Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1304 вуза, 5165 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
Учебные материалы ИКНТ 1-8 семестры / 7 семестр / !Фирсов А.Н. (сост.) Уравнения математической физики (учебное пособие для заочников).pdf
Скачиваний:
49
Добавлен:
21.03.2016
Размер:
419.37 Кб
Скачать
☆
►Содержание►

9

2u

æ

 

 

 

öæ

 

u

 

 

u ö

2

2u

 

2u

2

2u

 

 

 

= çl

 

+ l

2

 

֍l

 

+ l

2

 

÷ = l

 

 

+ 2l l

 

+ l

2

 

 

.

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

2

y

ç

1

x

 

 

֍

1

x

 

÷

1

x

1 2

xh

 

h

 

 

è

 

 

 

h øè

 

 

 

h ø

 

 

 

 

 

 

 

Умножим эти вторые производные соответственно на a, 2b и c и затем их сложим.

Тогда левая часть уравнения ( 2.1 ) примет вид: A

2u

 

+ 2B

2u

+ C

 

2u

, где

x 2

xh

h2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A = a + 2bl + cl2 ,

B = a + b(l + l

2

) + cl l

, C = a +

2bl

2

+ cl2 .

1

1

1

 

 

1

2

 

 

 

 

2

Рассмотрим теперь вспомогательное квадратное

уравнениеcl2 + 2bl + a = 0. Его

корнями являются l

=

- b ±

b2 - ac

 

 

. В зависимости от значений дискриминан-

 

 

 

 

1,2

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

та D = b2 - ac возможны три случая: если в рассматриваемой области b2 - ac > 0,

то уравнение принадлежит к гиперболическому типу; если b2 - ac = 0, то уравне-

ние ( 2.1) параболического типа; если b2 - ac < 0, то уравнение принадлежит эллиптическому типу.

Следовательно, каноническое уравнение гиперболического типа имеет вид

2 z

 

f (x, y, z, z'

 

, z'

 

 

2 z

 

2 z

æ

z

 

z ö

 

=

x

y

), ( или

 

 

-

 

 

= Fça, b, z,

 

,

 

÷, где

 

 

2

 

2

 

 

xy

 

 

 

 

a

 

b

ç

 

 

÷

 

 

 

 

 

 

 

 

 

è

a b ø

a =

x - y

, b =

x + y

); параболического типа -

2 z

= f (x, y, z, z' x , z' y );

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

y 2

 

эллиптического типа -

2 z

+

2 z

= f (x, y, z, z'x , z'y

) .

x2

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В общем случае вводятся новые переменные x = x (x, y), h =h(x, y). x (x, y) и

 

x '

x '

 

 

h(x, y) - дважды непрерывно дифференцируемые функции и

x

y

¹ 0.

h'

h

'

 

 

 

x

 

y

 

Дифференциальное уравнение

нием характеристик уравнения a 2 z

x2

a dy2 - 2b dxdy + c dx2 = 0 называют уравне-

+ 2b

2 z

+ c

2 z

= f (x, y, z,

z

,

z

).

xy

y2

x

y

 

 

 

 

 

Примеры

18. Привести к каноническому виду уравнение x2 2 z + 2xy 2 z + y2 2 z = 0.

x2 xy y2

10

Решение. Здесь a = x2 , b = xy, c = y2 , b2 - ac = x2 y2 - x2 y2 = 0; следовательно, уравнение принадлежит к параболическому типу. Составим уравнение характеристик x2dy2 - 2xydxdy + y2dx2 = 0. В этом случае оба семейства характеристик совпадают. Рассмотрим уравнение xdy = ydx. Разделим переменные и проинтегри-

руем это уравнение

dy

=

dx

или ln

 

y

 

- ln

 

x

 

= ln

 

C

 

, т.е.

 

y

= C. Введем новые пе-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

y

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ременные x =

 

 

, h = y.

h выбираем таким образом,

чтобы выполнялось условие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

×

h

-

x

×

 

h

¹ 0. Вводим новые переменные x и

h. Тогда данное уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

y

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

примет вид

 

 

 

 

 

2 z

 

 

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ.

Данное

 

 

уравнение

 

 

параболического ,

видаего

каноническая

форма

 

2 z

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19.

