Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

Файл:

Учебные материалы ИКНТ 1-8 семестры / 7 семестр / !Фирсов А.Н. (сост.) Уравнения математической физики (учебное пособие для заочников).pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2016

Размер:

419.37 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

менту, приравнять силе инерции. Пусть r - линейная плотность струны. Тогда мас-

¶2u

са элемента струны будет rDx. Ускорение элемента равно ¶t 2 . Следовательно, по

принципу Даламбера будем иметь rDx ¶2u

¶t 2

чая T = a2 , получаем уравнение движения

¶2u = a2 ¶2u .

¶t 2 ¶x2

¶2u

=T 2 Dx. Сокращая на Dx и обозна-

¶x

(3.1)

Это и есть волновое уравнение - уравнение колебаний струны. Для полного определения движения струны одного уравнения (3.1) недостаточно. Искомая функция

u(x, t) должна удовлетворять еще граничным условиям, указывающим, что делает-

ся на концах струны ( x =0 и x=l), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t=0).

4. Продольные колебания стержня.

Рассмотрим однородный стержень длиныl , для изгибания которого надо приложить усилие. Ограничимся исследованием только таких усилий, при которых поперечные колебания перемещаясь вдоль оси стержня остаются плоскими и параллельными друг другу. Это допущение оправдано, если поперечные размеры стержня будут невелики по сравнению с его длиной.

Рисунок 3.

Если стержень несколько растянуть или сжать вдоль продольной оси, а затем предоставить самому себе, то в нем возникнут продольные колебания. Направим ось ОХ вдоль оси стержня и будем считать, что в состоянии покоя концы стержня нахо-

дятся в точках x=0 и x=l. Пусть x- абсцисса некоторого сечения стержня, когда по-

следний находится в покое. Обозначим через u(x, t)	смещение этого сечения в мо-
мент времени t ; тогда смещенное сечение с	абсциссойx + dx будет равно

u + ¶u dx. А относительное удлинение стержня в сечении с абсциссойx выражает-

¶x

ся производной ¶u(x, t) . Считая, что стержень совершает малые колебания, можно

¶x

вычислить в этом сечении натяжение. ДействительноТ, применяя закон Гука,

найдем, что T = ES ¶u , где E - модуль упругости материала стержня, а S – пло-

¶x

щадь поперечного сечения. На элемент стержня, заключенный между сечениями с абсциссами x и x+dx действуют силы натяжения Tx и Tx +dx , направленные вдоль оси

ОХ; их результирующая T

-T

= ES

¶u

- ES

¶u

» ES

¶2u

также направ-

x +dx

¶x

x +dx

¶x

¶x2

¶2u

лена вдоль оси ОХ. С другой стороны, ускорение элемента равно ¶t 2 .

второму

закону

НьютонаrSdx

¶2u

= ES

¶2u

dx, где r -

объемная

¶t

¶x2

стержня.

Положив

a =

, получим

дифференциальное

уравнение

Согласно

плотность

продольных

колебаний стержня	¶2u	= a2	¶2u	. Форма этого уравнения показывает, что про-
	¶t 2		¶x2

дольные колебания стержня носят волновой характер, причем скорость распростра-

нения продольных волн равна		E	.

		r
	5. Метод Даламбера.

Рассматривая свободные колебания струны, мы должны решить однородное урав-

нение	¶2u	= a2	¶2u	(5.1)
	¶t 2		¶x2
при начальных условиях

u	t =0	=	f (x),	¶u	= F (x),	(5.2)

				¶t
					t =0

где функции f (x) и F (x) заданы на всей числовой оси. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши. Эту задачу можно решить методом бегущих волн. Общее решение уравнения (5.1) имеет вид

u(x, t) = j(x - at) +y (x + at),

(5.3)

где j и y предполагаются дважды дифференцируемыми.

Подобрав функции j и y так, чтобы функция u = u(x, t) удовлетворяла начальным условиям (5.2), приходим к решению исходного дифференциального

f (x - at) + f (x + at)

x+at

уравнения u =

òF (z)dz.

x -at

Примеры.

