UHF_LEC / UHF_L3

Лекция 3. СВЧ.

3.1. Особенности движения электронов в быстроменяющихся полях и связанные с этим явления. Особенности протекания токов на СВЧ.

Мы проанализировали специфику потерь, а также работы основных типов трактов и электродинамических структур на СВЧ. Однако, пока еще не готовы к описанию методов создания СВЧ излучений и сигналов. Предварительно необходимо рассмотреть принципиальные особенности движения электронов в быстроменяющихся полях и связанные с этим явления, а также особенности протекания токов на СВЧ.

Основной принцип работы любых вакуумных СВЧ устройств состоит в том, что для усиления СВЧ колебаний используется энергия электронного потока, запасенная ими в статических полях. Энергия передается полю, если электроны тормозятся в нем. Торможение электронов в постоянном или медленно меняющемся поле не вызывает проблем. Трудности возникают именно в быстро меняющихся полях из-за инерционности движения электронов, из-за конечного времени их пролета по сравнению с периодом изменения СВЧ полей.

Вспомним, что скорость нерелятивистского электрона, которую он набирает под действием ускоряющего напряжения U, определяется из закона сохранения энергии mV²/2=eU и равна

. Учитывая, что отношение заряда к массе электрона , получаем, что электрон с энергией 100 эВ пересекает вакуумный зазор 3 мм за время 710^-10 сек. В непрерывном режиме это очень малое время. Но представим себе, что поле в зазоре меняется с частотой 3 ГГц. Тогда период изменения поля Т3,310^-10 сек. меньше времени движения электронов, и они за время пролета испытывают то ускорение, то замедление, т.е., в конечном счете, эффект воздействия поля зависит от соотношения времени пролета и периода колебаний.

На рис.3.1. показана так называемая пространственно-временная диаграмма, иллюстрирующая особенности движения электронов в СВЧ полях. Выбран простейший случай, когда начальная скорость электрона равна нулю и отсутствует постоянное напряжение между электродами. Движение электронов происходит под действием переменного напряжения U, поданного между катодом (источником электронов) и анодом.

Рис.3.1.

Приведены три типичные траектории в диодном промежутке между катодом и анодом. Одна из них (1) для электрона, движущегося в ускоряющем полупериоде переменного поля, заканчивается на аноде. Вторая (2) для электрона, эмитированного в конце ускоряющего полупериода, кончается на катоде. Наконец, электрон, движущийся по третьей траектории (3), может долго колебаться в зазоре между катодом и анодом. Понятно, что характер движения электрона и закономерности взаимодействия электрона с СВЧ

электрическим полем зависят от того, насколько сильно во время его движения меняется фаза переменного поля. Для характеристики такого изменения используют понятие угла пролета

. (3.1)

Время  пролета электронов в зазоре можно регулировать и оно зависит от амплитуды переменных и статических полей в этом зазоре, а также от размеров этого зазора и начальной скорости электронов.

Инерционность движения электронов влияет не только на их взаимодействие с переменными полями, но и на протекание токов. Постараемся разобраться с особенностями протекания токов нВ СВЧ.

Прежде всего, вспомним, с какими токами мы уже сталкивались ранее. Если говорить о токах в вакуумном зазоре электронного прибора, то это сумма так называемого конвекционного тока, плотность которого j_конв равна произведению enV (e – заряд электрона, n – концентрация электронов, а V – их скорость) и плотности тока смещения . Действительно, для вакуумного зазора первое уравнение Максвелла (уравнение полного тока) может быть записано в виде

(3.2)

Во внешней цепи, как мы уже знаем, при изменении напряжения U на зазоре должен протекать емкостной ток , связанный с формированием и перераспределением заряда Q= С₀U между пластинами конденсатора с емкостью С₀ .

Из привычных для низкочастотной электроники представлений кажется, что во внешней цепи, кроме емкостного тока, должен существовать еще ток, связанный с попаданием электронов с одного электрода на другой. На самом деле это не совсем так.

На СВЧ существенную роль играет не только перераспределение заряда, обусловленное изменением напряжения, но и наведение зарядов на электродах. Наведение зарядов связано с движением электронов между электродами.