 

Рассмотрим

уравнение

2u

 

- 2 sin x

2u

- cos2 x

2u

- cos x

u

= 0.

Это

 

x2

 

y2

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xy

 

 

 

 

 

уравнение

гиперболического типа,

так как

 

 

b2 - ac = sin 2 x + cos2 x =1. Состав-

ляем уравнение характеристик

dy2 + 2 sin xdxdy - cos2 xdx2 = 0 или,

дописав в

левой части

этого

 

 

равенства

dxdy - dxdy + sin xdx 2 - sin xdx 2

и

сгруппиро-

вав,

получаем

 

 

 

 

 

(dy + (1 + sin x)dx)(dy - (1 - sin x)dx) = 0. Интегрируя уравне-

ния

 

 

 

dy + (1 + sin x)dx = 0

 

 

и

 

 

dy - (1 - sin x)dx = 0

 

получим

x + y - cos x = C1, x - y + cos x = C2 . Вводим

новые переменные по

формулам

 

x = x + y - cos x, h = x - y + cos x. Тогда данное уравнение в новых пере-

менных приводится к виду

 

2u

= 0.

Положив x = a + b, h = a - b,

приведем

xh

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнение к каноническому виду:

 

2u

-

2u

 

= 0.

 

 

a2

b 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ.

Данное уравнение

гиперболического вида, его каноническая форма

 

2u

-

2u

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 2

b 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20. Привести к каноническому виду уравнения:

в момент t.
u(x, t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

a)

 

2u

- 2x

2u

+ x 2

2u

 

-

2

u

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

xy

y 2

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ.

 

 

 

2u

 

-

 

2u

= 0,

 

 

x =

x2

 

+ y,

 

h = x.

 

 

 

 

 

h2

 

 

x 2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

(1 + x 2 )

2 u

+ (1 + y

2 )

 

2 u

 

+ x

u

+ y

u

= 0.

 

 

 

x 2

 

y 2

 

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2u

 

 

 

 

2u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

).

Ответ.

 

 

+

 

= 0,

 

 

x = ln(x +

 

1 + x2

), h = ln( y +

1 + y2

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

2 z

 

- 4

 

2 z

 

 

- 3

2 z

 

-

2

z

+ 6

z

= 0.

 

 

 

 

 

 

x2

 

xy

y2

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ.

 

2 z

 

 

 

 

-

 

z

= 0,

x = x + y, h = 3x + y.

 

 

 

 

xh

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Свободные колебания струны с закрепленными концами.

Вматематической физике под струной понимают гибкую, упругую нить. Натяжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к

ее профилю. Пусть струна длины l в начальный момент направлена по отрезку оси от 0 до l . Предположим, что концы струны закреплены в точкахx=0 и x=l. Если струну отклонить от ее первоначального положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя положение, придать в начальный момент ее точкам некоторую скорость, или отклонить струну и придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движения - говорят, что струна начнет колебаться. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси OX и в одной плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией , которая дает величину переме-

щения точек струны с абсциссой x

12

Рисунок 1.

Так как мы рассматриваем малые отклонения струны в плоскости(x,u), то будем предполагать, что длина элемента струныÈ M1M 2 равняется ее проекции на ось ОХ, т.е. È M1M 2 = x2 - x1. Также будем предполагать, что натяжение во всех точках струны одинаковое, обозначим его через Т.

Рисунок 2.

Рассмотрим элемент струны MM '. На концах этого элемента, по касательным к струне, действует сила T. Пусть касательные образуют с осью ОХ углыj и j + Dj. Тогда проекция на ось Ou сил, действующих на элемент MM ' будет равна T sin(j + Dj) - T sin j. Так как угол j мал, то можно положить tgj » sin j, и мы будем иметь

T sin(j + Dj) -T sin j » Ttg(j + Dj) -Ttgj = T

é¶u(x + Dx, t)

-

u(x, t) ù

=

ê

 

 

ú

x

x

 

ë

 

û

 

= T

2u(x +qDx, t)

Dx » T

2u(x, t)

Dx, 0

<q <1.

x2

x2

 

 

 

 

Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к эле-

Соседние файлы в папке 7 семестр
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности