Волновая теория
планарный волновод
Для электрического поля (ТE мода)
Для магнитного поля (ТE мода)
Непрерывность Hz
Граничные условия
Волновая теория
планарный волновод
Характеристическое уравнение
tan 2 a |
|
|
|
|
|
|
ТE мода |
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
n1 |
|
|
|
n1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
n |
s |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||
tan 2 a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
ТM мода |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
n2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
0 |
|
|
|
|
|
||||
Волновая теория
планарный волновод
Симметричный волновод ns n0
|
ТE моды |
|
|
|
|
||||
|
tan |
1 |
a |
|
четные |
||||
tan a |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
tan a |
|
нечетные |
|
|
|||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m=0 |
|
|
m=1 |
|
m=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
ТM моды
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tan a |
|
n1 |
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
четные |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tan a |
|
n |
2 |
|
|
нечетные |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
m ; k 2 |
|
0 |
|
|
|
|
|||||
ka n2 |
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Условия отсечки |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
n12 n02 |
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
V ka |
|
|
|
m Нормированная частота |
|||||||||||||||
|
|
n12 n02 |
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a |
Моды образуют ортогональный базис |
|
Моды утечки: выполнены условия интерференции, |
|||||
|
|
|
|||
но не выполнены условия полного внутреннего отражения
Волноводная дисперсия
Дисперсионные кривые
Симметричный волновод
c |
m=2 |
m=1 |
n0
m=0
|
c |
|
n1 |
короткая λ |
|
длинная λ |
|
высокая ω |
низкая ω |
|
nclad |
|
ncore |
|
nclad |
Несимметричный волновод имеет отсечку и для фундаментальной моды
Групповая скорость
ncoreω/c0 |
Low vg |
Фазовая скорость vp: |
|
перемещение фазового фронта |
|
|
|
|
|
ncladω/c0 |
Групповая скорость vg: |
|
|
|
|
|
перемещение огибающей |
v |
g |
d |
Групповой |
n |
|
|
c0 |
c d |
n |
|
c0 |
c |
|
vg |
vp |
||||||||||
|
d |
|
|
g |
|
0 d |
eff |
|
0 |
Эффективный показатель преломления: пространственная периодичность – всегда меньше показателя преломления сердцевины.
Групповой показатель преломления: распространение волнового пакета – может быть выше чем показатель преломления сердцевины.
Профиль моды
Распределение интенсивности
Еy
ТЕ - мода
Аналогия с задачей квантовой механики
… The similarity between physical equations allows physicists to gain understanding in fields besides their own area of expertise… -- R. P. Feynman
Квантовая механика
•1-d уравнение Шредингера
[ 2 2 V E] (x) 0 2m x
•ψ(x) : пространственная волновая функция
•-V(x) : потенциальная энергия
•-E : энергия (собственные значения)
•Временная зависимость волновой функции
(x,t) (x) exp( iEt)
•t : изменение во времени
Guided wave optics
•Уравнение Гельмгольца
[ 2x k02n2 2 ]U (x) 0
•U(x) : профиль моды
•k02n(x)2 : профиль показателя преломления
•β2 : постоянная распространения (собственные значения)
•Продольная составляюшая эл. поля
E(x, z) U (x) exp(i z)
•z : направление распространения
Аналогия с задачей квантовой механики
Helmholtz equation:
[ 2x k02n2 2 ]U (x) 0
x 
nclad
ncore ? nclad
n
nclad ncore
•Дискретные значения постоянной распространения β
•Высшие моды с меньшим β имеют больше узлов (U = 0)
•Шире волновод и выше изменение показателя преломления – больше мод
•Моды: nclad < neff < ncore
Schrödinger equation:
[ 21m 2x V E] (x) 0
V0 |
|
|
|
V |
|
||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E2 |
|
|
Vwell |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1-d потенциальная яма
•Дискретные энергетические уровни
•Волновая функция с большей энергией имеет больше узлов (ψ = 0)
•Глубже и шире яма –больше энергетических уровней
•Уровни: Vwell < E < V0
Метод эффективного показателя преломления
Channel waveguide |
|
Rib/ridge waveguide |
• |
Численное решение |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2-d уравнения Гельмгольца |
|
|
|
nclad |
|
|
|
nclad |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
• |
U(x,y) |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Представление 2-d задачи в |
|
|
ncore |
|
|
|
|
ncore |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
виде двух 1-d задач |
|
|
|
|
|
|
nclad |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Менее точный при большой |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
разнице показателей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
преломления |
nclad |
neff,core |
nclad |
|
neff,clad |
neff,core |
neff,clad |
|
|
|
|
|
|
|
y 
z 
x
Связанные волноводы
|
|
|
x |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Anti-symmetric |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
WG 1 |
WG 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Cladding |
|
|
|
|
|
|
|
Symmetric |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
supermodes
neff + Δn
neff - Δn