Система электродов вместе с электронным зарядом между ними нейтральна. Нейтральность обеспечивается тем, что при помещении электронного заряда между пластинами он наводит на пластинах заряды противоположного знака, т.е. положительный заряд той же суммарной величины. Величина наведенного заряда определяется полем, которое создается электроном. Наведенный заряд на ближней пластине больше по величине, чем на дальней. Соответственно больше по величине и электрическое поле между ближним электродом и зарядом. На рис.3.2 показаны силовые линии электрического поля в системе, где это поле определяется движением одиночного электрона. Величину поля принято для наглядности характеризовать плотностью силовых линий. Плотность силовых линий больше там, где выше электрическое поле.

Рис.3.2.

При движении электрона (или сгустка электронов) между пластинами наведенные заряды перераспределяются, а значит протекает ток, который принято называть наведенным. Наведенный ток Iнав равен производной по времени от величины наведенного заряда на данном электроде. Величину наведенного тока от одного электрона можно определить из энергетических соображений. Пусть движение электрона происходит в постоянном поле , которое определяется разностью

потенциалов между электродами U. При смещении электрона в поле на расстояние по его траектории, пройденное за интервал времени dt, совершается работа

. (3.3)

*********************************************************************

Траектория не обязательно проходит вдоль электрического поля, а работа совершается только в связи с перемещением электрона вдоль поля. В уравнении (3.3) имеет смысл вектора, направленного вдоль траектории. Скалярное произведение векторов в правой части этого равенства равно произведению силы на расстояние, пройденное вдоль поля.

*********************************************************************

С другой стороны, энергия, отбираемая от источника напряжения U, равна

. (3.4)

Приравняв эти два выражения, получаем соотношение для определения величины наведенного тока от одиночного электрона

(3.5)

Для плоского зазора для электрона, вышедшего с катода с нулевой начальной скоростью, движение одномерно и происходит вдоль оси z в однородном электрическом поле. Е=U/d, где d - расстояние между электродами, а скорость V=dz/dt. В этом случае выражение для наведенного тока имеет вид

, (3.6)

т.е. наведенный ток определяется только зарядом и скоростью электрона, а также расстоянием между электродами.

Наведенный ток не равен нулю только во время движения электрона (вообще заряженной частицы) и обращается в нуль при ее остановке. Этот ток существует и тогда, когда заряженные частицы не оседают на электродах. Например, наведенный ток существует, если электрон пролетает сквозь отверстия в электродах. Выражение (3.5) является частным случаем выражения теоремы Шокли-Рамо для движения одиночного электрона между двумя электродами. Это наиболее интересный случай для СВЧ электроники. Но существует и обобщение этой теоремы на случай движения электрона в системе n электродов. В обобщенном виде выражение для тока, наведенного на n-м электроде электроном, который движется со скоростью V, имеет вид

(3.7)

Здесь gradU_n- поле в точке нахождения электрона, определяемое напряжением U_n на n-м электроде относительно заземленных остальных электродов.

Был рассмотрен случай движения одиночного электрона в статическом поле. Понятно, что при движении более одного электрона токи получаются суммированием наведенных токов от всех пролетающих частиц. В самом общем случае, когда есть СВЧ поле и напряжение на зазоре меняется во времени, полный ток во внешней цепи равен сумме наведенного и емкостного токов

(3.8)

Если токи в зазоре не ответвляются на другие электроды, полный ток внутри зазора равен полному току во внешней цепи. Полный ток внутри прибора определяется первым уравнением Максвелла, т.е. суммой конвекционного тока и тока смещения

, (3.9)

где

, (3.10)

В выражении (3.10) предполагается, что поток электронов однороден по сечению и имеет площадь сечения S. Поэтому токи равны произведению плотности тока на площадь сечения электронного потока.

Из равенства токов во внешней цепи и внутри зазора следует

(3.11)

Однако, это не означает, что конвекционный ток равен наведенному, а ток емкостной равен току смещения. Это легко опровергнуть, если учесть хотя бы, что ток смещения может сильно меняться в пространстве между электродами. Например, в условиях ограничения тока пространственным зарядом, когда поле у катода равно нулю, там равен нулю и ток смещения. У анода же этот ток всегда не равен нулю. Таким образом, соотношение между током смещения и емкостным может сильно меняться в процессе движения заряда или сгустка зарядов в зазоре.

