Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Файл:

Учебные материалы ИКНТ 1-8 семестры / 7 семестр / !Фирсов А.Н. (сост.) Уравнения математической физики (учебное пособие для заочников).pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2016

Размер:

419.37 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

В силу граничных условий функция X(x) должна обращаться в нуль на концах

интервала [0; l ]: X (0) = 0

X (l) = 0. Подставляя (11.5) в (11.1), получим

X (x) ×T ' (t) = a2 X '' (x) ×T (t)

или

T ' (t)

X '' (x)

= -l.

a2T (t)

X (x)

Отсюда заключаем, что функции X (x)

и T (t) должны быть решениями однород-

ных линейных дифференциальных уравнений

X '' + lX = 0

(11.6)

T '

+ a2lT = 0

(11.7)

Ненулевые решения уравнения (11.6) существуют только при l = lk , где

æpk ö2

(k =1,2,..), причем в качестве этих решений можно взять функции

= ç

è l

X k

= sin

(k =1,2,...).

Заменяя в уравнении (11.7) l

на lk , получаем

æ akp

æ akp ö

-ç

уравнение T

T = 0. Его общим решением будет T

= c

è l

, где

+ ç

ck -произвольная постоянная, соответствующая взятому значению k .

Подставляя найденные значения X = X k

u T = Tk в (11.5), получим решение

уравнения (11.1) в виде

æ akp ö			2
-ç		÷	t
	l
uk (x, t) = ck e è		ø

×sin	kp	x (k =1,2,..)	(11.8)

	l

Каждая из функций (11.8) удовлетворяет граничным условиям. Можно показать, что функция

¥	æ akp ö			2
	-ç		÷	t

u(x,t) = åck e è		l	ø

k =1

× sin	kp	x	(11.9)

	l

тоже является решением уравнения (11.1), удовлетворяющим граничным условиям. Выберем теперь коэффициенты Ck таким образом, чтобы функция (11.9) удо-

влетворяла и начальному условию (11.2). Полагая в (11.9) t=0, получим

¥		kp
f (x) = åck	sin		x	(11.10)

k =1		l

Предположим, что функция f(x) разложима в равномерно и абсолютно сходящийся ряд Фурье по синусам

¥		kp
f (x) = åbk	sin		x	(11.11)

k =1		l

Тогда bk

2 l

f (x) sin

xdx. Сравнивая (11.10), (11.11), видим, что

ck = bk , т.е. ck

2 l

ò f (x) sin

xdx, чем и завершается решение задачи.

¶2u

Пример1. Найти решение уравнения теплопроводности

¶u

= a2

¶x2

при граничных условиях u(0;t) = 0, u(l;t) = 0

¶t

и начальном условии

ïx, если 0 £ x <

u(x;0) = í

ïl - x, если

£ x £ l.

Решение. Решение определяется формулой

-a2p 2n2t

×sin

pnx

u(x;t) = åcne

l 2

где cn

вычисляется по формулам

n =1

pnx

x sin

dx +

(l - x) sin

çò

dx .

ç 0

Вычисляя интегралы, получим:

pnx

l 2

òx sin

= -

cos

sin

2pn

p 2n2

pnx

l 2

ò(l - x) sin

dx =

cos

sin

2pn

pn2

sin

Складывая вычисленные интегралы, найдем, что c

. Так как

p 2

sin pn = 0, то и c2n = 0. Далее имеем c2n +1 =

4l (-1)n -1

p 2

(2n -1)2

Решение задачи запишется так:

Начальная температура определяется формулой

p 2 a 2 (2n -1)

p (2n -1)

å(-1)

n -1

l 2

x .

u(x,t) =

sin

(2n -1)

n =1

32. Дан тонкий однородный стержень длины l, на концах которого поддерживается постоянная температура, равная нулю. Начальная температура стержня определяет-

ся уравнением u(x,0) = 3sin px - 2sin 3px . Определить температуру стержня при

t > 0.

p 2 a 2 t

9p 2 a 2 t

3px

Ответ. u(x, t) = 3e

sin

- 2e

sin

33. Концы стержня длиной l=100 см поддерживаются при температуре, равной нулю. Определить температуру u(x, t) в точках стержня для любого момента времени t, если известно начальное распределение температуры

ì1	x,		если 0 £ x £ 25,
ï
ï
ï
u(x,0) = í5				x
ï100		-		x	, если 25	< x £100.
ï
ï			15
î 15			15

160 ¥ 1

Ответ. u(x, t) = 3p 2 nå=1 n2

34. Концы стержня длиной l

	np	-	a 2 n	2t		pnx
			l 2
sin		e			sin		.
	4					l

поддерживаются при температуре, равной нулю.

u(x,0) = 5sin px - 2sin 3px . l l

Определить температуру стержня для любого момента времени.

	-	a 2p 2 t			px		-	9a 2p 2 t
Ответ. u(x, t) = 5e		l	2	sin		- 2e		l	2

sin 3px . l

35. Найти распределение температуры в стержне длиной l, если на концах его поддерживается температура, равная нулю, а начальная температура равна единице вдоль всего стержня.

4		¥	1		-	(2n +1) 2 p 2 a 2t
		å
						l	2
						l	2
Ответ. u(x, t) =	p		2n -1	e
		n =1

sin 2n +1px. l

¶u ¶2u

36. Найти решение уравнения ¶t = ¶x2 , удовлетворяющее граничным условиям

u(0, t) = u(p , t) = 0 и начальному условию u(x,0) = 3sin 2x.

Ответ. u(x, t) = 3e-4t sin 2x.

37. Конец стержня x = 0 имеет температуру u(0, t) = 0, а на конце x=l поддержи-

вается температура u(l, t) =100o. Вычислить распределение температуры u(x, t) в

точках стержня для любого момента времени t, если известно распределение ее в начальный момент

ì	200	x,	если	0 £ x £		l	,
ì		x,	если	0 £ x £			,
ï	l			2
u(x,0) = í				l
ï100,			если	l	< x £ l.
ï100,			если		< x £ l.
ï				2
î				2

Указание. Эту задачу целесообразно свести к задаче с нулевыми граничными условиями.

	100x		400	¥	-	a 2n 2t			(2n -1)px

Ответ. u(x,t) =		+		åe		l	2	sin		.
	l		p 2
				n =1					l

38. Найти закон распределения температуры внутри стержня длины l, лежащего на отрезке [0,l], если в начальный момент температура внутри стержня была распределена следующим образом:

		ìx	u0 ,	при	0 £ x £		l	;
		ï
		ï
f (x) = u		ï					2
		ï
	t =0	= í l
		ïl - x		u0 , при	l	< x £ l,
		ïl - x			l
		ï
		ï	l		2
		î	l		2

где u0 = const.На концах стержня поддерживается нулевая температура. Теплообмен свободный.

4u0

(-1)

n -1

a 2 n 2p 2t

(2n -1)px

Ответ. u(x, t) =

sin

. (при 0£ x £ l, t ³ 0 ).

(2n -1)

n =1

39. Найти закон распределения температуры внутри стержня длиныl, если в начальный момент температура внутри стержня во всех точках равнялась0o , в левом конце поддерживается все время постоянная температураu1, а в правом- по-

стоянная температура u2 . Теплообмен свободный.

a 2 n 2p 2 t

npx

l 2

Ответ. u(x, t) = å

(-u1 + (-1)

u2 )e

sin

+ u1 + (u2

- u1 )

n =1 np

12. Охлаждение бесконечного стержня.

Пусть температура тонкого теплопроводного стержня бесконечной длины в

начальный момент была распределена по закону: u

t =0 = f (x) .

(12.1)

Определим температуру в каждой точке стержня в любой последующий момент времени t>0.

Ясно, что это частный случай задачи Коши, которая сводится к определению функции u(x,t ) , удовлетворяющей уравнению

¶u	=	¶2u	(12.2)
¶t		¶x2

( где t = k t ) и начальному условию (12.1).

С физической точки зрения эта задача аналогична рассмотренной в предыдущем параграфе с тем отличием, что здесь нет граничных условий. Ясно поэтому, что, разделяя переменные по методу Фурье можно представить решение уравнения

(12.1) в виде

u(x,t) = ( A cos lx + B sin lx)e-l2t .

(12.3)

В случае стержня конечной длины l мы определяли из граничных условий дискрет-

ное множество возможных значений параметра l : ln	= n	p	, где каждому значе-

		l

нию индекса п соответствуют некоторые коэффициенты An u Bn . Чем длиннее стержень, тем гуще множество значений ln (расстояние между ln и ln +1 равно

p и стремится к нулю, когда l ® ¥). Поэтому для бесконечного стержня l может

иметь любое значение от 0 до ¥.

Таким образом, каждому значению l соответствует частное решение:

ul (x,t ) = ( A(l) cos lx + B(l) sin lx)e-l2t .

(12.4)

Общее решение получается из частных решений не суммированием, а интегрированием по параметру l :

¥	¥
ul (x,t ) = òul dl =ò( A(l) cos lx + B(l) sin lx)e-l2t dl		(12.5)
0	0

Отсюда видно, что задача свелась к разложению произвольной функции в интеграл Фурье, являющийся обобщением понятия ряда Фурье.

В теории интеграла Фурье доказывается, что любая непрерывная функция

f(x), удовлетворяющая условию

f (x)

dx < ¥, может быть представлена в виде

интеграла Фурье

-¥

f (x) = ò( fc (l) cos lx + fs (l) sin lx)dl,

(12.6)

+¥

где fc

(l) =

ò f (x) cos lxdx,

(l) =

ò f (x) sin lxdx.

(12.7)

-¥

Подставляя значения Фурье-преобразований fc (l)						u fs (l) в интеграл (12.6),
получим:				¥	+¥	+¥
			1	¥	+¥	+¥
f (x) =				ò(cos lx ò f (x) cos lxdx + sin lx ò f (x ) sin lxdx)dl,
f (x) =			p	ò(cos lx ò f (x) cos lxdx + sin lx ò f (x ) sin lxdx)dl,
			p	0	-¥	-¥
				0	-¥	-¥
	1	¥		+¥
или f (x) =		òdl ò f (x )(cos lx cos lx + sin lx sin lx)dx.
или f (x) =	p	òdl ò f (x )(cos lx cos lx + sin lx sin lx)dx.
	p	0		-¥

Учитывая, что выражение в скобках есть косинус разности, приходим к иному выражению для интеграла Фурье:

	1	¥	¥
f (x) =		òdl ò f (x ) cos l(x - x)dx.		(12.8)
f (x) =	p	òdl ò f (x ) cos l(x - x)dx.		(12.8)
	p	0	-¥
		0	-¥

Таким образом, если в качестве коэффициентов A(l) u B(l) в (12.5) выбрать соответственно A(l) = fc (l), B(l) = fs (l), то интеграл

		1	¥
u(x,t) =			ò( fc (l) cos lx + fs (l) sin lx)e-l2t dl	(12.9)
	p
			0

является решением рассматриваемой задачи.

Другая, эквивалентная форма этого решения, получается из (12.8):

		1	¥	+¥
u(x,t) =		1	òe-l2t dl ò f (x) cos l(x - x)dx. Преобразуем последний интеграл ме-
u(x,t) =	p
	p		0	-¥
няя порядок интегрирования:
					1	¥	+¥
		u(x,t) =			1	ò	f (x)dx ò e-l2t cos l(x - x)dl.	(12.10)
		u(x,t) =		p		ò	f (x)dx ò e-l2t cos l(x - x)dl.	(12.10)
				p		-¥	0

Обозначив q := x - x, можно внутренний интеграл свести к известному в математике определенному интегралу :

		1	¥	1	-		q 2
			òe-tl2 cos lqdl =

K (t, q) =						e 4t .		(12.11)
	p
				2 pt
			0

Заменяя обратно q через x - x и подставляя (12.11) в (12.10), получим окончательно:

	1		+¥		(x - x)	2
			-
u(x,t) =				ò f (x )e	4t		dx.	(12.12)
	2
		pt
			-¥

Чтобы понять физический смысл полученного решения, допустим, что в начальный момент времени(t = 0 ) температура бесконечного стержня была равна нулю всюду, кроме окрестности точки x=0, где u = u0 .

Рисунок 6.

Можно себе представить, что в момент t = 0 элементу длины 2h стержня сообщили некоторое количество тепла Q0 = 2hcru0 , которое вызвало повышение

температуры на этом участке до значенияu0 . Следовательно, формула (12.12) при-

(x-x)2

(x -x)2

нимает вид: u(x,t ) =

òu0e-

dx =

òe-

dx.

4h pt

-h

Будем теперь уменьшатьh, устремляя его к нулю, считая количество тепла неизменным, т.е. введем понятие мгновенного точечного источника тепла мощности Q0 , помещенного в момент t = 0 в точке x=0. При этом распределение температур

lim

- (x - x) 2

в стержне будет определяться формулой: u(x,t) =

òe

dx,

pt cr

h ®0

2h -h

x 2

Q = cr, то

или по теореме о

среднемu(x,t) =

e 4t .

В частности, если

pt cr

температура в любой точке стержня в произвольный момент времени t =

(а - ко-

эффициент

температуропроводности) может

быть

найдена

по - ф

x 2

ле:u(x, t) =

e 4at . Заметим, что величина cr

òu(x, t)dx есть общее количе-

pat

-¥

ство тепла, полученное стержнем к моменту времени t:

+¥

+¥ -

x 2

Q(t) = cr òu(x, t)dx =

ò e 4at dx.

-¥

2 pat -¥

Но последний(справа) интеграл есть интеграл Пуассона: ò e-ax 2 dx =

Поэтому

получаем, что Q(t) = cr = Q0 = const,

-¥

что согласуется с законом сохранения энер-

гии.

40. Решить уравнение

¶u

= a2

¶2u

, если

начальное

распределение

температуры

¶t 2

¶t

ìu

, если

x < x < x

стержня определяется равенством u(x, t)

t =0

f (x) = í

x2 - ( x -x ) 2

î0, если x < x1, или x > x2 .

òe

Ответ. u(x, t) =

4a 2 t dx.

2a pt

Замечание. Решение u(x,t) можно выразить через интеграл вероятности .

13. Задача о равновесии электрических зарядов на поверхности проводника.

Рассмотрим стационарное электростатическое поле, созданное в пространстве некоторой системой электрических зарядов. Если заряды q1, q2 ,..., qn расположены

дискретно

точкахx ,x

,..,x

то

потенциал

поля

x = (x1, x2 , x3 )

u = å

где ri

- x

- расстояние от заряда qi

до точки x.

i =1 i

Если же заряды непрерывно распределены на некоторой линииL , или поверхности

S, или в объеме V, то потенциал поля соответственно выражается одним из инте-

гралов: u = ò

dl,

u = òò

g 2

ds,

u = òòò

g 3

dv, где r- расстояние от элемента ли-

нии (поверхности, объема) до точки поля, обладающей потенциалом и. В этих фор-

мулах величины g1,g 2 ,g 3

обозначают

линейную,

поверхностную или объемную

плотность зарядов: g1 = lim

Dl ®0

g 2 = lim

g 3 = lim

где Dq -заряд элемента

линииL (по-

Ds ®0 Ds ds

Dv ®0 Dv dv

верхности S, объема V). В общем случае потенциал поля равен сумме потенциалов, созданных каждым из этих видов распределения зарядов в отдельности.

Допустим, что конечная область V пространства занята проводящей средой - проводником, т.е. средой, в которой заряды могут свободно передвигаться, остальная часть пространства - диэлектриком, т.е. средой, в которой движение зарядов невозможно. В стационарном состоянии потенциал поля во всех точках области

V, - включая ее границу, одинаков, так как иначе бы возникло движение электрических зарядов, стремящееся выровнять потенциал, и поле менялось бы. Отсюда непосредственно очевидно, что в области V потенциал поля и удовлетворяет уравнению Лапласа: Du = 0 (Du = div grad u) . Внутри проводника заряды разных знаков должны быть взаимно нейтрализованы. Следовательно, если достигается стационарное состояние, то избыточные заряды располагаются на границе ¶V проводника

в виде бесконечно тонкого электрического слоя. Потенциал этого слоя в точке x выражается интегралом:

u = òò	g 2	ds,	(13.1)
	r
¶V

где r- расстояние от переменной точкиx поверхности проводника до точки x. Если

точка x находится вне проводника, то функция 1 удовлетворяет уравнению Лапла-

са. Следовательно, уравнению Лапласа удовлетворяет и потенциал u, определяемый формулой (13.1). Чтобы доказать это утверждение, достаточно применить к интегралу (13.1) правило дифференцирования по параметру, что можно сделать, так как, по предположению, точка x находится вне поверхности¶V и, следовательно, подынтегральная функция в выражении (13.1) нигде не обращается в бесконечность. Итак, в каждой точке x, лежащей вне проводника, потенциал u также удовлетворяет уравнению Лапласа. Поэтому возникает задача нахождения функцииu, удовлетворяющей уравнению Лапласа во всех точках окружающего проводник пространства, стремящейся к нулю на бесконечности и удовлетворяющей условию

U=const, когда xÎ¶ V.

Это последнее условие получило название граничного условия, в связи с чем рассматриваемую математическую задачу называют граничной.

