процедуры. Наименее формализованным на сегодняшний день остается первый этап - анализ проблемной ситуации. Что касается второго этапа - целевыявление, то для него предлагается ряд формализованных приемов - алгоритм построения нормативной карты целей или построение дерева целей.