Основыпрочности-пластичности / Лекции7-10_глава3_дислокации

Выразив х и у через r и угол θ, можно получить, что напряжения пропорциональны 1/r. Таким образом, закон изменения напряжений при удалении от краевой дислокации такой же, как и для винтовой дислокации.

Отметим, что вблизи ядра (r b) дислокации создают очень большие напряжения, по величине близкие к теоретической прочности кристалла *.

3.6. ЭНЕРГИЯ ДИСЛОКАЦИИ

Кристалл, содержащий дислокацию, обладает собственной энергией Wд, большей, чем энергия Wи идеального кристалла из такого же числа атомов. Избыток энергии W=Wд Wи называется собственной энергией дислокации. Вычислим собственную энергию прямолинейной винтовой дислокации Wв≡ Wв, проходящей по оси цилиндрического кристалла радиусом R и длиной L (рис.3.14). В элементе объема dV(r), расположенном на расстоянии r от оси

дислокации, согласно формуле (3.14) создаются напряжения τ(r) = 2Gbr . Соглас-

но линейной теории упругости это означает, что объем

dV(r)=rd drdz

обладает избыточной упругой энергией

54

С учетом энергии ядра Z=1÷3 можно принять упрощенное выражение для

Энергия краевой дислокации Wк вычисляется совершенно аналогично, только из-за большего числа компонентов напряжения расчеты более громоздки. Результат вычислений имеет вид

где K = 1 для винтовой, К = 1 – ξ для краевой и 1–ξ< K<1 для смешанной дислокации; τ* - напряжение сдвига в идеальном кристалле (см.гл.1).

Таким образом, можно сделать следующие выводы:

1.Энергия дислокации пропорциональна ее длине.

2.По порядку величины энергии различных дислокаций совпадают.

3.Энергия дислокации даже длиной в одно межатомное расстояние (L = b) велика и соизмерима с энергией связи атомов:

4.Энергия дислокации пропорциональна b2 – квадрату ее вектора Бюргерса. Если проследить вывод формулы (3.21), то эта зависимость становится очевидной: Wд ~ τε – энергия пропорциональна произведению напряжений на деформацию, где τ ~ b и ε = τ/G.

5.Вклад в энергию дислокации от дальнодействующих напряжений, пропорциональный lnR/r0

=5÷10, всегда больше, чем вклад от области ядра Z≈l÷3.

3.7.Сила, действующая на дислокацию

Если в металле действуют напряжения (от приложенных внешних сил или напряжения от других дефектов), то на дислокацию действует сила. Эту силу считают приложенной к дислокационной линии. Вычислим ее. Пусть дислокация движется по плоскости скольжения, на которой действует постоянное касательное напряжение τ (рис. 3.15).

56

Дислокация 1 создает в точке (х2; у2) напряжения, определяемые формулами (3.15). Подставляя (3.15) в формулу (3.22) и учитывая b≡bх и l≡lz, получаем для силы, действующей на дислокацию 2, F = Fx в плоскости ее скольжения xz, выражение

где (b·b) скалярное произведение векторов, τ* − теоретическая прочность на сдвиг.

Из этой формулы видно, что Fx = 0 при x2 = 0 и при x2=±y2. При х<у сила отрицательная, а при х>у положительная, т. е. точки х2=±y2 (2’’’) являются точ-

ками неустойчивого равновесия, а точка х2=0 – устойчивого равновесия (2’).

Рис. 3.16. Силы, действующие со стороны дислокации 1 на дислокацию 2 в различных положениях последней, при одинаковых (а) и противоположных (б) векторах Бюргерса.

Стрелки при дислокациях указывают направление действия силы. Отсутствие стрелки означает F=0, т.е. положение равновесия

Действительно, силы, действующие на дислокацию 2, направлены от точек x2 = ±y2 к точке х2 = 0 (рис. 3.16,а). При изменении знака вектора Бюргерса одной из дислокации, например дислокации 2 (рис. 3.16,б), bх= – b меняется знак силы в формуле (3.23) и все направления сил меняются на обратные.

Таким образом, возможны два типа устойчивых конфигураций – типа

стенки для одноименных дислокаций (рис. 3.17,б) и шахматная для разноименных (рис. 3.17,в).

Можно показать, что для винтовых дислокаций устойчивые конфигурации отсутствуют: разноименные дислокации всегда притягиваются; а одноимен-

ные - отталкиваются. Винтовые дислокации способны образовать устойчивую конфигурацию, только если есть два типа дислокаций, отличающихся направлением осей и, следовательно, вектором Бюргерса.

Рассмотрим подробнее скопление дислокаций и дислокационную стен-

ку.