¶u

21. Найти решение уравнения

¶2u

, если u

t=0

=x,

=0.

¶t

¶t 2

¶x2

t=0

Решение. Так как a =1, а F(x)=0, то

u = f (x - at) + f (x + at) , где u = x - t + x + t , или окончательно u=x.

Ответ. u=x.

¶2u

2 ¶2u

¶u

22. Найти решение уравнения

= a

если u

t=0 =0,

t=0

=x .

¶t 2

¶x2

¶t

Решение. Здесь

f (x) = 0, F (x) = x3.

x +at 3

x +at

((x + at)

u =

òz

x -at =

(x - at)

x -at

=1 (x2 + 2axt + a2t 2 + x2 - 2axt + a2t 2 )(x2 + 2axt + a2t 2 - x2 + 2axt - a2t 2 ) =

=1 (2x2 + 2a2t 2 ) × 2 × 2axt = 1 (x3at + xa3t3 ) = x3t + xt3a2 .

Ответ. u = x3t + xt 3a2 .

¶2u

23. Найти форму струны, определяемой уравнением

¶t

¶u

t = p , если u

t=0

=cosx,

=x.

¶t

t=0

x +at

cos(x + at) + cos(x - at)

u =

òz dz =

Решение.

x -at

x +at

= cos x cos at +

x -at

= a2 ¶2u , в момент

¶x2

×4atx = cos x cos at + xt.

Если t = p , то u = cos ap ×cos x +px. Ответ. u = cos ap ×cos x +px.

6. Решение уравнения колебаний струны методом Фурье.

Решение дифференциального уравнения ¶2u = a2 ¶2u , удовлетворяющее началь-

¶t 2 ¶x2

ным условиям u			t =0	= j(x),	¶u	=y (x) и граничным (краевым) условиям
					¶u
					¶t
u	x =0 = 0, u					t =0


		x =l	= 0, может быть представлено суммой бесконечного ряда
			= 0, может быть представлено суммой бесконечного ряда

		¥	æ			kpat
u(x, t) = å			çak	cos
u(x, t) = å			çak	cos			l
		k =1è					l
	2 l				kpx
ak =		òj(x) sin					dx,
ak =	l	òj(x) sin			l		dx,
		0

+ bk

sin

kpat ö

×sin

kpx

, где

kpx

y (x) sin

dx.

kpa

Нулевые граничные условия соответствуют колебаниям струны длины l, закрепленной в точках x=0 и x= l.

			Примеры.
25. Струна длины		l закреплена на концах. В начальный момент времени она оття-
нута в точке x =	l	на расстояние	l	, а затем отпущена без толчка. Методом Фурье

2		10

определить отклонение u(x,t) точек струны в любой момент времени.

Решение. В поставленной задаче мы имеем дело со свободными колебаниями струны, закрепленной на обоих концах. Ее решение сведется к решению следующей ма-

тематической задачи. Требуется найти решение уравнения ¶2u = a2 ¶2u (здесь

¶t 2 ¶x2

a2 = T , где Т- натяжение струны, а r - плотность струны), удовлетворяющее сле-

дующим начальным и граничным условиям:


1)	Начальные условия:
		ìx		,		при 0 £ x £		l	,
	ï
	ï
	ï		5				2
а) u(x,0) = j(x) = í			5				2
	ï				1	(x - l), при	l		£ x £ l.
	ï-			5		(x - l), при	2		£ x £ l.
	î			5			2
б)	¶u(x,0)	=y (x) = 0 (струна была отпущена без толчка, значит, начальная ско-
б)
	¶t

рость ее точек была равна нулю).

Рисунок 4.

2) Граничные условия: u(0,t)=0, u(l,t)=0. Физически они означают, что в точках x=0 и x= l струна закреплена.