Чтобы сравнить описанную ситуацию протекания токов на СВЧ с более привычной ситуацией на низких частотах, вспомним, что при достаточно малых частотах в правой части уравнения (3.11) ток смещения пренебрежим по сравнению с конвекционным, так как . Нужно отметить, что одновременно в левой части равенства (3.11) наведенный ток при малой частоте может быть много больше емкостного, так как . Таким образом, только на низких частотах ток во внешней цепи приблизительно равен конвекционному, т.е. связан с попаданием электронов с одного электрода на другой.

При изучении основных идей построения разнообразных СВЧ устройств важно понимать, как меняется величина токов, наведенных промодулированным по плотности электронным потоком с изменением угла пролета электронов. В связи с этим рассмотрим в заключение данного раздела наведение токов в плоском двухсеточном зазоре промодулированным по плотности потоком электронов. Найдем связь наведенного тока с конвекционным для двухсеточного зазора.

Пусть мы имеем дело с электронным потоком, пронизывающим двухсеточный зазор в направлении вдоль оси z (см. рис.3.3). Зазор закорочен

и в нем нет никаких переменных полей, кроме тех, которые связаны с модуляцией пространственного заряда. В данном рассмотрении мы пренебрежем и переменными полями пространственного заряда, что можно сделать, если модуляция не слишком велика и/или мала плотность потока электронов. В этом случае емкостной ток и ток смещения равны нулю.

Пусть изменения во времени плотности потока электронов описываются соотношением

, (3.12)

где - постоянная составляющая, а -

Рис.3.3.

амплитуда переменной составляющей плотности пространственного заряда . Все электроны на входе имеют одинаковую скорость V_o.

Тогда

(3.13)

Здесь а .

В плоском зазоре наведенный ток от заряда dq определяется выражением

.

Так как ,

. (3.14)

В последнем равенстве мы учли, что .

Определим I_нав. Для этого проинтегрируем выражение (3.14) от -d/2 до +d/2, поместив начало координат z=0 в центре зазора.

. (3.15)

При интегрировании мы приняли, что t₀ - момент влета электронов в центр зазора. В последнем равенстве мы перешли к новой переменной

и учли, что .

С учетом этого получаем

***************************************************************************************

(3.16)

Известно, что

.

Учитывая это, получаем

*********************************************************************

(3.17)

Так как угол пролета в зазоре , получаем окончательное выражение для наведенного тока в виде

, (3.18)

где

- (3.19)

- коэффициент взаимодействия электронного потока с двухэлектродным зазором. Изменение этого коэффициента с изменением угла пролета показано на рис.3.4

Рис.3.4.

Из рис.3.4 видно, что коэффициент взаимодействия равен 1 только при нулевом угле пролета, а затем с ростом  быстро падает. Проведенный анализ показывает, что зазор конечной протяженности может быть заменен зазором нулевой протяженности, расположенным в центре реального зазора,

если амплитуда конвекционного тока уменьшена в М раз. Только в этом случае наведенный ток равен конвекционному и амплитуда его изменения во времени равна амплитуде изменения конвекционного тока. При больших  амплитуда меньше.

В предыдущем рассмотрении мы предполагали гармоническое изменение конвекционного тока. При негармоническом его изменении конвекционный ток можно представить в виде ряда Фурье по гармоническим функциям

, (3.20)

где А_n и В_n – коэффициенты разложения, а n=1,2,3… - номер гармоники.

В этом случае наведенные токи можно рассчитать для каждой временной гармоники конвекционного тока с помощью формул (3.18) и (3.19).

После проведенного рассмотрения процесса наведения токов может возникнуть вопрос, почему этому процессу придается такое значение. Как будет ясно далее, именно наведение токов в резонаторах определяет в конечном счете механизм передачи энергии от электронного потока СВЧ полям. Это легко понять на приведенном примере двухсеточного зазора, если представить себе, что в нем сетки не закорочены, а соединены через конечное сопротивление. Тогда при протекании наведенного тока на указанном сопротивлении создается разность потенциалов и в зазоре благодаря этому создается тормозящее электроны электрическое поле. Действие именно этого поля определяет передачу энергии от электронов. Мы проанализируем подробнее механизм передачи энергии в следующей лекции на примере СВЧ триода.

7