В зависимости от вида граничного условия различают три основных вида граничной задачи:

1.u(x) = j(x), когда xÎ¶ V - первая граничная задача или задача Дирихле,

2.¶u = j(x), когда xÎ¶ V - вторая граничная задача или задача Неймана,

¶n

3.a2 ¶u +a1u = j(x), когда xÎ¶ V - третья или смешанная граничная задача.

¶n

Здесь j,a1,a2 -непрерывные функции, определенные на граничной поверх-

ности ¶ V, а ¶u означает производную, взятую в точке поверхности ¶ V по направ-

¶n

лению внешней нормали к ней. К этим видам граничной задачи приводит изучение широкого круга стационарных физических явлений и процессов.

14. Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье.

Функцию, удовлетворяющую в области D уравнению Лапласа, называют гармонической в этой области.

Пусть дан круг радиусаR c центром в полюсе O полярной системы координат. Будем искать функцию u(r,q), гармоническую в круге и удовлетворяющую на его окружности условию u r =R = j(q ), где j(q ) - заданная функция, непрерывная на окружности. Искомая функция должна удовлетворять в круге уравнению Лапласа

2 ¶2u

+ r

¶u

¶2u

= 0.

Допустим, что

частное

решение

имеет

¶r2

¶r

¶q 2

u = Q(r) ×T (q ). Тогда получим

r 2Q'' (r) ×T (q ) + rQ' (r) ×T (q ) + Q(r) ×T '' (q ) = 0.

Разделяем переменные:

T " (q )

= -

r2Q'' (r) + rQ' (r)

. Приравнивая каждую часть

T (q )

Q(r)

полученного равенства постоянной - k 2 , получим два обыкновенных дифференци-

альных уравнения: T" (q ) + k 2 ×T (q ) = 0, r 2Q" (r) + rQ' (r) - k 2 Q(r) = 0.

Отсюда при k=0 получим
T (q ) = A + Bq,	(14.1)
Q(r) = C + D ln r.	(14.2)
Если же k > 0, то T (q ) = Acos kq + B sin kq ,	(14.3)

а решение второго уравнения будем искать в виде Q(r) = rm , что дает

r 2m(m -1)rm -2 + rmrm -1 - k 2 rm = 0, или r m (m2 - k 2 ) = 0, m = ±k.

Следовательно, Q(r) = Crk + Dr-k .	(14.4)
Заметим, что u(r,q ) как функция q	есть периодическая функция с периодом2p,

так как величины u(r,q ) и u(r,q + 2p ) соответствуют однозначной функции в одной и той же области. Поэтому, в (14.1) В=0, а в (14.3) k может иметь одно из значений 1,2,3,…( k >0). Далее, в (14.2) и в (14.4) D=0, так как в противном случае функция u имела бы разрыв при r=0 и не была бы гармонической в круге. Итак, мы

получили бесчисленное множество частных решений уравненияDu(r,q ) = 0,

не-

прерывных в круге, которые можно записать в виде

(r,q ) =

, u

(r,q ) = (A cos nq + B sin nq )rn

, (n =1,2,....).

+ å¥ (An cosnq + Bn sin nq)rn , которая в

Составим

функцию u(r,q) =

след-

n=1

ствие линейности и однородности уравнения Лапласа также будет его решением. Остается определить величины A0 , An , Bn так, чтобы эта функция удовлетворяла

условию u	r =R	= j(q ), j(q ) =	A0	+ å¥ (An cos nq + Bn sin nq )Rn .


		2		n=1

Это разложение функции j(q ) в ряд Фурье в промежутке[-p,p]. В силу известных формул находим

A0 =

òj(t)dt, An =

òj(t ) cos nt dt,

Bn =

òj(t) sin nt dt.

pRn

-p

æ r ö

Таким образом, u(r,q ) =

j(t )í

cos n(t -q )ýdt. После преобра-

è R ø

-p

n =1

зований получим

1		p		R2 - r2
u(r,q ) =		òj(t )			dt. Это решение задачи Дирихле для
u(r,q ) =	p	òj(t )	R2	- 2Rr cos(t -q ) + r2	dt. Это решение задачи Дирихле для
		-p

круга. Интеграл, стоящий в правой части, называется интегралом Пуассона.

Примеры
			41. На окружности круга x2 + y2 £ R2 температура распределяется по закону:
u	x	2	+ y	2	= R	2 = x 2	- y 2 +	1	y.	Найти распределение температуры внутри круга,
								1

							2

предполагая, что оно стационарно.

