Величину Λα называют абсолютным, или обобщённым, отношением правдоподобия. Она важна в теории статистических решений.
Поскольку из (19.4) следует, что
P(s / y) = Λа (1+ Λа ) ,
(19.5)
то можно сделать вывод, что Λα полностью определяет вероятность наличия (и отсутствия) сигнала в реализации.
Величину отношения
Λ = P( y / s) P( y / 0)
(19.6)
называют отношением правдоподобия, которая не зависит от априорных вероятностей P(s) и P(0), часто не известных на практике.
Принятие любого решения сопровождается ошибками. В задачах обнаружения возможны ошибки двух типов. Первая, называемая ошибкой ложной тревоги, возникает тогда, когда при отсутствии сигнала принимается решение «Да» (что сигнал есть). Вторая, - когда при наличии сигнала выдаётся решение «Нет» (сигнал отсутствует). Эту ошибку называют ошибкой пропуска сигнала.
Обозначим событие, заключающееся в принятии решения «Да»,
через γs, а событие, сводящееся к решению «Нет», - через γ0. Тогда вероятности появления ошибок первого и второго типов можно обозначить как P(γs/0)=Pлт и P(γ0/s)=Pпрп , где Pлт – условная вероятность ложной тревоги, Pпрп – условная вероятность пропуска сигнала.
С учётом (19.3), можно определить условную вероятность правильного обнаружения
Pобн =1 – Pпрп
(19.7)
и условную вероятность правильного необнаружения
Pпн = 1 – Pлт .
(19.8)
~ 328 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
Чем меньше значения Pлт и Pпрп, тем выше качество системы обнаружения. В математической статистике величину Pлт называют уровнем значимости, а величину Pобн – мощностью решения.
Безусловные (абсолютные) вероятности правильных и ошибочных решений равны:
P абс = P(0) P
;
Pабс = P(s) P ;
лт
лт
прп
прп
P абс = P(s) P
;
P абс = P(0) P ;
(19.9)
обн
обн
пн
пн
Вероятность появления любой ошибки вне зависимости от ее ха-
рактера
Pошб = Pлтабс +Pпрпабс =P0Pлт+PsPпрп ,
(19.10)
где P0 = P(0), Ps = P(s).
Существует еще одна, более общая (более универсальная) характеристика – так называемый средний риск Ri. Ее находят следующим образом. Вводят плату Пs0 за ошибку типа ложной тревоги (в виде некоторого положительного коэффициента). Положительные последствия правильного необнаружения (т.е. некоторый «выигрыш») оценивают отрицательным коэффициентом (отрицательной «платой») П00. Величину
0 = Пs0Pлт + П00Pпн
(19.11)
в теории статистических решений называют условным риском, соответствующим условию отсутствия сигнала.
Аналогичным образом получаем условный риск, соответствую-
щий присутствию сигнала в У,
ris = П0sPпрп + ПssPобн ,
(19.12)
где П0s – положительный коэффициент, «плата» за ошибку пропуска сигнала;
Пss – отрицательный коэффициент, «выигрыш» за правильное обнаружение.
~ 329 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
Сумму условных рисков, взвешенных с априорными вероятностями Ps и P0, называют средним риском
Ri = P0 ri0 + Ps ris . (19.13)
Очевидно, что из нескольких систем обнаружения лучше та, которая обеспечивает меньший риск Ri.
19.3. Правило выбора решения и критерии его качества
Правило выбора решения предписывает порядок проведения анализа полученной реализации сигнала с помехой и устанавливает, при каком результате анализа должно быть выдано одно из двух альтернативных решений («Да» или «Нет»).
В качестве основы для построения правила выбора решения используются величины Pобн, Pлт, Pошб или Ri. При этом могут использоваться различные критерии качества.
Рассмотрим правило выбора решения, основанное на критерии максимума апостериорной вероятности. Суть правила состоит в том, что из двух решений s или 0 всегда следует выбирать такое, которому соответствует большая величина апостериорной условной вероятности
P(s/y) или P(0/y). При P(s/y) > P(0/y) следует принимать решение s, а в обратном случае – решение 0.
С учётом соотношений раздела 19.2., правило выбора решения сводится к условию:
> P0/Ps
→
s
P?0/Ps
→
0 .
(19.14)
Процедура принятия решения, предписываемая этим правилом, состоит в исчислении из полученной реализации входного сигнала величины отношения правдоподобия и в сравнении его с некоторым порого-
~ 330 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
вым значениям п = P0/Ps. При > п принимается решение
s, а в об-
ратном случае – решение 0.
Полученное правило позволяет минимизировать число ошибочных решений. Его рекомендуется применять в случаях, когда ложная тревога и пропуск сигнала нежелательны в одинаковой степени.
Критерий максимума апостериорной вероятности часто называют критерием Котельникова, применившего его для решения задачи синтеза оптимальных приёмных устройств, или критерием идеального наблюдателя, беспристрастно фиксирующего ошибки любого рода.
Если для выработки правила решения вместо вероятности Pошб используется средний риск Ri и устанавливается критерий достижения минимального значения Ri, называемый критерием Байеса или критерием минимума среднего риска, то правило получается в виде
> п → s
? ? п → ,
(19.15)
где п = P0 (Пs0 - П00)/ Ps (П0s + Пss).
Отличие от правила (19.14) ─ в величине порогового значения п . При П00 = Пss = 0 и Пs0 = П0s = 1 получаем правило (19.14), что сви-
детельствует о его частном случае более общего правила (19.15).
В тех случаях, когда значения априорных вероятностей Ps, P0 и коэффициентов потерь Пij не могут быть определены, применяют критерий максимума правдоподобия. Правило выбора решения при этом критерии записывается в виде
> 1 → s
? ?1 → 0 , (19.17)
~ 331 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
Процедура принятия решения остаётся прежней. Изменяется лишь величина порога. Правило (19.17) является частным случаем правила
(19.14), когда Ps=P0=0,5.
Известен также критерий Неймана-Пирсона. Правило, базирующееся на этом критерии, обеспечивает получение максимальной величины Pобн при заданном уровне Pлт, т.е. при заданном уровне значимости даёт наибольшую мощность решения. Запись правила аналогична (19.14), (19.15), но величина порога п другая, она полностью определяется значениями Pобн и Pлт, которые должна обеспечить система обнаружения.
19.4. Обнаружение методом однократного отсчёта
Все рассмотренные критерии качества приводят, по существу, к одному правилу принятия решения. Оно состоит в определении отношения правдоподобия и сравнении его с пороговым значением п, зависящим от применяемого критерия.
Задачу обработки реализации y(t), включительно до получения от-
ношения правдоподобия можно решить, если априори известны хотя бы некоторые данные о полезном сигнале s(t), вероятностные характери-
стики помехи (t) и характер взаимосвязи между полезным сигналом и помехой. Вначале рассмотрим простейший случай обнаружения при так называемом методе однократного отсчёта. Суть этого метода состоит в том, что в некоторый момент времени ti берётся единственный отсчёт y(ti) = yi реализации входного сигнала. По этому отсчёту необходимо принять решение о наличии или отсутствии полезной составляющей в нём.
Мгновенное значение
yi = si + i.
(19.18)
В отсутствие полезного сигнала si =0. Тогда
P(y/0) = P(yi/0) = P(ξi) = ω(ξi)dξi = ω(yi)dyi,
(19.19)
~ 332 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
где ω(ξ) - одномерная плотность вероятности помехи. Вероятность P(y/s) получения реализации сигнала с помехой сов-
падает с вероятностью получения случайной величины (yi - si), равной величине ξi. Поэтому
Помеху можно считать стационарным нормальным случайным
процессом с нулевым средним и дисперсией σ2. Поэтому
2
exp −( yi − si )
(2σ
2
ω(yi - si) =
)
;
2πσ 2
− y2
exp
i
(2σ
2
ω(yi)
=
)
2πσ 2
;
s
(19.22)
Λ = exp
i
σ
2
(yi −0,5si ) .
Из (19.22) следует, что при известных si и σ2 отношение правдо-
подобия Λ и отсчёт yi реализации связаны между собой однозначно.
Каждому отсчёту yi соответствует вполне определённое значение Λ. Поэтому оказывается достаточным сравнивать отсчёты yi с некоторым порогом, получаемым из (19.22) при Λ = Λп,
yп = (σ 2 ln Λп + 0,5si2 ) .
(19.23)
si
При yi > yп выдаётся решение «Да», при yi < yп – решение «Нет». Возникают два момента, вносящие неопределённость в решение
задачи. Во-первых, с какой частотой следует производить отсчёты? Ведь при слишком редких отсчётах сигнал может быть пропущен. Вовторых, как определить значение si в момент отсчёта? Ведь непосредст-
~ 333 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
венное измерение мгновенного значения si по полученному мгновенно-
му значению yi невозможно из-за наличия случайной величины ξi. Ответ на первый вопрос может быть простой: отсчёты следует
производить непрерывно. В этом случае пропуск сигнала из-за дискретности отсчётов не возможен. Таким образом, сигнал y(t) должен поступать на решающее устройство непрерывно и сравниваться с поро-
гом yп (см. рис.19.1).
y(t)
yп
Да
Да
Нет
Нет
Нет
Если si = a и Λп = 1, то yп = 0,5a. Вероятность
Pлт = P[(yi >yп)/0]= ∞∫ω( y)dy ,
(19.24)
yп
когда y(t) не содержит полезного сигнала.
Вероятность
yп
Pпрп = P[yi <yп)/s] = ∫ω( y)dy ,
(19.25)
−∞
когда y(t) – содержит полезную составляющую.
При известных априорных данных о Ps, P0 и Пij можно получить характеристики обнаружения при использовании любых критериев.
19.5. Корреляционный метод обнаружения
Принятие решения не по одному значению какой-то величины, а по большому числу N значений позволяет получить больший положительный эффект, если различные отсчёты взаимно независимы. Для
~ 334 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
выполнения этого условия отсчёты должны отстоять друг от друга не менее, чем на Δτ - интервал корреляции помехи. Для помехи типа «бе-
лого шума» Δτ где – интервал отсчётов сигнала. В этом случае независимость отсчётов входного сигнала полностью обеспечена. Тогда
N
∏ω(yi − si )
N .
(19.26)
Λ= i=1
∏( yi )
i=1
Для нормальных случайных процессов с нулевым средним и дис-
персией σ2
N
(y
− s
)2
exp ∑
−
i
i
2σ
2
Λ=
i=1
.
(19.27)
N
2
exp
∑
− yi
2
2σ
=
i 1
Преобразования (19.27) сводятся к
N
N
∑si yi
−0,5∑si2
ln Λ = i=1
i=1
2
.
(19.28)
σ
Правило обработки удобнее представить в виде
(ay)N
N
N
= ∑si yi
=σ 2 ln Λ +0,5∑si2
,
(19.29)
i=1
i=1
из которого следует, что при обработке необходимо определить вели-
N
и сравнить ее с порогом, равным
чину ∑si yi
i=1
N
(ay)пргN =σ 2 ln Λп +0,5∑si2
,
(19.30)
i=1
который получается из (19.29) при Λ=Λп.
При (ay)N > (ay)пргN выдаётся решение «Да». Если выборка берёт-
ся на интервале [0 – t], а отсчёты в ней берутся через Δτ , то суммы в (19.29) превращаются в интегралы, а величина σ2Δτ - в спектральную плотность мощности. Поэтому имеем
~ 335 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
t0
t0
∫s(t) y(t)dt
>< ln Λ+0,5 ∫s2 (t)dt ,
(19.31)
0
0
Процедура принятия решения, предписываемая (19.31), состоит в перемножении реализации y(t) на ожидаемый сигнал s(t), интегрировании полученного произведения в пределах от нуля до t0 и сравнении результата с порогом.
Функциональная схема обнаружителя, работающего на основе корреляционного метода, показана на рис.19.2, где П – перемножитель, И – интегратор, ПУ – пороговое устройство.
Да
y(t)
П
И
ПУ
Нет
s(t)
Рис.19.2.
