Физика макромолекул(Капралова В.М) / Сударь_Физические основы молекулярной электроники

ко экспоненциальными «хвостами». Тогда вероятность перехода будет пропорциональна квадрату матричного элемента перехода

Для расчета числа переходов из состояния i на состояние j в единицу времени (частоты переходов) воспользуемся соотношением

Планка. Будем полагать, что при рассматриваемом переходе возможно испускание или поглощение только одного фонона. Тогда при переходе с испусканием фонона число фононов с энергией

Соотношение (2.50) известно как формула Абрахамса-Миллера. В условиях темодинамического равновесия Гij = Гji , а в функ-

ции fi и f j представляют собой распределения Ферми-Дирака, т. е.

133

fi ≡ f o (Ei )={1+exp (Ei −ζ)kBT }−1 , f j ≡ f o (E j )={1+exp (E j −ζ)kBT }−1 .

где ζ — химический потенциал.

Воздействуем на систему локальных состояний слабым постоянным электрическим полем, при этом в рассматриваемой системе произойдут следующие изменения:

1. Смещение (по оси энергий) местоположения локальных состояний относительно друг друга равно errij F , т. е. в соотношении

кальных состояниях так, что в первом приближении можно принять

Реализуется ситуация, при которой Гij ≠ Гji . Плотность тока бу-

дет равна

jij = −e(Гij − Г ji ) .

Для слабых электрических полей, при небольших отклонениях химического потенциала от его равновесного значения, разлагая экспоненты в ряд, получим

где Гijo — соответствует значению Гij в термодинамически равновес-

ном состоянии. Множитель в соотношении (2. 51), заключенный в скобки, представляет собой полную разность электрохимических потенциалов между узлами i и j, т. е.

134

jij = ke2T Гijo (Ui −U j ),

B

где Ui и U j — электрохимические потенциалы узлов i и j. По аналогии с законом Ома величину

естественно интерпретировать как сопротивление, включенное между узлами i и j. Таким образом, электропроводность образца будет полностью определяться совокупностью сопротивлений Rij и вычисление

прыжковой проводимости сводится к расчету электропроводности случайной сетки сопротивлений Rij , называемой сеткой сопротивле-

ний Абрахамса-Миллера, в которой каждый узел соединен со всеми остальными узлами.

Рассмотрим более детально Гijo , определяющую величину сопротивления Rij . При произвольном взаимном расположении Ei , E j и

ζ частоту переходов Гijo можно записать в единообразной форме

Φij = 2rij + Eij , получим

λkBT

Из соотношения (2. 53) следует, что величины случайных сопротивлений Rij очень сильно отличаются друг от друга, поскольку они экс-

поненциально зависят от величины rij . Поэтому сопротивления между

далеко расположенными узлами очень велики. При расчетах эти сопротивления можно не учитывать, поскольку они заведомо зашунтированы существенно меньшими сопротивлениями. Сопротивление

135

сетки зависит от того, какие самые большие сопротивления пришлось оставить для сохранения связности рассматриваемой системы узлов.

В зависимости от того как соотносятся между собой величины Ei , E j и ζ могут реализоваться различные виды прыжковой прово-

димости.

Как и ранее будем считать температуру достаточно низкой, так,

что kT << Ei − E j , Ei −ζ , E j − ζ .

Если E j > ζ и Ei > ζ вероятность перехода будет лимитировать-

ся вероятностью того, что состояние i занято электроном. Напротив, при E j < ζ и Ei < ζ вероятность перехода лимитируется вероятностью

того, что конечное состояние свободно.

стояния i на состояние j может лимитироваться как малостью числа фононов с энергией (E j − Ei ) , так и степенью перекрытия волновых

функций локальных состояний.

2.5.2. ПРЫЖКИ МЕЖДУ СОСЕДНИМИ УЗЛАМИ

При высокой температуре, когда 2rij λ >> Eij kBT , множитель в

соотношении (2.52), определяющий количество участвующих в переходах фононов, оказывается гораздо больше множителя, характеризующего перекрытие волновых функций. Последний и будет выступать как фактор, лимитирующий частоту переходов между узлами. Очевидно, что наиболее вероятными будут переходы (прыжки) между соседними узлами. Таким образом, из (2. 52) следует, что

136

Rij = Ro exp 2λrij .

Далее воспользуемся теорией протекания, а именно, задачей сфер. Будем моделировать каждое локальное состояние сферой некоторого радиуса (полагаем, что все сферы имеют одинаковый радиус). Эти сферы могут перекрываться друг с другом. Две сферы будем считаем связанными, если центр одной из них находится внутри другой.

Требуется найти критическое значение радиуса rc (перколяционного ра-

ных узлов, имеющих концентрацию N . Из теории протекания известно, что (4π3)rc3n = 2,7 поэтому rc = 0,865n13 , тогда, принимая rc = rij , получим

При высоких температурах существует достаточно много фонов с энергией, обеспечивающей перескоки между ближайшими соседями. Температурная зависимость проводимости при высокой температуре будет определяться вторым экспоненциальным множителем в соотношении (2. 52). Если переходы происходят вблизи энергии соответствующей химическому потенциалу ζ, т. е. из состояния Ei < ζ в

состояние с E j > ζ, то exp(−Eij kBT )= Eij = exp −(E j − Ei )kBT .

137

Таким образом, при высокой температуре проводимость носит термоактивационный характер.

