Функция распределения кристаллитов по ориентациям

Более исчерпывающим и совершенным способом описания текстуры является вычисление по нескольким прямым полюсным фигурам функции распределения кристаллитов по ориентациям (ФРО) на основе методов теории вероятности. С помощью ФРО можно однозначно описать не только основные ориентировки текстуры, но и области рассеяния ориентировок вокруг максимумов плотности вероятности в ориентационном пространстве. К разработке метода анализа текстуры с помощью ФРО привела необходимость количественных расчетов соотношения ориентировок в текстуре и ожидаемой, исходя из текстуры, анизотропии физических свойств поликристаллического материала. ФРО получают аналитически посредством довольно сложных расчетов, осуществляемых на ЭВМ.

Впервые текстурную функцию ввел А. С. Виглин, который показал, чтоf(g), зависящую от ориентировкиg, можно разложить в ряд по обобщенным сферическим функциям. Эти положения получили развитие в работах Бунге и Роэ. Независимо друг от друга они разработали методы аналитического нахождения трехмерной функции распределения ориентировок кристаллитов, исходя из нескольких ППФ, полученных экспериментально.

Ориентация осей кристаллита относительно осей прокатанного образца НП, НН и ПН в рассматриваемой методике описывается углами Эйлера: φ₁, Φ, φ₂. Пусть в исходном положении осиΧ, Υ, Ζ кристаллита совпадают с осями НП, НН и ПН об-разца. Последовательные повороты вокруг оси Ζ на угол φ₁, вокруг осиX' на Φ и еще раз вокруг Ζ в ее новом положенииΖ" на φ₂ переводят кристаллит в ориентировкуg (рис. 3.11, по Бунге). Такой выбор параметров удобен для математической обработки.

Рис. 3.11. Углы Эйлера φ₁ Φ, φ₂, связывающие координатные системы образца и кристаллита

ФРО выражалась Бунге и Роэ через серию обобщенных сферических гармоник, учитывающих данные исследования конкретной текстуры. Каждой ориентировке текстуры соответствует точка в пространстве Эйлера. На рис. 1.5 представлено расположение ориентаций в Эйлеровом пространстве по Bunge.

Рис. 1.5. Расположение ориентации в пространстве Эйлера при расчете

по методу Вungе

Сопоставление полюсных фигур рис. 1.4 и ФРО рис. 1.5 показывает, что большинство важных ориентировок текстуры можно представить с по­мощью некоторого сечения Эйлерова пространства. Например, на рис. 1.6 показано положение идеальных ориентировок в сечении ₂ = 45° этого про­странства, где видно большинство практически важных ориентировок, по-

17

люсные фигуры которых приведены на рис. 1.4.

Рис. 1.6. Положение идеальных ориентировок текстур, типичных для железа, в сечении  ₂ = 45° пространства Эйлера, полученных по методу Вungе

Если весь объем кристаллического образца обозначить через V, то выражение

позволяет определить трехмерную функцию распределения кристаллографи­ческих ориентировок или ФРО.

После разложения ФРО в ряд по обобщенным сферическим функциям, учитывающим как симметрию кристаллической решетки, так и симметрию образца, получаем:

где Т_l^пп - обобщенные сферические функции; С_l^m" - коэффициенты разложения, которые вычисляются по результатам съемки экспериментальных неполных полюсных фигур (ЭПФ).

Теперь мы можем непосредственно использовать ФРО, где каждой точке ориентационного пространства соответствует определенная ориентационная плотность. Можем проинтегрировать ФРО либо по углу вращения вокруг направления в образце, совпадающего с кристаллографическим на­правлением <hkl> - получим теоретическую полюсную фигуру (hkl) (ТПФ), либо по углам поворота кристаллографических осей вокруг направлений НП, НН и ПН - получим обратные полюсные фигуры (ОПФ). Процесс расчета может быть представлен в виде схемы (рис. 1.7). На рис. 1.8... 1.10 приведены результаты расчета ФРО по трем неполным полюсным фигурам {110}, {200} и {211} для броневой стали.

Рис. 1.7. Процесс анализа текстуры: ЭПФ - экспериментальные полюсные фигуры	Рис. 1.8. ФРО для холоднокатаной броневой стали СПС-43.1=const, шаг по полюсной плотности 0,5 б/о (эталона)

Рис. 1.9. Сечение ФРО (рис. 1.8), 1 = 90 для стали СПС-43	Рис. 1.10. Расчетная обратная полюсная фигура стали СПС-43. Шаг 0,3 б/о