ηп
t0
Интеграл ∫s(t) y(t)dt является мерой взаимной корреляции между
0
реализацией y(t) и полезным сигналом s(t). Поэтому его называют корреляционным интегралом, а описанную выше процедуру обнаружения
– корреляционным методом.
Условные вероятности Pлт и Pпрп определяются по той же методике, что и в случае однократного отсчёта, но с обязательным учётом всех этапов преобразования сигналов и помех в тракте приёмника. Эти преобразования ведут к изменениям законов распределения случайных величин, их математических ожиданий и дисперсий. Примеры анализа реальных приёмных устройств приведены в следующей главе.
Рассмотрим простейший случай, когда передаются разнополярные импульсы, а приём осуществляется методом однократного отсчёта. Помеха распределена по нормальному закону с нулевым средним и дисперсией σ2. Тогда в момент приёма получим
yi = a + ni,
где ni – случайная величина.
Правило приёма: если yi > 0 - фиксируем «1», если yi <0 фиксируем противоположное значение, равное нулю.
При передаче «1» с вероятностью p(0/1) можно получить «0». При передаче нулей можно получить «1» с вероятностью р(1/0).
Общая вероятность ошибочного приёма
рош=р(1)р(0/1)+р(0)р(1/0).
В системах передачи данных р(1)=р(0)=1/2. Поэтому рош=р(0/1)=р(1/0), как в симметричной системе. Условимся, что непрерывно передаются единицы. Тогда рош=р(0/1)=р0.
Плотность распределения входной величины «y» подчиняется нормальному закону со средним «a» и дисперсией σ2
1
e−
( y−a)2
ω( y) =
.
2σ 2
2πσ 2
Вероятность ошибочного приёма
0
1
a
,
(19.32)
p0 = ∫ω( y)dy =
1
2
−Ф
2σ
2
−∞
где Ф(х)- интеграл вероятности, табулированная функция. В случае приёма сигналов более сложной формы необходимо
учитывать результаты преобразования сигналов в элементах приёмника. Такой анализ проведён в следующем разделе на конкретных примерах.
~ 337 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
Глава 20. ПРИМЕРЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ПЭ
20.1. Синтез приёмников непрерывных сигналов
При синтезе приёмников данного типа от них требуется по возможности точнее воспроизвести форму передаваемого сигнала, которая заранее не известна. Небольшие временные задержки и изменения масштаба допускаются.
Классическая постановка этой задачи, сформулированная Н. Винером, заключается в следующем (рис.20.1).
На вход стационарной линейной системы (фильтра) поступает
сумма сигнала с помехой:
y(t)= uс (t)+ uш (t).
(20.1)
Как помеха, так и сигнал считаются стационарными случайными
процессами с нулевыми средними значениями и известными корреляционными функциями Rс (τ ) и Rш (τ ). Если сигнал и помеха взаимно коррелированны, то функция их взаимной корреляции Rсш (τ ) также по-
лагается известной.
Рис.20.1.
Так как фильтр является по условию стационарной линейной системой, то он полностью определяется своей передаточной функцией K (jω) или импульсной переходной функцией η(t), которые, как извест-
но, связаны преобразованием Фурье:
η(t)=
1
∞∫K (jω) e jωt dω
K(jω)= ∞∫η(t) e− jωt dt .
(20.2)
2π −∞
,
−∞
~ 338 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
Для физически реализуемого фильтра должно выполняться усло-
вие
η(t)= 0 при t < 0 ,
поэтому передаточная функция имеет вид
K(jω)= ∞∫η(t) e− jωt dt .
0
Задачей линейного фильтра, наряду с очищением сигнала от помех, может быть также какое-либо его линейное преобразование, например, усиление в a раз. Тогда можно писать, что на выходе фильтра должны получить
h(t)= a uс (t).
Известно, что колебание γ (t) на выходе физически реализуемой линейной системы связано с колебанием y(t) на входе соотношением
γ (t)= ∞∫ y(t −τ ) η(τ )dτ .
0
Поэтому при наличии на входе сигнала с помехой на выходе получим
γ (t)= ∞∫[uс (t −τ )+ uш (t −τ )] η(τ )dτ .
0
Требуемое колебание на выходе фильтра есть h(t). Ошибка в вос-
произведении равна
ε(t)= γ (t)− h(t ).
Средний квадрат этой ошибки равен
ε 2 = [γ (t)− h(t)]2 .
Оптимальным считается фильтр, у которого величина ε 2 получается минимальной. Следовательно, математическая задача сводится к
~ 339 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
отысканию такого вида импульсной переходной характеристики η(t),
при которой величина среднего квадрата ошибки будет минимальна. Эта задача была решена Н. Винером методами вариационного ис-
числения. Было найдено, что искомая характеристика η(t) оптимально-
го фильтра должна являться решением следующего интегрального уравнения:
∞∫Ry (τ − t) η(t)dt = Ryh (τ ) при τ ≥ 0 ,
0
где
Ry (τ )= y(t) y(t +τ ) Ryh (τ )= y(t) h(t +τ )
являются корреляционными функциями, которые полагаются известными.
Для статистически независимых сигналов от помех имеем:
Ryh (τ )= uс (t) h(t +τ ),
R y (τ )= Rс (τ )+ Rш (τ ),
Rс (τ)=uс (t) uс (t +τ), Rш (τ)=uш (t) uш (t +τ).
Если, кроме того, требуется лишь усиление сигнала, то есть h(t +τ )= a uс (t +τ ),
то
R yh (τ )= a Rс (τ ).
Решение интегрального уравнения приводит к следующему выражению для передаточной функции K opt (jω ) оптимального фильтра:
Kopt (jω)=
1
∞
− jωt
∞
Syh (ω)
jωt
dω ,
∫e
dt ∫
e
2π ψ
(jω)
ψ (− jω)
0
−∞
где
~ 340 ~
K (jω)
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
ψ(jω)2 = S y (ω),
аS yh (ω ) и S y (ω ) – энергетические спектры, соответствующие
функциям корреляции R yh (τ ) и R y (τ ), известным по условию.
Оптимальной передаточной функции соответствует минимальная среднеквадратичная ошибка
Если не накладывать условия физической реализуемости, то, как впервые показали Бодэ и Шеннон, передаточная функция оптимального фильтра определяется простым соотношением
Kopt (jω)= S yh((ω)),
S y ω
которое для статистически независимых помех и сигналов принимает вид
K opt (jω)= Sс (ωS)с+(ωS)ш (ω),
где Sс (ω) и Sш (ω) – энергетические спектры сигнала uс (t) и поме-
хи uш (t) соответственно.
В дальнейшем задача оптимальной линейной фильтрации была обобщена на случай нестационарных помех и сигналов. Однако точное решение интегрального уравнения удалось получить только для некоторых специальных видов корреляционных функций. В работах Р.
Калмана получен ряд полезных алгоритмических решений.
Если изменить критерий оптимальности и перейти к поиску передаточной функции фильтра, обеспечивающей максимальное
отношение значения выходного напряжения сигнала в фиксированный
~ 341 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
момент t0 к среднеквадратическому значению выходного напряжения шума, то есть
r
=
uсвых (t0 )
,
max
U ш
где
uсвых (t0 )=
1
∞ K (jω) S(jω) e jωt0 dω ,
2π −∞∫
U ш2 =
N0
∞∫
K(jω)
2 dω ,
uш2 (t)=
2π 0
N0 – спектральная плотность мощности шума,
то, как показали Д. Миддлтон и другие, оптимальное решение примет вид
Kopt (jω)=a S (jω) e− jωt0 ,
где a – произвольный постоянный коэффициент,
а S (jω)= S(− jω) – комплексно-сопряженный спектр сигнала.
При этом
1
∞
S(jω)
2
2Q
,
2
−∞∫
rmax =
dω =
π N0
N0
где Q = ∞∫uс2 (t)dt =
1
∞∫
S(jω)
2 dω – энергия сигнала на входе фильт-
−∞
2π −∞
ра.
Из приведённых соотношений следует, что оптимальной передаточной функцией является:
K(jω) =a S(jω),
то есть частотная характеристика оптимального фильтра совпадает (с точностью до постоянного множителя) с амплитудным спектром сигнала. Поэтому такой фильтр часто называют согласованным (с сигналом) фильтром.
~ 342 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
20.2. Синтез приёмников дискретных сигналов
Задача решается на основе теории потенциальной помехоустойчивости В.А. Котельникова, опубликованной в 1946 г.
Пусть на вход приёмника поступает сумма сигнала с помехой y(t)= sx (t)+ξ(t).
Единственным неизвестным параметром сигнала sx (t) является переносимое им сообщение x , принимающее в бинарных системах, случайным образом, одно из двух значений, например, 0 и 1. Априорные вероятности появления значений 0 и 1, то есть P(x), x =1;0 , полага-
ются известными.
Помеха ξ(t) представляет собой нормальный белый шум с нуле-
вым средним и известной дисперсией σ 02 (или спектральной плотно-
стью мощности N0 ).
Входной сигнал по теореме Котельникова может быть представ-
лен своими отсчётами, следующими через интервал t =
1
, где Fm –
2F
m
максимальная частота в спектре сигнала. Число отсчётов в одной реализации сигнала равно
n = Tt = 2FmT ,
где T – длительность битовых реализаций.
Поскольку интервал отсчётов t гораздо больше интервала корреляции τ помех, то отсчёты помех, совпадающие по времени с отсчётами сигнала, будут взаимно независимы. Тогда многомерная плотность распределения входной реализации помех может быть представлена как произведение одномерных плотностей, то есть
n
1
1
T
2
w(ξ )= w(ξ1 ,ξ2 ,K,ξn )= ∏w(ξi )=
exp −
∫
ξ
(t)dt ,
=
(
2
)
N
i 1
2πσ 0
0
0
~ 343 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
При приёме дискретных сообщений изменение формы сигнала еще не свидетельствует об искажении переносимого им сообщения. Поэтому от приёмника можно требовать достижения более обобщенных показателей, нежели сохранение формы сигнала, например, достижения минимальной вероятности искажения сообщений.
Если передаётся реализация сообщения xi , а на приёме будет по-
лучена реализация входного сигнала y j , то от приёмника можно потре-
бовать лишь вычисления апостериорных вероятностей P(xi
y j ) присут-
ствия сообщения xi в реализации y j
и принятия решения γ
из условия
γ = maxP(xi
y j ).
i, j
Для бинарных систем приёмник должен принимать решение γ =1,
если
P(x1 y j )> P(x0 y j ),
и принимать решение γ = 0 , если неравенство не выполняется.
Непосредственно вычислить вероятности P(xi
y j ) не представля-
ется возможным.
Используя известное равенство
P(xi , y j )= P(xi )P(y j xi )= P(y j )P(xi y j ),
переходят к критерию
γ = max
P(xi
)
P(y j xi ),
P(y j
i, j
)
в котором P(xi ) известна априори, а P(y j )= const
для анализируе-
мой ситуации. Поэтому можно говорить о критерии
γ =
max
P(y j xi ),
i,при j=const
что равносильно поиску максимальной вероятности реализации помехи, равной разности [y(t)− ux (t)], то есть переходим к критерию
~ 344 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
γ = max P[y(t)− ui (t)].
i
При известной плотности распределения помех приёмник принимает решение в пользу сообщения x =1 , если выполняется неравенство:
1
T
2
1
T
2
exp −
∫[y(t)− s1
(t)]
dt
≥ exp −
∫
[y(t)− s0 (t)]
dt
,
N0
N0
0
0
или тождественное ему неравенство
T∫[y(t)− s1 (t)]2 dt < T∫[y(t)− s0 (t)]2 dt .
(20.3)
0
0
В противном случае принимается решение в пользу сообщения
x = 0 .
Обобщенная схема приёмника показана на рис. 20.2.
Рис. 20.2
20.3. Анализ помехоустойчивости приёмников дискретных сигналов
А. Приёмник фазоманипулированных сигналов.