2.5.3. ПРЫЖКИ С ПЕРЕМЕННОЙ ДЛИНОЙ

При низких температурах, когда средние значения Eij kBT ве-

лики, нет фононов с энергией достаточной для перехода электронов на ближайшие состояния. Прыжки будут совершаться на более дальние состояния, для которых hω = E j − Ei . Чем ниже температура, тем

уже полоса значений энергии вблизи ζ, в которой находятся локальные состояния, вносящие вклад в электропроводность. Ввиду узости полосы энергий число локальных состояний в ней мало и, следовательно, характерные расстояния между ними большие. Они возрастают при уменьшении температуры, что приведет к возрастанию длины прыжка. Такой вид проводимости называют проводимостью с переменной длиной прыжка.

Для ее расчета рассмотрим полосу энергий локальных состояний, заданную неравенством Ei −ζ ≤ E2 . Будем считать, что внутри полосы плотность локальных состояний постоянна и равной gζ , тогда число состояний в полосе N и среднее расстояние между ними r равны

Из соотношения (2.55) следует, что сопротивление сетки Абра- хамса-Миллера будет минимально при минимальном значении Φ. Из условия dΦdE = 0 найдем оптимальную ширину полосы. Получим

138

Соответствующая ей величина Φopt = Φ(Eopt ) будет равна

Таким образом, для прыжковой проводимости с переменной длиной прыжка температурная зависимость сопротивления сетки определяется как

14

R = Ro exp T0 , (2.56)

T

где T0 = (kB gζλ3 )−1. Соотношение (2.56) называется законом Мотта.

Отметим, что степень ¼ в показателе экспоненты (2.56) получается только в трехмерном изоляторе. Для тонкой пленки (двухмерная

2.5.4. ТРАНСПОРТЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УРОВЕНЬ

Рассмотрим ситуацию, когда плотность локальных состояний характеризуется некоторым энергетическим распределением g(E). Для расчета частоты прыжков между локализованными состояниями воспользуемся формулой Абрахамса-Миллера (2.52), полагая в ней

139

fi =1, и f j = 0. Пусть электрон занимает состояние i с энергией Ei ,

соответствующей хвосту распределения g(E).

Среднюю частоту прыжков с этого состояния на более глубоко

представляет собой среднее расстояние между локальными состояниями с энергией E j ≥ Ei . Отметим, что чем глубже расположено со-

стояние i, тем больше величина R(Ei ) и тем с меньшей вероятностью электрон покидает это состояние, переходя на соседнее и близкое по энергии локальное состояние.

Вместе с тем, занимая глубокое состояние i, электрон с большей вероятностью способен перепрыгнуть на более мелкие состояния, расположенные по шкале энергий выше состояния i, так, что δ = Ei − E j ≥ 0, но такие переходы всегда сопровождаются поглоще-

нием фононов с энергией hω = δ, причем, чем больше δ, тем меньше вероятность, что фононы с такой энергией существуют. Поэтому среднюю частоту переходов вверх определим как

Выражение (2.60), конечно не точное, поскольку R(Ei − δ) представляет собой среднее расстояние между локальными состояниями, расположенными глубже, чем состояние с энергией Ei −δ. Вместе с тем, оно может быть использовано и дает оценки приемлемые оценки, ес-

140

Рассмотрим скорость прыжков Гij↑ при фиксированной температуре. Обратим внимание на тот факт, что величина R(Ei − δ) уменьшается по мере увеличения δ, поскольку концентрация мелких состояний выше, чем глубоких. Следовательно, существует некоторое значение δ, для которого частота переходов Гij↑ максимальна. Опре-

g(E). Ранее, была обоснована гауссова форма энергетического распределения локальных состояний в органических молекулярных телах. Однако использование ее в данном случае приводит к существенным математическим трудностям и потери ясности изложения1. Поэтому воспользуемся более простой аналитической формой для функции g(E), которую также часто применяют в качестве g(E) при анализе процессов токопереноса в молекулярных телах. Примем

где N — полная концентрация локальных состояний, T0 — параметр распределения, имеющий размерность температуры. Нетрудно пока-

1 В.И. Архиповым с сотрудниками была проанализирована задача о формировании транспортного уровня при гауссовом распределении локальных состояний по энергии. Они показали, что в этом случае энергию транспортного уровня можно рассчитать, решив следующее трансцендентное уравнение

дисперсия гауссова распределения.

141

зать, что для рассматриваемого распределения kBT0 соответствует средней энергии локальных состояний.

Используя соотношения (2.62) и (2.59)–(2.61), найдем значение

δmax, при котором скорость переходов максимальна. Получим

транспортным уровнем при экспоненциальном распределении локальных состояний по энергии, т. е.

Таким образом, наиболее часто прыжки происходят по состояниям с энергией близкой к Etr , независимо от первоначального значения энергии электронов, т. е. электроны в основном будут перемещаться по локальным состояниям, энергия которых близка кEtr .

Можно представить себе следующую качественную картину движения электронов посредством прыжков по локальным состояниям (см. рис. 2.29). Пусть первоначально электрон локализован на глубоком локальном состоянии. Концентрация таких состояний мала, расстояния между ними велики и, как следствие этого, перекрытие волновых функций незначительно, поэтому прыжок на соседнее близлежащее глубокое состояние маловероятен. Более вероятным

142