58

г)

Дислокационная стенка

Дислокационная стенка (рис. 3.17,б) соответствует положению устойчивого равновесия, поэтому энергия такой конфигурации Wст будет меньше, чем энергия такого же числа отдельных дислокаций. Причина этого очевидна: поле сжатия каждой из дислокаций накладывается на поле растяжения от всех дислокаций, расположенных выше, а поле растяжения – на поле сжатия всех дис-

локаций, расположенных ниже. Поэтому поля от каждой дислокации практически компенсируются на расстояниях порядка h – расстояния между дислокациями. Следовательно, энергия такой стенки (на единицу ее длины) будет иметь вид

Если принять h = 30b, что встречается достаточно часто при средних степенях деформации металла, то h/r0≈20 и ln(h/r0)≈3. С учетом энергии ядра (Z=1)

60

Для одной дислокации W=−τb2. Следовательно, для того, чтобы вырвать дислокацию из стенки, необходимо затратить энергию, численно равную работе

A (τb)h

перемещения дислокации из стенки за положение неустойчивого равновесия х=у h. При A=− W получаем

bh b2

Откуда внешнее напряжение для вырыва дислокации из стенки должно быть

Например, для алюминия при G =30 ГПа, τ* = 5 ГПа и h/b=30 внешние напряжения, которые могут вырвать дислокацию из стенки, составляют500030 167 МПа. Эти напряжения для алюминия велики и превышают пре-

дел прочности. При уменьшении h напряжения τ возрастают.

Так как при выстраивании дислокации в стенку энергия системы снижается, то дислокационные стенки должны образовываться в результате релаксационных процессов, например, при термическом разупрочнении деформированного металла.

Из приведенных выше рассуждений следует один очень важный вывод: энергия дислокационной конфигурации из n дислокаций Wn может существенно отличаться от энергии п отдельных дислокаций nW1 за счет изменения поля дальнодействующих напряжений, причем это отличие тем больше, чем больше дислокаций. Поэтому следует ожидать, что на начальных этапах пластической деформации, когда плотность дислокаций мала, основную роль в формировании свойств металла будут играть свойства индивидуальных дислокаций. При больших степенях пластической деформации и увеличении плотности дислокаций основной вклад в энергию системы и ее изменение должны давать дальнодействующие поля напряжений от скоплений дислокаций или подобных им конфигураций. Соответственно, в формировании свойств металла основную роль должны играть коллективные эффекты, которые выражаются во взаимодействии больших дислокационных групп.

3. Взаимодействие скопления с препятствием и длина скопления

Рассмотрим заторможенное у препятствия скопление из N краевых дислокаций, рис. 3.17,г, в котором дислокации занимают равновесные положения под действием напряжений и реакции со стороны препятствия. Последняя из дислокаций уравновешена силой

F= b

и противодействием всех остальных дислокаций скопления. Согласно III закону Ньютона, последняя дислокация действует на все предыдущие с силой

b.

что такое скопление является аналогом системы подвешенных грузов на первую от подвески пружину действует сила F=PN, рис. 3.17,д.

61

никнет зародышевая дислокационная трещина, которая является мощным концентратором расклинивающих напряжений.

Полную длину скопления

найдем из условия равновесия последней дислокации. Для этого все остальные дислокации скопления заменим одной супердислокацией с вектором Бюргерса В = Nb, расположенной в средней точке скопления на расстоянии L/2 от последней. Тогда

При тех же характеристиках скопления и

металла, что и в предыдущем примере, получаем, что L/b = 4000, а L = 1,2 мкм. Таким образом, дислокации в скоплении располагаются на расстояниях тем меньших, чем ближе дислокация к голове скопления и чем больше на нее действуют добавочные напряжения со стороны подпирающих дислокаций.

3.9. Приближение линейного натяжения (определение прогиба дислокации)

Для оценки энергии дислокации часто пользуются формулой (3.19), т. е. считают энергию дислокации пропорциональной ее длине и не зависящей от ее формы. В этом приближении можно считать дислокацию трубкой в кристалле, обладающей избыточной энергией

на единицу длины.

Известно, что коэффициент поверхностного натяжения жидкости можно рассматривать двояко: как силу, действующую на единицу длины мысленного разреза поверхности жидкости, или как избыточную энергию единицы поверхности. По аналогии с жидкостью энергию единицы длины дислокации w0 одновременно можно рассматривать как силу, действующую перпендикулярно нормальному сечению дислокационной трубки, т. е. как силу, действующую вдоль касательной к линии дислока-

ции. Поэтому дислокационную трубку можно представить как натянутый резиновый шнур с постоянной по длине силой натяжения Е0. Такое представление

дислокации и носит название «приближение линейного натяжения». Оно обычно используется для нахождения формы дислокационных отрезков в поле напряжений. Соответствующие задачи аналогичны задачам о форме натянутого резинового шнура, на который действуют распределенные силы.

63