При фазовой манипуляции с разносом фаз на 180° сигналы s0 (t)= −s1 (t). Тогда условие (20.3) переходит к виду
T∫ y(t) s1 (t)dt > 0 ,
(20.4)
0
когда принимается решение x =1 . Схема приемника показана на рис. 20.3.
~ 345 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
Рис. 20.3
Сигнал s01 (t) на рисунке означает ожидаемую реализацию сигнала s1 (t ).
Если бы разнос фаз был равен 90° , то сигналы s1 (t ) и s0 (t) были бы взаимно ортогональны, например, s1 (t)= a cosωt , s0 (t)= a sinω t . Тогда схема приёмника имела бы вид, представленный на рис.20.4.
Рис. 20.4
Анализ помехоустойчивости данных приёмников проведём в предположении, что априорные вероятности P(1)= P(0), сигналы ис-
пользуются в виде гармонических функций с одинаковыми длительностями, амплитудами и частотами. Различие только в начальных фазах. Момент прихода сигналов в пункт приёма известен точно.
Системы симметричные, поэтому Pош = P(10)= P(01)= P0 , где P(10)
–вероятность принять "1", когда передаётся "0", а P(01) – наоборот.
~346 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
Чтобы определить помехоустойчивость приёмника, следует предположить, что непрерывно передаются, например, символы "1", и определить вероятность P(01).
Пусть s1 (t)= a sin ωt , реализована схема по рис.20.3, алгоритм об-
работки сигнала до схемы сравнения сводится к вычислению интеграла
ζ = T∫ y(t) s01 (t)dt ,
0
где s01 (t)= a0 sinω t – ожидаемый сигнал, имеющий амплитуду a0 ,
отличающуюся от амплитуды полезной составляющей входного сигнала из-за некоторого затухания в среде распространения.
После подстановки известных данных и простых преобразований находим, что
ζ = Q +ζ 0 ,
где Q = T∫aa0 sin2 ω tdt =
aa0
T – энергия полезной составляющей сиг-
0
2
нала; ζ0 = T∫uш (t) a0 sinω tdt
– случайная величина, распределенная по
0
нормальному закону с нулевым средним и дисперсией σζ
=
a02
σ 02T .
2
На выходе схемы сравнения ошибка наступит в случаях, когда бу-
дет выполнено неравенство ζ ≤ 0. Вероятность такого события
0
1
Q
P0 = ∫
w(ζ)dζ =
− Φ
,
(20.5)
1
2
2
−∞
2σζ
где ω(ζ) – плотность распределения величины ζ, Ф(·) – интеграл вероятности, табулированная функция.
Величина
h1
=
Q
=
PcT
,
(20.6)
2σζ2
σ02
~ 347 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
где Pc = a2 - мощность гармонического колебания (сигнала) на входе
2
приёмника;
Т– длительность сигнала;
σ02 - дисперсия помехи на входе приёмника.
Вывод: помехоустойчивость приёмника зависит от соотношения энергий сигнала и помехи.
При переходе к анализу схемы по рис. 20.4 получаем
ζ1 = Q + ζ0 ,
ζ2 = ζˆ 0 , т.к. s1 (t) и s0 (t) взаимно ортогональны,
где
ˆ
- случайная величина, независимая с величиной ζ0 , но имею-
ζ0
щая тот же закон распределения, среднее значение и диспер-
сию.
В итоге на схему сравнения поступают
ˆ
(20.7)
Q + ζ0 > ζ0 .
Если неравенство нарушается, то возникает ошибка. Вероятность
такого события
P
= 1 [1 − Φ(h )],
(20.8)
îø
2
2
где
h =
Q
=
h1
.
2
4σζ2
2
Из (20.8) следует, что помехоустойчивость схемы с ортогональными сигналами, по сравнению со схемой приёма противоположных сигналов, эквивалентна понижению энергии сигнала в два раза.
Энергию полезного сигнала можно менять, изменяя амплитуду, длительность, число гармоник сигнала.
~ 348 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
Б. Приёмник частотно-манипулированных сигналов.
Частотная манипуляция применяется, когда сложно обеспечить стабильность фазы сигнала. Это обстоятельство приводит к необходимости обработки двух координат сигналов на каждой частоте по схеме
∫
X
V1
a0 sin ω1t
∑
∫
ˆ
a0 cos ω1t
X
γ
V1 ≥V2
Y
γ
∫
V1 <V2
a0 sin ω2t
∑
V2
∫
ˆ
Y
a0 cos ω2t
рис. 20.5.
Рис.20.5
Пусть на вход приёмника приходит сигнал с неопределённой фазой φ в сумме с помехой
y(t) = a sin( w1t + ϕ) + ζ(t) .
Тогда в верхней ветви преобразования имеем
X = T∫ y(t)a0 sin w1tdt 2 = [Q cosϕ + ζx ]2 ,
0
где ζx - нормальная случайная величина с нулевым средним значением
и дисперсией σ2x
a2
σ02T .
=
0
2
Во второй ветви
ˆ
ˆ
2
,
X = [Qsin ϕ + ζx ]
где ζˆ x - независимая с ζx случайная величина с теми же характеристи-
ками.
Втретьей и четвертой ветвях получаем соответственно
~349 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
Y= [ζy ]2 ,
ˆ= [ζˆ ]2
Y y ,
где случайные величины ζy и ζˆ y взаимно независимы и независимы с
ζx и ζˆ x , но имеют одинаковые с ними характеристики.
На схему сравнения поступят величины
V1 = (Q cos ϕ + ζx )2 + (Qsin ϕ + ζˆ x )2 ,
V2 = ζ2y + ζˆ 2y ,
которые представляют собой квадраты длин радиус-векторов точек с независимыми и распределёнными нормально координатами, с одина-
ковыми дисперсиями σζ2 , но различными средними значениями.
Известно, что при нулевых средних значениях длины векторов распределены по закону Рэлея. Поэтому плотность распределения слу-
чайной величины v2 =
V2
равна
v2
2
w(v
) =
exp −
v2
при v
> 0.
2
2
σ2
2σ2
ζ
ζ
Если средние значения координат равны Qcosφ и Qsinφ соответственно, то длина вектора будет распределена по обобщённому закону Рэлея. Следовательно, случайная величина v1 = V1 имеет распределе-
ние
v1
2
2
v1Q
w(v ) =
exp −
v1 Q
I
при v
> 0,
0
1
1
σ2
2σ2
σ2
ζ
ζ
ζ
где Q = Q2 cos2 ϕ + Q2 sin 2 ϕ,
I0 () - Бесселева функция мнимого аргумента нулевого порядка.
Если передаётся символ “1”, то ошибка возникает при нарушении неравенства V1 > V2 . Вероятность такого события равна
~ 350 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
∞
v2
Pîø = ∫
∫w(v1 )dv1
w(v2 )dv2 .
0
0
Вычисления
интегралов
приводят к искомому результат
1
−
h2
P = P
=
e
2 ,
0
îø
2
(20.9)
σζ2
a2
σ02T ,
Q
2
=
0
где
h
2 =
,
2
2σζ2
aa
Q =
0
T.
2
Видно, что характер зависимости между параметрами системы и достигаемой помехоустойчивостью совсем иной, чем в схемах с фазовой манипуляцией.
20.4. Анализ алгоритмов обработки сигналов, принимаемых по параллельным каналам
Чтобы обеспечить высокие требования к помехоустойчивости данных, нередко используется метод передачи одной и той же информации по параллельным каналам, разнесённым в пространстве, по частоте, по времени или по раздельным физическим линиям. В пункте приёма идет совместная обработка всех принятых реализаций сигналов с целью формирования единого решения о принятом символе.
Вариантов обработки может быть несколько:
1)простое суммирование или весовое суммирование сигналов, а потом обработка, как при одноканальном приёме;
2)автоматический выбор канала лучшего качества и приём данных из него;
~351 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
3)обработка сигналов раздельная по каждому каналу, вплоть до принятия решения, а потом мажоритарная обработка результатов для принятия обобщённого решения и другие варианты.
Для анализа выбираем два варианта: оптимальное весовое суммирование и мажоритарную обработку.
Алгоритмы оптимального весового суммирования.
В них с большим весом суммируют сигналы из каналов лучшего качества. Оптимальным считается вес, равный отношению амплитуды полезной составляющей входного сигнала к среднему квадратичному отклонению помех в данном канале.
Для упрощения рассмотрим систему из трёх независимых параллельных каналов одинакового качества. Суммировать с пользой можно только когерентные сигналы. Тогда энергетика системы возрастает пропорционально числу суммируемых каналов. Если сигналы противофазны, то они подавляют друг друга.
Алгоритмы мажоритарной обработки.
Они не требуют усилий по фазированию сигналов, просты в реализации и дают хороший эффект. Пусть мы имеем три параллельных канала с частотной манипуляцией, в каждом из которых обработка доведена до принятия решения относительно символов “1” и “0”. При совместной обработке обобщённое решение принимается по большинству решений в отдельных каналах.
Пусть вероятность ошибочного решения в отдельном канале оценивается величиной P0 . При совместном решении также может возник-
нуть ошибка, если она присутствует в большинстве каналов. Вероятность такого события равна
Pîø = P2 (3) + P3 (3) ,
где Pν (m) - вероятность наличия ошибок в υ каналах в системе из m ка-
налов.
~ 352 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
В системах с независимыми ошибками
Pν (m) = Cmν P0ν (1 − P0 )m−ν - формула Бернулли. В итоге имеем:
P = 3P2
(1 −
2 P ) ≈ 3P2
,
îø
0
3 0
0
из чего следует, что метод весьма существенно понижает вероятность ошибок.
20.5. Анализ системы передачи данных с решающей обратной связью
Каналы с решающей обратной связью (РОС) используются в системах обмена данными часто и их анализ имеет практическое значение. В них применяются методы помехоустойчивого кодирования данных, позволяющие в пункте приема обнаруживать ошибки и исправлять их. При этом часть обнаруженных ошибок может быть исправлена сразу приёмником, а другая часть исправляется путём повторных передач. Это приводит к дополнительным затратам времени на передачу, что должно учитываться при системном анализе. Какая-то часть ошибок не поддаётся обнаружению. Она определяет итоговую вероятность ошибочного приёма данных.
Алгоритмы реализации метода решающей обратной связи могут быть различны. Для анализа выбираем наиболее простой из них в реализации, когда передающая сторона многократно передаёт одно и то же сообщение до полного исправления всех обнаруженных ошибок. Подобный подход имеет место в системах оповещения о чрезвычайных ситуациях, в которых очень высока цена временных потерь на доставку данных получателям.
~ 353 ~
n = k + r
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
Рассматриваем случай аддитивных помех типа белого шума, распределенных по нормальному закону с нулевым средним и дисперсией
σ0 2 . Манипуляция сигналов – частотная или фазовая с противополож-
ными сигналами. В обоих случаях достигаемая вероятность ошибочного приёма равна P0 .
Передаются формализованные сообщения, состоящие из k бинарных информационных символов. Они подвергаются помехоустойчивому кодированию, что ведёт к добавлению r проверочных символов. В итоге блок (пакет) данных, несущих информацию об одном сообщении, будет содержать символов. Применяются циклические коды БЧХ с производящим полиномом g(x) . Анализируем вариан-
ты с
g1 (x) =1+ x + x3
для кода (7, 4) и
g2 (x) =1+ x + x4
+ x6 + x8 для кода (19, 11).
Скорость передачи данных равна vМ =2400 Бод.
Применяется синхронная передача данных, в которой определены моменты прихода сообщений в пункт приёма.
Символы блоков данных, поступающих на устройство декодирования приёмника, могут быть искажены. Искажения в различных разрядах кодовой комбинации взаимно независимы и равновероятны. Вероятность возникновения ν ошибок в блоке из n разрядов оценивается по формуле Бернулли
Pν (n) = C νn P0ν (1 − P0 ) n −ν .
Вероятность правильного приёма блока данных
Pпрв = P0 (n) = (1−P0 )n .