Решение. Поставленная задача - задача Дирихле для круга: требуется найти функцию, гармоническую внутри круга и принимающую на границе круга заданные зна-

чения u(R,q ) = R2 cos2 q - R2 sin2 q +	1	R sinq = R2 cos 2q +	1	R sinq.

2		2

Согласно теории уравнения Лапласа искомая функция внутри круга имеет вид

¥							1	p
¥								ò
u(r,q ) = å rn ( An cos nq + Bn sin nq ). При этом A0						=			j(q )dq
u(r,q ) = å rn ( An cos nq + Bn sin nq ). При этом A0						=	2p		j(q )dq
n =0							2p
								-p
Из граничного условия получим:
		1	¥
u(r,q ) = R2 cos 2q +		1	R sinq = å(Rn An cos nq + Rn Bn sin nq ). Откуда, срав-
u(r,q ) = R2 cos 2q +			R sinq = å(Rn An cos nq + Rn Bn sin nq ). Откуда, срав-
	2				n =0					1
нивая коэффициенты при cos 2q и sinq , получим: R2 = R2 A									,	1	R = RB . Сле-
нивая коэффициенты при cos 2q и sinq , получим: R2 = R2 A									,		R = RB . Сле-
								2		2		1
				1						2
довательно, A =1, B =				1	. Остальные коэффициенты равны нулю. Подставляя
довательно, A =1, B =					. Остальные коэффициенты равны нулю. Подставляя
2	1		2
			2

найденные коэффициенты в выражение для u(r,q ) , получим решение задачи:

u(r,q ) = r2 cos 2q + 1 r sinq = r 2 (cos2 q - sin2 q ) + 2

+	1	r sinq = x2 - y2 +	1	y, т.е. u(x, y) = x2 - y2 +			1	y.

2		2			1	2

42. Является ли гармонической функция u = ln						, где r =			x2 + y2	?
					r

Ответ. Да.

43. Решить задачу Дирихле для круга радиуса R с центром в начале координат, если заданы следующие граничные условия:

а)u

r =R

;

б) u

r =R

= 3 - 5y;

в) u

r =R

= 2x2 - 4xy - 6 y2 ;

г) u

r =R

= 3Rj(2p -j).

Ответ. а) u(r,q ) =

r cosq =

;

б) u = 3 - 5y = 3 - 5r sinq;

в) u = 4r2 cos 2q - 2r 2 sin 2q - 2R2 = 4x2 - 4xy - 4 y2 - 2R2 ;

г) u(r,j) = 2p 2 R -12å

rn cos nq.

n =1 n2 Rn

44. Найти стационарное распределение температуры на однородной тонкой круглой пластинке радиуса R, если распределение температуры на окружности, ограничивающей эту пластинку, задается формулой

ì1, 0 £q £ p ,

f (R,q ) = í

î0, p <q £ 2p.

ì1

arctg

R2 - r 2

0 £q £ p ,

2Rr sinq

Ответ. u =

R2 - r 2

arctg

ï-

p <q £ 2p.

2Rr sinq

Указание. В интеграле Пуассона нужно воспользоваться подстановкой tg t -q = t.

45. Найти гармоническую функцию внутри кольца1 £ r £ 2, удовлетворяющую краевым условиям u r =1 = 0; u r =2 = Ay.

Ответ. u(r,q ) = 8A sh ln r sinq. 3

Указание. Ввести полярные координаты. Можно воспользоваться формулой

u(r,j) = C0 + D0 ln r + å

n =1

ææ	A rn
çç	A rn
çç	n
èè

+Cn rn

ö	æ
÷cos nq + ç B rn
÷	ç	n
ø	è

+Dn rn

ö	ö
÷sin nq ÷.
÷	÷
ø	ø

Коэффициенты определяются из граничных условий.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 7 семестр

#
21.03.2016419.37 Кб49!Фирсов А.Н. (сост.) Уравнения математической физики (учебное пособие для заочников).pdf
#
21.03.2016319.9 Кб30Б2.В3 Математические методы физики.pdf
#
21.03.2016493.24 Кб41Б3.Б8 Теория информационных процессов и систем.pdf
#
21.03.2016551.94 Кб40Б3.В6 Интеллектуальные технологии и представление знаний.pdf
#
21.03.2016541.87 Кб52Б3.ДВ6.1 Основы и системный анализ информационно управляющих процессов.pdf
#
21.03.2016618.63 Кб42Б3.ДВ7.1 Моделирование систем.pdf