Вычисляя an , получим:

pnx

2 1

æl 2

pnx

ò f (x) sin

dx =

ç òx sin

+ ò(l

- x) sin

dx ÷

è 0

l 2

×sin

5l p 2 n2

Таким образом,

×sin

(n =1,2,....). Заметим, что при четных n

p 2n2

имеем: an = 0, так как sin

= sin

2pk

= 0. При нечетных n=2k-1 имеем

(2k -1)p

sin

= sin

= (-1)k -1

(k =1,2,...). Окончательно для коэффициентов

получим формулу: a2n -1 = (-1)n -1

(n =1,2,...).

5p 2 (2n -1)2

a2n = 0.

Поскольку в рассматриваемой задаче y (x) = 0, то bn

= 0 (n =1,2,...). Следова-

тельно,

pan

pnx

(-1)n-1

pan

pnx

u(x, t)

an cos

t ×sin

×cos

t ×sin

2 å

(2n -1)2

n=1

26. Струна длины l , закрепленная на концах, изогнута так, что она приняла форму

синусоиды u = 2sin px , и отпущена без начальной скорости. Найти закон колеба-

ния струны.

Ответ. u(x, t) = 2 cos pat sin px .

l l

27. Струна с закрепленными концами x=0 и x =l в начальный момент времени

имеет форму, определяемую уравнением u(x,0) = 2sin 5px . Начальные скорости

точек струны определяются формулой

¶u(x,0)

= 3sin

4px

. Найти смещение u(x,t)

точек струны.

¶t

Ответ. u(x, t) =

sin

4pat

sin

4px

+ 2 cos

5pat

sin

5px

4pa

28. Решить уравнение

¶2u

= a2

¶2u

+ bshx при нулевых начальных и краевых

¶t 2

¶x2

условиях u(0, t) = 0,

u(l, t) = 0.

Указание. Решение следует искать в виде суммы u(x, t) = v(x) + w(x, t), где v(x)

есть решение уравнения a2v'' (x) + bshx = 0, удовлетворяющее краевым условиям

v(0) = v(l) = 0, а w - решение уравнения	¶2 w	= a2	¶2 w	при условиях
	¶t 2		¶x2

w(0, t) = 0, w(l,t) = 0,

2bpshl

npat

npx

å(-1)

cos

sin

+ l

n=1

n p

w(x,0) = -v(x),

¶w(x,0)

= 0.

¶t

(-1)n

b æ x

npat

npx

Ответ. u(x, t) =

shl

- shx

cos

sin

è l

a p

n=1

¶2u ¶2u

29.Решить уравнение 2 = ¶x2 + bx(x - l) при нулевых начальных и краевых

условиях u(0, t) = 0, u(l, t) = 0.

8l 4

¥ cos

(2n +1)pt

sin

(2n +1)px

Ответ. u(x, t) = -

- 2x

l + l

) +

p 5

(2n +1)5

n =0

30. Найти закон колебаний струны, концы которой закреплены в точках x=-l и

x=l , а в начальный момент времени точки струны отклонены по параболе, cимметричной относительно центра струны, причем максимальное начальное смещение равно h.

32h

(-1)n

2n +1

Ответ. u(x, t) =

cos

px ×cos

pat.

(2n +1)

n =

7. Колебания прямоугольной мембраны.

Рассмотрим малые колебания однородной прямоугольной мембраны со сторонами p и q, закрепленной по контуру. Эта задача сводится к решению волнового

¶2u

¶2u ¶2u

уравнения

2 = a

2 +

(7.1)

¶t

¶x

¶y

при граничных условиях

x =0 = 0,

x = p

= 0,

y =0 = 0,

y =q

= 0

(7.2)

и начальных условиях

= j

(x, y),

¶u

= j

(x, y) .