Вероятность наличия хотя бы одной ошибки в блоке
Pош = 1 − Pпрв .
~ 354 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
Множество Rобн сочетаний ошибок (при ν Rобн ) коды обнаружи-
вают, но исправляют только одиночные ошибки. Вероятность исправляемых блоков
Pиспр = P1(n) = nP0 (1−P0 )n−1 .
Остальные обнаруженные ошибки исправляются в результате многократных повторов передачи. В результате этих процедур в число безошибочных отойдут блоки:
-не имеющие искажений;
-с одиночными искажениями, которые будут исправлены при декодировании;
-с числом искажений ν Rобн , которые исправляются по обрат-
ному каналу.
Остальные блоки будут ошибочны. Их вероятность
Pош = 1 − Pпрв − Pиспр − Pобн = Pнобн .
Временные затраты на доведение сообщения до получателя складываются из затрат на передачу блока при однократной передаче и затрат, связанных с многократными повторами.
В общем случае
Тср= Тбл + (Тбл+Тобр.св.)N,
где N – среднее число повторных передач;
Tобр.св. - время, затрачиваемое на организацию нового повтора;
Tбл = nTэл = vn ;
M
vM - скорость манипуляции;
Среднее число повторных передач
N =
, где P=Pобн.ош..
k=0
~ 355 ~
vМЭ .
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
В этой системе следует учитывать два основных показателя качества: вероятность ошибочного приёма бита данных и среднее время на передачу одного сообщения.
Поскольку в блоке данных не все символы несут полезную информацию, целесообразно перейти к учёту переданного количества информации, а не просто общего числа символов. Для этого используется обобщенный показатель, оценивающий пропускную способность канала
C = vМЭ I КИС = vМЭ[1+ PЭ log PЭ + (1− PЭ ) log(1− PЭ )],
где
I КИС
- количество информации, передаваемое по каналу од-
ним информационным символом;
vМЭ
=
k
- эквивалентная скорость передачи информационных
Tср
символов, она существенно ниже скорости манипуляции;
При изменении параметров сигналов и методов манипуляции будут меняться значения вероятностей P0 . При смене алгоритмов кодиро-
вания (производящих полиномов) будут меняться мощности множеств обнаруживаемых и исправляемых сочетаний ошибок, что отразится на величинах PЭ и
Пропускная способность учитывает количество полезной информации, переданной в единицу времени по данному каналу. Пользователь системой вправе установить свою шкалу ценностей на временные затраты и достоверность данных. Это будут его приоритеты, его субъективные весовые коэффициенты важности объективных показателей качества системы.
~ 356 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
20.6. Анализ системы обмена данными с комплексным УЗО
Система отличается от рассмотренного канала с решающей обратной связью повышенными требованиями к временным и точностным показателям. В то же время используются радиоканалы с пониженным качеством. Всё это требует применения комплекса мер для обеспечения высокой достоверности доводимых до получателей сообщений. Поэтому формируются устройства защиты от ошибок (УЗО) комплексного типа.
Передающее устройство системы формирует пакет данных по следующему алгоритму:
А. От источника данных поступает информационная последовательность, состоящая из k символов.
Б. Она подвергается помехоустойчивому кодированию в соответствии с принятым кодом, что ведёт к добавлению r дополнительных символов.
В. Полученная n-разрядная (n=k+r) кодовая комбинация повторяется три раза с целью реализации метода мажоритарной обработки на приёмной стороне.
Г. На полученную последовательность из 3n символов накладывается по модулю 2 псевдослучайная последовательность (ПСП) от специального генератора случайных чисел. Эта операция помогает на приёмной стороне более точно определять момент прихода пакета, что будет показано при описании алгоритмов обработки сигналов. Генератор ПСП при каждом включении начинает выдавать одну и ту же последовательность.
Д. Результат суммирования по m2 выдаётся в модулятор для модулирования несущего колебания.
~ 357 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
На приёмной стороне все символы сигнала проходят последовательно этапы усиления, фильтрации и демодуляции. Результат демодуляции в виде принятой последовательности из единиц и нулей поступает в регистр Рr (рис 20.6) схемы обработки.
Рис.20.6
Входные и выходные символы регистра продвигаются со скоростью передачи данных, а обработка данных осуществляется во много раз быстрее, чтобы за один такт входных данных схема обработки успела осуществить все этапы обработки сигнала.
Всхеме обработки реализованы следующие этапы:
1.Снятие ПСП.
На принятую последовательность символов накладывается по модулю 2 ПСП от такого же генератора ПСП, какой был на передающей стороне. В результате этой операции будет снята ПСП, наложенная на передающей стороне, если момент начала обработки совпал с моментом прихода пакета.
Если момент начала обработки будет сдвинут относительно момента прихода пакета, то снятие ПСП произойдёт с большим числом ошибок, что будет обнаружено на этапе мажоритарной обработки при подсчёте числа несовпадений.
2. Мажоритарная обработка.
Полученная после снятия ПСП кодовая комбинация делится на три равные части, которые поразрядно сравниваются и по большинству символов формируется итоговая кодовая комбинация.
~ 358 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
3. Подсчёт числа несовпадений.
При поразрядном сравнении трёх повторов пришедшего в пакете сообщения отмечаются те разряды, в которых не все символы одинаковы. Подсчитывается общее число таких несовпадений и сравнивается полученный результат Kv с некоторым пороговым числом Кпрг. Если окажется, что Кv > Кпрг, то полученный пакет сбрасывается и больше не обрабатывается, а устройство переходит на обработку кодовой комбинации, поступившей на следующем такте приёма пакета. Если Кv < Кпрг, то итоговая n-разрядная кодовая комбинация выдаётся на устройство декодирования БЧХ-кода.
4. Декодирование помехоустойчивого кода.
Свойства кода и алгоритм декодирования определяются производящим полиномом.Часть обнаруженных ошибок будет исправлена при декодировании, а другая часть будет исправлена при повторных передачах. При обнаружении ошибок, которые не поддаются исправлению кодом БЧХ, кодограмма сбрасывается и дальше не обрабатывается. Если ошибки не обнаружены, результат декодирования выдаётся получателю.
Анализ качества обработки отдельных символов проведён нами в предыдущих примерах. Обобщенные показатели этих этапов:
а) длительность Тэл символа, которая определяется скоростью манипуляции и структурой сигнала;
б) вероятность Р0 ошибочного приема символа.
В данном примере сосредоточим усилия на анализе качества обработки пакета в целом, начиная с этапа снятия ПСП и заканчивая принятием решения о судьбе реализации сигнала.
Процесс снятия ПСП состоит в том, чтобы с началом очередного цикла обработки запустить генератор ПСП и наложить полученную по-
~ 359 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
следовательность по модулю 2 на входную последовательность символов.
После операции снятия ПСП символы пакета делятся на 3 группы и поразрядно сравниваются. При этом решаются две задачи одновременно:
а) по большинству символов формируется результат мажоритарной обработки; б) помечаются разряды, в которых не все символы одинаковы, то
есть ставятся метки несовпадений.
Если окажется, что число меток несовпадения Кv больше порогового числа их Кпрг , то результат обработки уничтожается и устройство переходит к следующему циклу обработки.
Если Кv≤Кпрг, то результат мажоритарной обработки передаётся на этап декодирования помехоустойчивого кода.
Поскольку Кv - случайная величина, распределенная по некоторому закону w(Кv), то могут возникнуть следующие ситуации:
I. Начало пакета совпадает с началом обработки. Тогда возникают варианты:
1)Кv≤Кпрг - правильно определили начало пакета;
2)Кv>Кпрг - ошиблись в определении начала пакета.
II. Начало пакета не совпадает с началом обработки. При этом возможны варианты:
1)Кv≤Кпрг - ложно определили начало пакета,
2)Кv>Кпрг -правильно определили, что этот момент не является началом пакета.
При мажоритарной обработке трёх повторов ошибка в синтезированной кодовой комбинации будет тогда, когда искажения имеются в двух или во всех трёх повторах. Вероятность подобного события
где А2 - событие, состоящее в том, что анализируемый разряд в i- ом повторе принят правильно;
А2 - событие, противоположное событию Аi;
Р(А1,А2,А3) - вероятность совместного выполнения трёх событий. Если в канале действует помеха в виде белого шума, то качество
приёма всех повторов одинаково:
Р01=Р02=Р03=Р0.
Ошибка в символе синтезированной кодовой комбинации будет
равна
Р0.мж=3(Р0)2(1-Р0)+(Р0)3 3(Р0)2.
Если на какую-то часть пакета будет наложена часть пакета другого абонента, то в поражённой части пакета половина символов будет искажена, т.е. Р0= ½ . Тогда качество синтезированной кодовой комбинации будет низкое. Например, если Р01= ½, Р02=Р03=Р0 , то
Для упрощения анализа условимся, что при наложении пакетов
Р01=Р02=Р03=½.
Тогда Р0,мж = 4 18 = 12 .
Подсчёт числа несовпадений КV помогает определить моменты наложения пакетов (конфликты пакетов).
Вероятность появления несовпадения АН
РН = Р(АН ) =1−Р(А1, А2 , А3 ) −Р(
А1
,
А2
,
А3
) .
В стационарном
режиме работы
без конфликтов пакетов
Р01=Р02=Р03=Р0.
Тогда
Рн=1-(1-Р0)3-(Р0)3
3Р0, так как Р0
1.
В условиях конфликтов пакетов
Р =1-(1
2)3-(1 2)3=3
4.
Режимн
⁄снятия⁄ПСП
⁄при несовпадении момента прихода пакета с
началом обработки по вероятностным характеристикам аналогичен условию конфликта пакетов. Поэтому следует считать, что в режиме (1) плотность распределения w1(Кv) числа несовпадений определяется из условия, что Р`Н=3·Р0 а в режиме (2) плотность w11(Кv) определяется из
условия, что РН′′ = 34 .
Вероятность появления Кv несовпадений в кодограмме из n разрядов оценивается по формуле Бернулли
РKv =(Cn )Kv (Pн)Kv (1−Рн)n−Kv ,
При достаточно большой величине n (больше 10) формула Бернулли аппроксимируется нормальным законом с математическим ожи-
данием Мv=n·PH и дисперсией (σV )2 =n PH (1−PH ). Таким образом, при-
нимаем, что плотности распределения числа несовпадений подчиняются нормальному закону с характеристиками:
~ 362 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
w(Kv ) → N(n 3 P0 , n 3 P0 (1 − P0 )) ,
3
3
1
w(Kv ) → N n
, n
.
4
4
4
На рис.20.7. представлены эти зависимости.
Рис.20.7.
Чтобы определить пороговое число Кпрг поступают следующим образом. От величины МvI откладывают вправо величину 3 а от вели-
чины МvII - влево 3 , соответствующие своим законам распределения. Оставшийся промежуток l делят пополам . Это и будет пороговое
число Кпрг. На рисунке оно равно примерно 3.
При вычислении характеристик обнаружения пакетов вместо интегралов можно пользоваться суммами:
Кпрг
Р11 = ∑(Cn )i (Pn′)i (1 − Pн′)n−i ,
i=0
n
Р12 = ∑(Cn )i (Pn′)i (1− Pн′)n−i ,
Кпрг
Кпрг
Р111 = ∑(Cn )i (Pn′′)i (1− Pн′′)n−i ,
i=0
n
Р112 = ∑(Cn )i (Pn′′)i (1− Pн′′)n−i .
Кпрг
~ 363 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
Этап обнаружения и исправления ошибок.
Синтезированная на этапе мажоритарной обработки кодограмма передаётся на декодирование помехоустойчивого кода, если число несовпадений было меньше порогового числа.
В соответствии со свойствами применяемого кода часть ошибок будет обнаружена и исправлена, другая часть только обнаружена, а третья частьвообще не обнаружена. Искажения в различных разрядах кодовой комбинации взаимно независимы и равновероятны. Вероятность возникновения υ ошибочных разрядов в кодовой комбинации из n разрядов оценивается по формуле Бернулли
Рv = (Cm )v (Pош )v (1 − Рош )n −v ,
где Рош=3(Р0)2 - вероятность ошибки в одном разряде (в нашем случае). Вероятность правильного приёма пакета
Рпрв.=(1-Рош)n.
