Решетка как спектральный прибор
Угловая дисперсия |
Разрешающая способность |
Область дисперсии
Фурье оптика
ФУРЬЕ Жан Батист Жозеф (1768-1830)
•Гармонический анализ (Преобразование Фурье)
–Представление произвольной функции f(t) (волнового фронта) в виде гармонических функций различных частот (пространственных частот)
f (t) F exp j2 t d
• Линейная система
– Отклик системы на гармоническую функцию известен
• Двумерное преобразование Фурье в пространственных координатах. Волны считаем монохроматическими.
f (x, y) F x , y exp j2 x y t d x d y
Фурье оптика
•Плоские волны играют роль гармонических функций
–Произвольная волна раскладывается по плоским волнам
U (x, y, z) Aexp |
j kx x ky y kz z ; |
|||||
z 0;U (x, y,0) f (x, y) Aexp j x x y y ; |
||||||
x |
k |
x |
; y |
ky |
|
|
2 |
2 |
|
||||
|
|
|
||||
•Линейная система характеризуются импульсным откликом и функцией пропускания (отклик на гармоническую функцию)
Свободное пространство
U (x, y, z) Aexp |
j kx x ky y kz z ; |
|||||||||||||||||||||||||||||
k kx , ky , kz ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||
|
k |
|
|
kx 2 ky |
2 kz 2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ky |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
arg sin |
x |
|
|
|
k |
|
; |
y |
arg sin |
|
|
k |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
U (x, y,0) f (x, y) Aexp j x x y y ; |
||||||||||||||||||||||||||||||
x |
k |
x |
; y |
|
|
ky |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Параксиальном приближении |
kx |
|
|
k |
|
; ky |
|
k |
|
x x ; y y |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x arg sin x ;
y arg sin y
По распределению амплитуды можно определить волновые функции плоских волн (если известна длина волны)
U (x, y, z) f (x, y) exp |
j kz z ; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
kz |
|
2 2 |
2 |
ky |
2 |
|
|
|
|
kx |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифракционная решетка
f (x, y) 1 cos 2 x x 1 exp j x x 2 exp j x x
x x
Сферическая линза
|
|
|
x2 y2 |
exp |
j2 x, y |
|
|
||||||||
f (x, y) exp j |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
F |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x, y |
x y |
|
|
|
x |
|
|
x |
|
F |
|
|
F |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 F |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
y |
y |
|
y |
|||||
|
|
|
|
|
x |
F |
F |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Зонная пластика Френеля
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1; cos |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
f (x, y) |
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0; otherwise |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
f (x, y) C |
q |
cos q |
|
|
|
|
|
, q 0, 1, 2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 |
|
|
|
|
x2 y2 |
||
|
|
|
|
|
|
exp |
jq |
|
|
|
|
exp |
|
jq |
|
|
|||
|
x2 y2 |
|
|
|
F |
F |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
cos q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Зонная пластинка работает как сферическая линза со множеством фокусов F, F / 2 (высшие порядки дифракции), которые зависят от дины волны F~1/
В линзе Френеля используется квадратичная модуляция фазы
Передаточная функция
Свободное пространство
f (x, y) U (x, y,0); g(x, y) U (x, y, d)
Линейная функция инвариантная к сдвигу системы координат
|
H ( x , y ) |
g(x, y) |
|
Aexp |
j kx x ky y kz d |
exp jkz d |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
f (x, y) |
|
|
Aexp j kx x ky y |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Плоские волны с пространственными частотами |
|
2 |
|
2 |
1 2 |
|
H ( |
|
, |
|
) exp |
j2 d |
1 |
|
|
2 |
|
|
2 |
x |
y |
||||||||
x |
y |
2 |
y |
Испытывают набег фазы при распространении, с более |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
частотами затухают |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Детали с размерами менее длины волны не могут быть переданы линейной оптической системой на расстояние более длины волны (предел разрешения)
Произвольная оптическая система
|
|
g(x, y) F( x , y ) H ( x , y ) exp j2 x x y y d xd y |
|
|
|
|
j2 x x y y dxdy |
F( x , y ) f (x, y) exp |
|
Фурье преобразование
Свободное пространство Приближение Фраунгофера
Дифракция Фраунгофера
x x |
|
|
|
x |
|
y |
|
|
d |
|
|
||||
y y |
|
|
g(x, y) h0 F |
|
, |
|
|
d |
|
||||||
|
|
|
|
d |
|||
|
d |
|
|
|
|
|
|
Одна плоская волна соответствует каждой точке Нет вклада других волн из-за деструктивной интерференции
I (x, y) |
Ii |
|
x |
, |
y |
|
|
F |
|
|
|
||
d 2 |
d |
|
||||
|
|
|
d |
|||
Фурье преобразование
Тонкая линза
|
|
|
|
x |
2 |
y |
2 |
d |
f |
2 |
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
g(x, y) h exp j |
|
|
|
F |
, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
l |
|
|
|
f |
2 |
|
|
|
|
f |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|||||
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hl |
|
exp |
jk d f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d f ; |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
g(x, y) h F |
|
, |
|
|
|
|
|
||||
l |
|
f |
|
|
|
|
|
|
f |
||