(7.3)

t =0

¶t

t =0

Будем искать частные решения уравнения (7.1) в виде

u(x, y, t) = T (t)v(x, y),

(7.4)

Подставляя (7.4) в уравнение (7.1), получим

T '' (t)

vxx

+ vyy

= -k

a2T (t)

Отсюда, принимая во внимание граничные условия (7.2), будем иметь

T '' (t) + a2k 2T (t) = 0,

(7.5)

¶2v

+ k 2v = 0,

(7.6)

¶x2

¶y2

x =0 = 0, v

x = p = 0, v

y =0 = 0, v

y =q = 0.

(7.7)

Найдем собственные значения и собственные функции задачи (7.6), (7.7). Положим

							v(x, y) = X (x)Y ( y).	(7.8)
Подставляя (7.8) в уравнение (7.6), получим
Y"		+ k	2	= -	X	''	, откуда получаем два уравнения
	Y	+ k		= -	X		, откуда получаем два уравнения
	Y				X
	X "(x) + k 2 X (x) = 0, Y"( y) + k 2Y ( y) = 0,							(7.9)
				1		2
где			k 2 = k 2			+ k 2 .		(7.10)
					1	2

Общие решения уравнений (7.9) имеют следующий вид:

X (x) = C1 cos k1x + C2 sin k1x; Y ( y) = C3 cos k2 y + C4 sin k2 y. (7.11)

Из граничных условий получаем

X (0) = 0,

X ( p) = 0,

Y (0) = 0,

Y (q) = 0, откуда ясно, что C1 = C3 = 0, и, ес-

ли мы положим C2 = C4 =1, то окажется X (x) = sin k1x,

Y ( y) = sin k2 y,

причем должно быть

sin k1 p = 0,

sin k2q = 0.

(7.12)

Из уравнений (7.12) вытекает, что k1 u k2

имеют бесчисленное множество значений

2,n

(m, n =1,2,3,...). Тогда

1,m

2 ö

ç m

km,n = k1,m + k2,n

= p

÷.

(7.13)

è p

Таким образом, собственным значениям (7.13) соответствуют собственные функции

vmn (x, y) = sin mpx sin npy граничной задачи (7.6), (7.7).

p q

Обращаясь теперь к уравнению (7.5), мы видим, что для каждого собственного значения k 2 = kmn2 его общее решение имеет вид

Tmn (t ) = Amn cos ak mn t + Bmn sin ak mn t,

(7.14)

где Amn , u Bmn -произвольные постоянные.

Таким образом, частные решения уравнения (7.1) имеют вид

(x, y, t) = ( A

cos ak

t + B

sin ak

t) sin

mpx

sin

npy

(m, n =1,2,...).

Чтобы удовлетворить начальным условиям составим ряд

mpx

npy

u(x, y, t) = å ( Amn cos akmnt + Bmn sin akmnt) sin

sin

m,n =1

Если этот ряд равномерно сходится, так же как и ряды, полученные из него двукратным почленным дифференцированием поx,y,t, то сумма его, очевидно, будет удовлетворять уравнению (7.1) и граничным условиям(7.2). Для выполнения начальных условий необходимо, чтобы

mpx

npy

t =0 = j0 (x, y) =

å Amn sin

sin

m, n =1

¶u

mpx

npy

= j1 (x, y) =

å akmn Bmn sin

sin

¶t

t =0

m,n =1

Эти формулы представляют собой разложение заданных функций

j0 (x, y) u j1 (x, y) в двойной ряд Фурье по синусам. Коэффициенты разложений

определяются по формулам

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 7 семестр

#
21.03.2016419.37 Кб49!Фирсов А.Н. (сост.) Уравнения математической физики (учебное пособие для заочников).pdf
#
21.03.2016319.9 Кб30Б2.В3 Математические методы физики.pdf
#
21.03.2016493.24 Кб41Б3.Б8 Теория информационных процессов и систем.pdf
#
21.03.2016551.94 Кб40Б3.В6 Интеллектуальные технологии и представление знаний.pdf
#
21.03.2016541.87 Кб52Б3.ДВ6.1 Основы и системный анализ информационно управляющих процессов.pdf
#
21.03.2016618.63 Кб42Б3.ДВ7.1 Моделирование систем.pdf