Вероятность наличия хотя бы одной ошибки в пакете
Рош = 1 – Рпрв .
Используемый (n,k) – код позволяет обнаруживать и исправлять некоторое множество Rиспр сочетаний ошибок, а другое множество Rобн сочетаний ошибок только обнаруживается, а исправляется по системе РОС. Оставшееся множество Rнеобн сочетаний ошибок не обнаруживаются. Они определяют вероятность приема искажённых пакетов
Рискж = ∑Рυ (n) .
υ Rиспр
Вероятность исправления пакетов
Риспр = ∑Рυ (n) .
υ Rиспр
Вероятность обнаруженных ошибочных пакетов (но не исправленных кодом)
Робн = ∑Рυ (n) .
υ Rобн
~ 364 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
Должно выполняться условие:
1=Рпрв+Риспр+Робн+Рискж.
Применяемые методы обнаружения и исправления ошибок приводят к тому, что интегральная вероятность правильного приём пакета будет равна
Рпрв.инт=Рпрв+Риспр+Робн.
В некоторых пособиях указывается упрощённый метод анализа помехоустойчивости кодов, когда вводится довольно грубое допущение, что все сочетания ошибок равновероятны. При этом вся сумма ошибочных исходов делится на возможное число их. В итоге, вероятность ложного обнаружения пакета на этапе кодирования подсчитывается по формуле:
Рлжк = [1−(1− Рош )n ]2n1−k .
А вероятность пропуска пакета
n
1
Рпрп
= [1−(1− Рош )
] 1
−
.
к
2n−k
Этими формулами можно пользоваться только для прикидочных расчётов.
Все приведенные формулы оценивают вероятности правильного или ошибочного приёма пакета в целом. Для пересчёта достигнутого результата в помехоустойчивости на один разряд вводится понятие эквивалентной вероятности ошибочного приёма разряда
Р0,экв =1−k 1− Рискж .
Характеристики обнаружения пакета в целом
Анализ этапов обработки сигнала показал, что пакет может быть забракован и отброшен с вероятностью Рбрк или выделен и отправлен
~ 365 ~
= 1 − Р
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
получателю с вероятностью Рпрм. Браковка обрабатываемого пакета может произойти на двух этапах:
1)при мажоритарной обработке и подсчёте числа несовпадений, если число несовпадений превысит установленный порог;
2)если обнаружится неисправимая ошибка при декодировании помехоустойчивого кода.
Вероятности этих событий существенно зависят от совпадения или несовпадения моментов прихода пакета с началом обработки его. Как показано ранее, при совпадении моментов прихода пакета с началом обработки его вероятность того, что пакет не будет отброшен, равна
РI ,прм.мж = ∫0KПРГ w1 (KV )dKV ,
а вероятность, того что он будет отброшен, равна
РI ,брк.мж =1 − РI ,прм.мж .
Если моменты прихода пакета не совпадают с моментами начала обработки их хотя бы на один разряд, эти вероятности определяются по формулам
РII ,прм.мж = ∫0KПРГ w11(KV )dKV ,
РII ,брк. мж = 1 − РII ,прм. мж .
На этапе декодирования помехоустойчивого кода пакет бракуется с вероятностью
PI ,брк.цк = ∑РV (n) ,
υ Rобн
при условии, что вероятность искажения одного символа в пакете соответствует случаю совпадения моментов прихода и обработки пакета. Вероятность противоположного события равна
РI ,прм.цк I ,брк.цк .
~ 366 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
Если моменты прихода пакета не совпадают с моментом начала их обработки, то соответствующие вероятности определяются по формулам
РII ,брк.цк = ∑Рυ (n) ,
υ Rобн
РII ,прм.цк =1 − РII ,брк.цк ,
при условии, что вероятность искажения любого символа в пакете должна соответствовать случаю несовпадения моментов прихода с началом обработки пакетов.
Пакет будет отброшен, если хотя бы на одном этапе он будет забракован. Поэтому вероятность выдачи пакета получателю для случая совпадения моментов прихода и обработки равна
РI ,прм = РI ,прп. мж РI ,прп.цк ,
адля случаев несовпадения –
РII ,прм = РII ,прп. мж РII ,прп.цк .
Вероятность браковки пакетов:
РI ,брк = 1 − РI ,прм ,
РII ,брк = 1 − РII ,прм .
Вероятность выдачи получателю ошибочного пакета определяется случаями:
1)когда при определении моментов прихода и обработки пакетов не будет обнаружена ошибка ни на этапе подсчёта числа несовпадений, ни при декодировании помехоустойчивого кода, хотя в действительности она присутствует;
2)когда выдаётся пакет получателю при несовпадении моментов прихода и обработки пакетов.
Она вычисляется по формуле
Рош.прм= β РI,прм Рискж+(1-β) РII,прм ,
~367 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
где β- вероятность совпадения моментов прихода и обработки па-
кета, она равна 13n , т.к. при используемом алгоритме обработки совпа-
дение бывает один раз на пакет.
Затраты времени на передачу пакета определяются с учётом следующих данных:
-скорости передачи информации;
-числа символов в пакете;
-среднего числа повторений пакета;
-среднего времени ожидания в очереди.
Эти затраты определены при анализе канала с РОС.
Глава 21. ОСОБЕННОСТИ АНАЛИЗА ВПЭ
21.1. Характеристика ВПЭ
Виртуальные преобразующие элементы (ВПЭ) реализуют заданный процесс (алгоритм обработки) программными средствами. Основным поставщиком их являются универсальные ЭВМ. В специализированных устройствах программно пока реализуется сравнительно малое число ВПЭ. Но просматривается тенденция применения их для решения многих прикладных задач. Например, в локальных сетях и на крупных узлах связи на них возлагаются задачи управления информационными потоками, перекодирования, обнаружения ошибок, засекречивания и т.п. Правда, и в этих приложениях поставщиками (банком) разнообразных ВПЭ чаще всего выступают ЭВМ (в силу своей универсальности, компактности, высокой производительности и надёжности). При сис-
~ 368 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
темном анализе приходится учитывать не только конкретную программу реализации информационного процесса (или его части), но и свойства самой ЭВМ, поскольку показатели качества ВПЭ зависят от следующих основных компонентов ЭВМ:
=элементной базы, из которой формируется ВПЭ;
=системы управления процессом формирования ВПЭ;
=программ, которые запускают и сопровождают процесс реализации ВПЭ;
=языка программирования и д.р.
Недостаточно оценивать программы только по занимаемому объёму памяти и требуемому машинному времени для выполнения заказа. Приходится учитывать межпрограммные связи, особенно при параллельной реализации процессов обработки. В современных системах речь идёт не об отдельной программе, а о программном продукте (комплекс программ и документация к нему).
21.2. Показатели качества программного продукта
Основные показатели качества программного продукта показаны на рис. 21.1. Разрабатываются методы вычисления и оптимизации их[13].
Актуальность программного продукта обуславливается оперативными, организационными, экономическими, демографическими, научными и иными соображениями в пользу его разработки.
Адекватность ПО (программного обеспечения) определяется его соответствием реальным условиям эксплуатации.
Оперативность ПО - его способность обеспечить обработку информации в заданные сроки.
Адаптируемость ПО – это свойство гибкой подстройки к условиям применения.
~ 369 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
Под корректностью ПО понимается соответствие его работы требованиям внешних спецификаций при допустимых входных данных. Мерой корректности служит обнаруженное или ожидаемое число ошибок в программе.
Устойчивость (живучесть) ПО – его способность работать в нештатных ситуациях. Она достигается введением в ПО избыточных средств контроля входной информации, восстановления после сбоев, проверки допустимости значений индексов и т.п.
Под эргономичностью ПО понимается степень учёта инженернопсихологических требований пользователя. ПО должно позволить пользователю понять принцип функционирования данного комплекса программ.
ПО оцениваемо, если оно позволяет определить по данным испытаний степень выполнения конкретных пунктов технического задания.
ПО обладает свойством расширяемости, если ему сравнительно легко могут быть приданы новые функции и (или) увеличены возможности реализации старых.
Мобильность ПО, определяется возможностью его переноса на другой тип машин или использования совместно с другой операционной системой.
Точность ПО характеризуется уровнем погрешности результатов вычислений. Они обусловлены следующими источниками:
-погрешностями математических моделей; -погрешностями определения исходных данных; -погрешностями алгоритма;
-погрешностями счёта в ограниченной разрядной сетке(погрешности округления).
Остальные показатели понятны из названия. Их взаимосвязь можно проследить по рис.21.1.
~ 370 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
Отметим только, что признаками коммуникативности ПО служат: -способность распознавать конец входного файла; -предусмотрена выдача чётких сообщений об ошибках в случае их
возникновения; -предусмотрена выдача всех входных данных программы;
-предусмотрена выдача по запросу промежуточных результатов; -все выдаваемые результаты снабжены соответствующими заголов-
ками.
21.3. Об опытах формирования метрической теории программ
Выбор приведённой системы показателей удовлетворяет далеко не всех пользователей. Поэтому постоянно ведутся напряжённые поиски таких фундаментальных характеристик программ, с которыми были бы наиболее тесно коррелированны выходные характеристики ИС. Специалисты пытаются создать метрическую теорию программ, которая позволила бы дать количественную оценку показателей качества программ, пригодных для формирования системных показателей качества [13]. Поэтому при разработке автоматизированных информационных систем (прежде всего систем управления) требуется строгое описание всего процесса функционирования системы, включая синхронизацию управляющих ее процессов, информационные, материальные и другие связи.
Обнадёживающие результаты на пути создания метрической теории программ были получены М. Холстедом [16].
Согласно Холстеду, для любой записи алгоритма на одном из языков программирования могут быть измерены первичные характеристики:
-число типов операторов η1 ; -число различных операндов η2 ;
~ 371 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
-общее число операторов Ν1 ; -общее число вхождений операндов Ν2 .
В качестве типов операторов рассматриваются символы арифметических и логических операций, отношений, символы присвоения, группировки, переходы к различным меткам, ограничители, обращения к каждой новой процедуре или функции.
Через первичные характеристики выражаются: словарь
η =η1 +η2
и длина программы
Ν = Ν1 + Ν2 .
Оценка длины программы
ˆ
η2 .
Ν = η1 log 2 η1 +η2 log 2
Как показали многочисленные анализы, имеет место коэффициент корреляции её с Ν , равный 0,98.
Для размещения любого элемента словаря из η символов, необхо-
димо иметь объём программы в битах, равный
V= Ν log2 η .
Объём программы заданного алгоритма зависит от языка, на котором она написана. Этот объём минимален, если в язык встроен соответствующий алгоритм (например, в виде библиотечной процедуры).
В потенциале, программа может быть из двух операторов: вызова процедуры и группировки аргументов для нее. Тогда
V * = (2 +η2* ) log 2 (2 +η2* ),
Знак * отмечает потенциальные характеристики.
~ 372 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
~ 373 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
Теория М.Холстеда опирается на твёрдо установленные современные психологические факторы:
1.Человеческий мозг может одновременно обрабатывать пять объектов, включая результат ( η2* = 6 операндов ).
2.Количество элементарных различий в секунду ограничивается величиной s ≈18 (число Страуда).
На этой основе были предложены формулы для оценивания трудоёмкости программирования.
21.4. Ошибки в программном обеспечении
Отказ ПО может проявляться в виде программного останова или зацикливания, систематического пропуска некоторой группы операторов, однократного или систематического искажения данных и т.п. Программные отказы могут привести к прекращению выдачи абонентам информации и управляющих воздействий исполнительным органам или к значительному искажению ее содержания и темпа выдачи. Отказ
– это внешнее проявление ошибки.
Главная причина ошибок заключается в том, что ПО значительно сложнее аппаратуры и входные данные для него неизмеримо разнообразнее. Обработка элемента входных данных программным обеспечением, в отличие от аппаратурной обработки, обычно зависит от предыстории. На ПО существенно сказывается специфика и разнообразие приложений. Многие ошибки трудно обнаруживаются и исправляются. В передаваемых в эксплуатацию пакетах программ сохраняется остаточное количество ошибок, оцениваемое в 4-10 на 1000 операторов. Поэтому практически невозможно достичь безошибочного программирования, хотя цена ошибок обходится всё дороже. Технология программирования должна быть подчинена прежде всего двум целям: ми-
~ 374 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
нимизации количества допущенных ошибок и снижению трудоемкости их устранения.
Особенно высокие требования по устойчивости к отказам предъявляются к следующим приложениям ПО:
-управление движущимися объектами; -управление атомными электростанциями; -управление системами обороны; -автоматизация систем наблюдения за больными;
-управление непрерывными технологическими процессами; -управление энергосистемами и сетями связи; -обеспечение функционирования необслуживаемой аппаратуры (на
космических аппаратах, гидро - и метеостанциях).
В целях повышения устойчивости ПО внедряются разнообразные элементы надёжной технологии (методы программирования и организации труда программистов, языки высокого уровня и д.р.)
21.5. Оценка языков программирования
Поскольку мыслить можно только с помощью языка, выбор языка оказывает прямое влияние на образ мыслей программиста и, следовательно, структуру ПО. Как отмечал С.С.Лавров, ”хорошо организованный язык с чётко продуманной системой понятий, достаточно общих, но в то же время простых и ясных, хорошо взаимодействующих между собой, помогает пользователю организовать свои мысли, отделить главное от второстепенного на каждом этапе работы, последовательно двигаясь к намеченной цели”[13].
Известный программист Брукс Ф.П. также писал: ”Слова алгоритмического языка, записанные программистом, одухотворяют машину - она печатает результаты, рисует изображение, управляет движением стан-
~ 375 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
ка, словом, производит самые разнообразные объекты, которых без программиста не было и могло не быть никогда». Руками программиста создаются, живут и изменяются информационные модели всех сфер окружающего нас ми-
ра, через него машина отвечает на вопросы, затрагивающие как отдельную личность, так и судьбы человечества.
К языку программирования предъявляются следующие основные требования:
-достаточный диапазон применений;
-информационная емкость;
-независимость от машины и ОС;
-наличие средств расширения;
-удобство реализации;
-надёжность.
Используемые языки имеют свои характеристики свойств. В своё время был объявлен конкурс на создание надёжного языка системного программирования. Победил язык Ада, разработанный во Франции под руководством Ж.Д. Ичбиа и названный в честь первой программистки – дочери Дж. Байрона леди Ады Августы Лавлейс. Язык Ада был объявлен стандартным в министерстве обороны США и ряде стран НАТО.
Установлено, что выигрыш в скорости программирования повышается с использованием языков высокого уровня, поскольку у них выше семантическая ёмкость операторов. При работе на языках высокого уровня меньший процент технических ошибок и больше возможностей быстрого их выявления за счёт диагностических средств транслятора. По мнению академика А.П. Ершова, «программирование обладает богатой, глубокой и своеобразной эстетикой, которая является основой внутреннего отношения программиста к своей профессии, и служат источником интеллектуальной силы, ярких переживаний и глубокого
~ 376 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
удовлетворения. Корни этой эстетики лежат в творческой природе программирования, его общественной значимости и трудности. В своей творческой природе программирование идёт намного дальше большинства других профессий, приближаясь к математике и писательскому делу».
Возрастающие потребности общества в программном продукте стимулировали широкое применение автоматизированных программ, которые ориентированы на использование языков высокого уровня.
Программирование на языках высокого уровня даёт следующие преимущества:
-избавляет программиста от возни с особенностями машины и устраняет возможные многочисленные ошибки программирования на машинных языках;
-приводит к хорошо обозримым программам, в которых легче обнаружить алгоритмические ошибки;
-повышает производительность программирования вследствие большей семантической ёмкости конструкции языка;
-облегчает понимание программы, ее внедрение и сопровождение;
-делает программу мобильной, т.е. применимой на других типах машин.
Современная технология программирования не отменяет творческого подхода к разработке программ, а ставит эту работу на промышленную основу, обеспечивая эффективное управление разработкой, снижение ее трудоёмкости, облегчение сопровождения и развития системы.
Все рекомендации программистам основаны на огромном опыте работы в данной области и сводятся к правилам «хорошего стиля». Теория математического синтеза программ пока не разработана.
~377 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
21.6. Примеры количественной оценки программ
Методы количественной оценки программ стали разрабатываться в связи с созданием библиотек и пакетов прикладных программ. Альтернативные программы испытывались и получали векторные оценки своих свойств.
Специалист, комплектующий библиотеку, решал двухуровневую задачу принятия решения. Сначала он оценивал (количественно или качественно) свойства, существенные для данного приложения (ситуации), и назначаемые им веса. Затем программы оценивались по степени наличия у них этих свойств. Наконец, для каждой программы подсчитывалась взвешенная (с учётом ценности определённых свойств) суммарная оценка. Программа выбиралась по максимуму суммарной оценки.
Предложенный Т. Саати метод расчёта коэффициентов важности базируется на возможности попарной ранжировки факторов Fi и Fj и на формировании матрицы предпочтений R. Ее элемент имеет вид:
1, если Fi равнозначна Fj ,
rij =
3, если Fi важнее Fj ,
5, еслиFi значительно важнее Fj.
В промежуточных случаях используются значения 2 и 4. Если сравниваемые факторы допускают количественную оценку, то rij назначает-
ся как отношение этих оценок. В любом случае rji= 1 .
rij
Искомые весовые коэффициенты wi аппроксимируются нормированными суммами строк
~ 378 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
Wi=
∑rij
j
∑∑rij
i
j
или обратными суммами столбцов
∑rki
−1
Wi=
k
.
∑rki
−1
∑
j
k
Результаты будут согласованы, если наибольшее собственное значение матрицы R равно 12. Тогда {wi} образуют собственный вектор этой матрицы: Rw=nw. В противном случае между результатами расчётов по этим формам возможен разбаланс. Эти результаты можно усреднить и пронормировать.
Известны факты использования приведённой методики на практике. Например, сравнивались программы, реализующие три метода числен-
ной оптимизации по следующим показателям:
F1- устойчивость;
F2- эффективность;
F3- максимальная размерность решаемой задачи;
F4- простота использования;
F5- организация программы.
Результаты сравнения приведены в таблице
Нор
F
Сум
Соб
1
2
3
4
5
мы по
мирован.
ств. век-
строкам
суммы
тор
0,40
F1
13
0,42
F2
7,33
0,22
0,21
F3
1 2
2,83
0,09
0,09
F4
5,00
0,15
0,15
F5
4,75
0,14
0,13
~ 379 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
Сум-
мы по
,42
,50
0,0
,50
,50
столбцам
Об-
ратные
,43
,19
,10
,16
,12
нормиро-
ван-ные
суммы
Особое внимание уделяется анализу комплекса управляющих программ (ОС), поскольку они обеспечивают устойчивость и эффективность вычислительного процесса.
Ключевой проблемой устойчивости является корректное разрешение конфликтов между параллельно протекающими процессами. Они разрешаются одним из двух способов: введением управляющего процесса на более высоком уровне иерархии или применением средств самосинхронизации (семафоры). Реализация этих способов требует введения избыточности: программной, информационной и временной. Программная избыточность включает в себя программы, реализующие перечисленные функции, информационная – дублированное или помехозащищённое хранение данных, временная – ресурсы времени на выполнение программ оперативного контроля и восстановления.
Перечисленные виды избыточности используются совместно и требуют дополнительных ресурсов ВС по памяти и производительности, но помогают избежать многих отказов.
~ 380 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
21.7. Методы оптимизации отдельных процессов
Широко используются методы оптимальной реализации отдельных операций и процессов. Например, при организации обмена с НМД потери времени состоят из следующих слагаемых:
-ожидания в очереди;
-установки головки на нужную дорожку;
-ожидания поворота диска до требуемой угловой позиции;
-считывания (запись).
Две последних составляющих в сумме имеют порядок времени одного оборота диска и значительно меньше двух первых.
Сглаженная экспериментальная зависимость времени подвода головки от числа пересекаемых дорожек аппроксимируется функцией: t=c+al, где l – требуемая величина перемещения.
Время ожидания в очереди зависит от загрузки системы и дисциплины обслуживания.
Для дисциплины «первым пришёл – первым обслужен» исходное и требуемое положения головки распределены равномерно на [0,L]. При любом t, (0≤t≤L/a), вероятность P(T<t) пропорциональна площади, равной L²-(L-at)²=2Lat-(at)², см. заштрихованную площадь на рис.21.2.
~ 381 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
Функция распределения
0,
t<0
Fт(t)=
2Lat − (at)2
,
0≤t<L/a
L2
1,
t≥L/a.
Плотность распределения
W(t)
2a
(L-at), 0≤t≤L/a,
2
L
0 при других t,
а ее моменты
aк= ( 2(L)(a)k ), k=1,2,......
k +1 k + 2
Среднее время выполнения заявки складывается из среднего времени ожидания
W1= 2(1λ−bλ2 b1 )
и среднего времени обслуживания b1, где b1=а1+Т, b2=а2+Т²+2Та1 при постоянном времени доворота и обмена Т.
Временные затраты уменьшаются, если реализовать следующий алгоритм размещения записей на диске:
1)записи разместить в порядке убывания вероятностей обращения к
ним;
2)запись с максимальной вероятностью обращения поместить на центральную дорожку;
~382 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
3) последующие записи размещать поочерёдно по обе стороны от центральной дорожки, удаляясь от нее по мере заполнения дорожек.
Современные ЭВМ активно используют запоминающие устройства прямого доступа. На них хранятся программы ОС, системные данные, библиотеки и массивы пользоватей. Только с их помощью могут быть реализованы достаточно эффективные информационно-поисковые системы.
Максимальную производительность ЭВМ обеспечит такое размещение информации по устройствам, которое позволит в наибольшей степени распараллелить выполнение запросов к различным устройствам (полагаем, что все устройства закреплены за различными каналами). Два идущих подряд запроса к одному устройству вызывают конфликт: обработка нового запроса может начаться только после полного обслуживания предыдущего. Качество решения о размещении информации по устройствам оценивается средней частотой возникновения конфликтов.
Задача формулируется следующим образом: имеется n файлов f1,f2,…,fn и d устройств (дисководов). Для любой упорядоченной пары (fi,fj) задана стационарная частота p(i,j) последовательных запросов на элементы пары. Размещение файлов задаётся разбиением Ф множества файлов на d множеств индексов {Fk}. Средняя частота конфликтов на
устройстве номер k есть Lk= ∑p(i, j) . Суммарная частота конфликтов
i, j Fk
d
d
L= ∑Lk = ∑ ∑ p(i, j) .
k =1
k =1 i, j Fk
Оптимальное разбиение Ф* должно минимизировать величину L. Для оценки частоты конфликтов приходится задаваться гипотезами относительно последовательности запросов. Чаще всего рассматривают две таких гипотезы: независимые запросы с вероятностями (Р1,Р2,….,Рn)
имарковскую цепь с матрицей переходов {λij}, j=1, n .
~383 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
При «цепной» гипотезе вероятность запроса пары p(i,j) равна pi πij, где { Р1,Р2,….,Рn } – стационарный вектор вероятностей состояний марковской цепи. Здесь целевая функция может быть записана в форме
d
L= ∑∑Piπij .
k =1 ij Fk
В «независимом» варианте p(i,j)=pipj и
d
L= ∑ ∑Pi( ∑Pj − Pi) .
k =1 ij Fk j Fk
Считается, что повторное обращение к тому же файлу не требует дополнительных затрат. Критерием оптимальности служит
L = ( Pi)² → min,
поскольку второе слагаемое равно сумме квадратов всех вероятностей {Pi} и определяется только заданным набором их, а от разбиения не зависит.
Строгое решение задач указанного типа оказывается чрезвычайно сложным. Обычно ограничиваются нахождением локально – оптимальных решений с помощью эвристических методов.
Например, переупорядочивают все файлы по невозрастанию {Pi} и
обозначают Sk= Pi, k=1,d.
Приближённое решение этой задачи даёт следующий алгоритм, опирающийся на последовательное выравнивание сумм вероятностей:
1)положить i=0; Sj=0 для j=1,d;
2)увеличить i на 1;
3)выбрать min Sj=Sm;
4)отнести i-й файл к устройству m и положить Sm=Sm+Pi;
5)если i<n, перейти к шагу 2;
6)закончить вычисление.
~384 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
Доказано, что получаемое разбиение отличается от оптимального не более чем на 4%.
При статистически зависимых обращениях решение может быть получено последовательным улучшением некоторого начального плана, например, полученного «независимым» методом. На каждом шаге для всех файлов подсчитывается изменение частоты конфликтов при их перемещении.
Пусть файл i находится на устройстве R. Тогда приращение частоты конфликтов при перемещении его на устройство m составит
∆L=∆i,m= [P(i,j)+P(j,i)] - [P(i,j)+P(j,i)] .
Здесь первая сумма отражает прирост частоты конфликтов на m-ом дисководе, а вторая – ее изменение на k-ом дисководе.
При ∆i,m<0 перемещение оправдано, а min ∆i,m указывает наивыгоднейшее перемещение i-го файла. Окончательное решение о перемещении указывает Μ=min min∆i,m . При Μ≥0 текущее размещение оптимально.
Глава 22. СИНТЕЗ СИГНАЛОВ
22.1. Актуальность проблемы
На первом этапе знакомства с ИС главное внимание обращалось нами на функции сигнала как переносчика информации по некоторой физической среде без учёта ряда побочных процессов и явлений, сопутствующих работе сложной информационной системы. Не акцентировалось внимание на особенности взаимодействия сигналов множества
~ 385 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
различных абонентов между собой и с внешней средой. Общая среда распространения сигналов, множественный доступ к ней требуют решения проблемы электромагнитной совместимости работающих средств и в то же время эффективного использования пропускной способности среды. Актуальность проблемы возрастает с увеличением числа компьютерных сетей, мобильных радиосистем, с повышением требований к информационной безопасности. В этих условиях недостаточно учитывать только индивидуальные свойства сигналов, их способность переносить информацию. Необходим системный подход к решению задач взаимодействия множества сигналов в едином частот- но-временном и энергетическом пространстве. Необходимо избежать взаимного мешания сигналов без ограничений в использовании ресурсов среды. Одними регламентирующими методами проблему не решить. Часть задач может быть решена путём использования сигналов сложной структуры [3]. На этом направлении возникли новые способы усложнения и разделения сигналов, возникли теория синтеза сигналов [2] и теория систем сигналов [3].
Задачи синтеза сигналов являются одними из основных при проектировании многих информационных систем (систем радиосвязи, радиолокации, телевидения, телеметрии, компьютерных сетей, передачи данных и др.). От научно-технического уровня решения этих задач зависят основные показатели качества ИС. Они переводят многие силовые методы борьбы с помехами, с несанкционированным доступом к информации, за увеличение пропускной способности ИС в сферу высоких технологий, приводящих к резкому улучшению качества ИС.
Первые результаты синтеза сигналов появились в радиолокации. К середине пятидесятых годов 20 века была сформулирована общая постановка вопроса об одновременных измерениях всех параметров движения объектов радиолокационного наблюдения – его координат, ско-
~ 386 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
рости и ускорения. Было выявлено влияние формы сигнала на качество указанных измерений. Вудвордом [2] была введена обобщённая характеристика зондирующего сигнала – функция неопределённости, по которой сейчас осуществляется синтез сигналов в радиолокации.
Функция неопределённости подобна диаграмме направленности антенны: в той же мере, в которой диаграмма направленности характеризует точность и разрешающую способность угловых измерений, функция неопределённости характеризует точность и разрешающую способность измерений дальности и скорости. Как только было понято это значение функции неопределённости, началось подробное изучение ее свойств и были сделаны первые попытки синтеза сигналов, обладающих желаемыми функциями неопределённости.
До этого времени были известны задачи синтеза фильтров по заданной частотной характеристике, синтеза измерительных приборов по аппаратной функции (аппаратная функция – это отклик прибора на импульсное воздействие).
Функция неопределёенности есть аппаратная функция РЛС в координатах «время-частота». Она характеризует отклик РЛС на одиночную точечную цель.
В системах связи и передачи данных допплеровские смещения частоты пренебрежимо малы. В этих условиях существенное значение имеет только одно сечение функции неопределённости – автокорреляционная функция сигнала. Поэтому и синтез сигналов осуществляется по заданным автокорреляционным функциям.
Многофункциональные задачи, возлагаемые на сигналы, и высокие требования к качеству решения их, можно выполнить только с помощью сигналов сложной структуры, обрабатываемых оптимальным образом. Рассмотрим простейший пример сигнала сложной структуры.
~ 387 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
Простые сигналы отображают один бит информации в виде одного импульса тока (рис. 22.1, а) длительности Т и полярности, соответствующей передаче символов: 0 и 1.
«1»
«0»
A
а)
T
2T
0
t
-A
τ
a
б)
0
t
-a
τ
Рис 22.1.
Сложные сигналы формируются из последовательности более коротких импульсов длительности τ = Т/Б, например, в виде «меандра» одной полярности при передаче символа 1 и «меандра» противоположной полярности при переходе символа 0 (рис. 22.1, б).
Ширина спектра простого сигнала равна FП= 1/Т, а сложного – равна Fс = 1/τ = БFП.
Произведение ширины спектра F на длительность сигнала Т в теории сигналов называют базой сигналов и обозначают символом
В=2FТ.
Для простого сигнала, FT=1, а для сложного – FT . Это является отличительным признаком сложных сигналов. Однако, одна и та же величина базы может быть получена при различных последова-
можно отобразить в виде некоторых функций U(t). При работе в системе необходимо, чтобы выбранные для сигналов функции Ui(t) хорошо различались друг от друга и не оказывали мешающего воздействия друг другу при использовании общей среды обмена информацией при любых временных сдвигах начальных моментов передачи.
Эти требования могут быть сформулированы более чётко с помощью формы автокорреляционной функции сигналов (АКФ)
R(τ) = 1
∞
∫U (t)U (t −τ)dt ,
*
2E −∞
где Е - энергия сигнала, * - знак комплексной сопряженности.
Импульсная АКФ имеет вид, представленный на рис. 22.2, а.
R(t)
R(t)
1
1
-τ00 τ0 t -τ00 τ0 t
a) б)
Рис. 22.2
Реализуемая на практике АКФ содержит ещё и боковые пики. При синтезе сигналов стремятся к минимальному уровню боковых пиков.
~ 389 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
22.2. Формулировка задачи синтеза и направления поиска решения
Задачи синтеза во многих приложениях исследуются с двух позиций: детерминистической и статистической. Детерминистические задачи встречаются весьма часто. К ним относится синтез антенны по диаграммам направленности, синтез фильтров по частотным характеристикам, синтез сигналов по функциям неопределённости и по автокорреляционным функциям и др. В них желаемое свойство синтезированных объектов формируется без применения статистических критериев оптимальности. Статистические задачи также встречаются часто. В них используются вероятностные критерии, подобные применяемым в теории обнаружения сигналов и оценки параметров, а также системный подход к одновременному решению задачи синтеза сигналов и алгоритмов обработки их.
Синтез сигналов, как и многие другие задачи оптимизации, сводится к вариационным проблемам. Известны два подхода к их решению. Классическое вариационное исчисление даёт аналитические решения или сводит их к дифференциальным или интегральным уравнениям. Интенсивное развитие получили неклассические вариационные методы в связи с широким распространением вычислительной техники. Они основаны на итерациях, последовательных приближениях к искомому решению. В сложных задачах синтеза сигналов целесообразно объединять оба подхода.
Детерминистические задачи синтеза тесно связаны с задачей аппроксимации. Общая формулировка ее заключается в следующем [2].
Дано некоторое множество X функций x(t), а также функция y(t), не принадлежащая множеству X. Требуется определить функцию
~ 390 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
xотп (t) X , которая обеспечивает наилучшее приближение к y(t). Крите-
рии приближения могут быть различны. Наиболее общая трактовка сводится к определению расстояния d(x, y) между функциями x(t) и y(t) и поиску функции xопт(t), для которой расстояние d(xопт, y) будет минимальным. Естественно, что необходимо определить метрику пространства и правило вычисления упомянутого расстояния.
На практике желаемая функция y(t) в заданном метрическом пространстве не единственная. Имеется множество Y функций y(t) с желаемыми свойствами. Например, амплитудно-частотная характеристика многих сигналов (или фильтров) может удовлетворять требованиям синтеза при произвольной фазовой характеристике. Поэтому задача синтеза сигналов формируется из более общих соображений в следующем виде.
В определённом пространстве сигналов дано множество X сигналов x(t), реализуемых в конкретных условиях, а также непересекающихся с X множество Y сигналов y(t), каждый из которых обладает заданным желаемым свойством. Требуется определить сигнал xотп (t) X ,
который обеспечивает наилучшее приближение к свойству, определяющему множество Y.
Здесь имеется в виду приближение к свойству, общему для всех элементов множества Y, а не к какому-либо конкретному элементу
y Y .
Общий метод решения поставленной задачи можно пояснить на основе геометрической трактовки (рис. 22.3)
~ 391 ~
xотп .
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
Y
yопт
y
X
xопт
x
Рис. 22.3
Если зафиксировать произвольный сигнал y Y , то, применив ме-
тоды аппроксимации, можно определить кратчайшее расстояние d(X, y) между этим сигналом и множеством X, а также найти допустимый сигнал x X , обеспечивающий наилучшее приближение к выбранному элементу y.
Однако, если варьировать сигнал y, перемещаясь по кривой Y, и контролировать расстояние до ближайшего x X , то можно выявить сигнал yотп , расположенный на кратчайшем расстоянии от X. Этот сиг-
нал позволяет получить лучшее приближение
Таким образом, решение задачи синтеза даёт сигнал xотп (t) X ,
расположенный на кратчайшем расстоянии
dmin = min d (x, y) , при
x X
y Y ,
от множества Y.
Теперь необходимо конкретизировать введенное расстояние d(x, y) между функциями.
Существенную роль при различении сигналов играет форма, но
не амплитуда, не его масштаб. Поэтому необходимо вводить нормиров-
~ 392 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
ку сигналов, например, фиксируя их энергию или максимальную амплитуду.
В линейных нормированных пространствах два сигнала, отличающиеся только масштабом, изображаются векторами разной длины, направленными по одной прямой. От формы сигнала зависит угловое положение вектора. Поэтому в теории сигналов расстояние d(x, y), характеризующее степень близости между элементами x и y, измеряют коэффициентом корреляции между этими сигналами, равным косинусу угла Θ между векторами.
Вводится специальное обозначение C(x, y), которое называется коэффициентом близости сигналов x и y и равно
∞
C(x, y) = cosθ = Re ∫x(t) y* (t)dt ,
(22.1)
−∞
причем x = y =1, так как сигналы нормированы.
Наиболее часто используют три способа решения задачи синтеза. Первый способ заключается в том, что сначала выбирается произвольный допустимый сигнал x X и определяется наилучшее приближение к нему на множестве желаемых сигналов Y, то есть определя-
ется расстояние
d (x,Y ) = min d(x, y) y Y .
В дальнейшем изменяют сигнал x, перемещаясь по кривой X и контролируя расстояние до Y. В результате определяется величина
dmin = min d (x, y) x X
yY
инаходится оптимальный сигнал xотп .
Второй способ отличается от предыдущего только тем, что минимизация расстояния производится в обратной последовательности.
~ 393 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
Сначала задаётся произвольный сигнал y Y и отыскивается наилучшее приближение к нему на множестве X, то есть определяется расстояние
d(X , y) = min d(x, y) . x X
Затем определяется величина dmin путем вариации сигнала y.
Этот способ используется, когда структура допустимых сигналов x затрудняет прямое решение (например, когда сигналы дискретны).
Третий способ реализует метод последовательных приближений. При таком способе первоначально задаётся некоторый сигнал нулевого приближения x0 . Затем определяется сигнал y1 Y , ближайший к x0 и
находящийся на расстоянии d1 . Далее определяется сигнал x1 X , бли-
жайший к y1 и расположенный на расстоянии d2 от него. В дальнейшем определяются сигналы y2 - ближайший к x1 , x2 - ближайший к y2 и т.д.
Итерационная процедура оказывается достаточно удобной при машинных расчётах.
22.3. Синтез сигналов по автокорреляционной функции
В целях удобства анализа единый вещественный сигнал u(t) расчленяют на огибающую A(t) и колебательный множитель cos[ω0t +Φ(t)]:
u(t) = A(t)cos[ω0t +Φ(t)] ,
где A(t) и Ф(t) – законы амплитудной и фазовой модуляции соответственно.
где v(t) – мнимая компонента, зависящая от u(t) и связанная с ней преобразованием Гильберта:
~ 394 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
1 ∞ u(τ) τ v(t) = π −∫∞t −τ d .
Спектр S(w) комплексного сигнала s(t) отличен от нуля только при положительных w и отличается от спектра U(w) сигнала u(t) только масштабным множителем, а по форме совпадает с ним:
2U (w) приw > 0,
S(w) =
0 приw < 0.
Аналитический сигнал можно записать в форме
s(t) = A(t)e jϕ(t ) ,
где A(t) = u2 (t) + v2 (t) ; ϕ(t) = arctg uv((tt)) .
Вещественная часть аналитического сигнала
u(t) = Re[s(t)] = A(t)cosϕ(t) ,
где Re[·] – реальная часть комплексного сигнала. Фаза сигнала
ϕ(t) = w0t +Φ(t) .
Поскольку второе слагаемое на практике меняется гораздо медленнее первого ( Φ'(t) << w0 ), можно оперировать только с комплексной огибающей сигнала
s(t) = A(t)e jΦ(t ) ,
игнорируя отсутствие быстроколебательного множителя e jw0t и не интересуясь величиной линейной составляющей в фазе Ф(t).
Переход к комплексной огибающей соответствует переносу спектра с несущей на нулевую частоту. Спектр комплексной огибающей обычно называют спектром сигнала. Он определяется соотношением
∞
S(w) = ∫s(t)e− jwt dt = a(w)e− jα (w) ,
−∞
где a(w) – амплитудный спектр, α(w) – фазовый спектр сигнала.
~ 395 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
Автокорреляционная функция сигнала имеет два эквивалентных выражения:
1
∞
t
t
)dτ ,
(22.2)
R(t) =
∫s(τ +
)s* (τ −
E
−∞
2
2
1
∞
2 e jwt dw ,
(22.3)
R(t) =
∫
S(w)
2πE
−∞
где E – удвоенная энергия реального сигнала, так как компоненты u(t) и v(t) обладают равной энергией. При нормированных сигналах E=1.
Мы рассматриваем задачу приближения автокорреляционной функции R(t) к некоторой желаемой функции F(t). Критерии приближения могут быть различными. Можно, например, потребовать, чтобы была минимальной квадратичная разность функции на заданном интер-
вале ( −
T
,
T
), то есть
2
2
T 2
∫[F(t) − R(t)]2 dt = min ,
(22.4)
−T 2
или минимизировать наибольшее отклонение функций
max[F (t) − R(t)] = min,
(22.5)
t T
или, наконец, минимизировать расстояние d(F,R) между функциями. Для ряда приложений сигналов существенно лишь приближение
Допустимое множество X в данной задаче включает все реализуемые автокорреляционные функции R(t), у которых спектр положителен, причём задан лишь амплитудный спектр, а фазовый спектр остаётся произвольным. Кроме того, выполняются условия
g(w)=g(-w) и R(t)=R(-t).
Эти дополнительные ограничения существенно упрощают синтез. Желаемое множество Y может содержать произвольный модуль
F(t) , но имеет смысл задавать лишь чётные функции
F(t) = F(−t) ,
поскольку нечётная составляющая не повлияет на получаемое решение. Кроме того, в множество Y мы должны включить функции вида
F(t) = A(t)e jΨ(t ) .
Здесь A(t) =
F(t)
- положительная функция, совпадающая с желаемым
модулем, а Ψ(t)
- произвольная фаза. Элементы множества Y отличают-
ся друг от друга фазовыми функциями Ψ(t) .
После того как мы определили допустимое и желаемое множества X и Y и все функции, имеющие отношение к задаче, можно перейти к поиску решения.
Согласно принятой гипотезе близости оптимальная корреляционная функция R(t) находится на кратчайшем расстоянии от желаемого множества Y, то есть
∞
∞
[ A(t)e jΨ(t ) − R(t)]2 dt .
(22.6)
d
min
2 = min
∫
[F (t) − R(t)]2 dt = min min
∫
R X
R X
Ψ
F Y
−∞
−∞
На первом этапе решения фиксируется функция R(t) и определяется величина
~ 397 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
∞
d 2 (x,Y ) = min ∫[A(t)e jψ (t ) − R(t)]2 dt =
Ψ −∞
∞
∞
∞
= minΨ
∫
A2 (t)dt + ∫
R(t)
2 dt −2Re[ ∫
A(t)R(t)e− jΨ(t)dt]
−∞
−∞
−∞
.
От варьируемой фазы Ψ зависит только последнее слагаемое. Поэтому можно перейти к максимизации величины
Здесь корреляционная функция R(t) вещественна, а функция A(t) положительна. Поэтому
∞
C ≤ ∫A(t) R(t) dt .
−∞
Правая часть этого неравенства не зависит от варьируемой фазы Ψ(t) , поэтому достижение равенства обеспечивает наибольшую воз-
можную величину C, являющуюся аналогом близости. Максимум С достигается при выполнении условия
cos Ψ(t) = ±1 = signR(t) ,
что эквивалентно условию
F(t) = A(t)e jΨ(t ) = A(t)signR(t) .
(22.7)
На втором этапе решения вариации подвергается функция R(t). Но прежде мы покажем, что принятый здесь коэффициент близости совпадает с исходным условием наилучшего приближения:
∞
dmin 2 = minR X ∫[ A(t)signR(t) − R(t)]2 dt =
∞
−∞ (22.8)
= min ∫{F (t) − R(t) }2 dt
R X −∞
В большинстве приложений желаемая структура корреляционной функции сигнала характеризуется двумя требованиями. Она должна иметь острый центральный пик вблизи t=0 и малые остатки вне заданной центральной области. В соответствии с такими требованиями при-
~ 398 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
мем, что заданный модуль F(t) определён некоторым образом в интер-
вале (-1, 1), соответствующем центральному пику, и равен нулю вне этого интервала.
Поскольку интервал (-1, 1) не должен перекрываться областью остатков (боковых лепестков) корреляционной функции, потребуем, чтобы синтезируемая R(t) удовлетворяла условию
R(t)>0 при t <1.
Но в этих предположениях формула (22.7) даёт
F(t)=A(t)
и, следовательно, оптимальная F(t) не зависит от R(t).Она принадлежит желаемому множеству Y, является одним из его элементов, причём именно этот элемент располагается на наименьшем расстоянии от R(t), удовлетворяющей оговоренным условиям, от любого элемента допустимого множества X. Эта редкая особенность – наличие единственного элемента yопт Y , ближайшего ко всем допустимым x X - существенно упрощает дальнейшее решение.
Фиксируя F(t), мы должны найти R(t), удовлетворяющую усло-
вию
∞
d 2 = ∫[F(t)
−∞
∞
− R(t)]2 dt = ∫{A(t)
−∞
− R(t)}2 dt = min .
Обозначив через A(w) спектр заданной функции A(t), на основании равенства Парсеваля получим
2
1
∞
2
d
= f =
∫
{A(w) − g(w)} dw = min , (22.10)
2π
−∞
причем искомый спектр g(w) должен удовлетворять требованиям осуществимости корреляционной функции.
Искомый минимум находится при
A(w)ïðè A(w) > 0
è
w
< Ω;
g(w) =
0 ïðè A(w) < 0
èëè
w
> Ω,
~ 399 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
что соответствует «срезке» отрицательных значений заданного спектра.
Врезультате, приходим к следующей процедуре синтеза:
1.По заданной A(t) вычисляется спектр A(w).
2.Спектр g(w) образуется путем «срезки» отрицательных значений A(w) и ограничения в заданном частотном интервале.
3.Обратным преобразованием Фурье от g(w) находится искомая
R(t).
22.4. Анализ свойств сложных сигналов
Многие сигналы, имеющее практические применения, состоят из повторяющихся элементов заданной формы - кодовые группы. Такие сигналы называют СОСТАВНЫМИ [3]. Синтез составного сигнала сводится к рациональному выбору амплитуд импульсов и расстановке их во времени. При этом стараются не исказить автокорреляционную функцию одиночного импульса, что ведёт к малым уровням боковых лепестков.
Наибольшее применение в системах обмена данными получили сигналы с фазовой манипуляцией (ФМ сигналы). Они представляют собой колебания с постоянной амплитудой и постоянной частотой несущей, начальная фаза которой изменяется скачками в некоторые моменты времени и может принимать фиксированные значения (чаще всего только два значения ).
Комплексная огибающего ФМ сигнала представляет собой прямоугольную волну с коммутациями знака в моменты изменения начальных фаз (см. рис.22.2), которые происходят через фиксированные промежутки времени. Получается своеобразное квантование сигналов во времени. Поэтому их называют квантованными ФМ сигналами (КФМ) и представляют в виде
~ 400 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
1
n
x(t) =
∑λiu0(t −i),
n
i=1
где n – число дискретов сигнала, xi = λi /√n – амплитуды дискретов.
Спектр КФМ сигнала можно представить в виде: X(ω) = U0(ω) · H(ω), где U0(ω) = (sin ω/2)/(ω/2) - спектр одиночного импульса (дискрета),
n
H (ω) = ∑xi e( − jωt) −спектркода.
i=1
КФМ сигналы, исследованны многими авторами. Получены разнообразные системы сигналов. Однако регулярных вариационных методов синтеза не получено. Использовались различные априорные алгоритмы для построения бесконечных последовательностей импульсов. Оптимальными считаются последовательности с наименьшим уровнем наибольшего остатка АКФ.
Среди многих КФМ особое место занимают сигналы Баркера, предложенные в 1953г. Они имеют минимально возможные остатки
АКФ, не превышающие величины, равной 1n , то есть обеспечивают
наилучшее квадратичное приближение к спектру одиночного прямоугольного импульса.
Баркером были указаны коды с остатками 1/n лишь для n≤13. Они получены путём подбора. Последующие исследования ряда авторов установили, что кодов Баркера для n>13 не существует [3]. В связи с необходимостью применять КФМ сигналы с большим числом дискретов, были выявлены некоторые другие коды с остатками, большими, чем 1/n, но всё же достаточно малыми. Прежде всего, это М- последовательности (последовательности максимальной длины.), коды символов Лежандра и др. Их остатки находятся на уровне(0,7 ÷
0,9) / n . Наиболее широко применяются М-последовательности. Они являются переодическими последовательностями (с периодом, равным
~ 401 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
n) импульсов двух типов (1 и 0) и распределены равномерно. Вследствие этого М-последовательности называют часто псевдослучайными последовательностями (ПСП).
Формируются М-последовательности с помощью линейных переключательных схем на основе сдвигающих регистров. Число разрядов в регистре для бинарных последовательностей равно log (n+1), то есть растёт медленно с увеличением n, что упрощает реализацию устройств формирования.
Усечённые М – последовательности называют непериодическими по-
следовательностями. Они имеют боковые пики АКФ, близкие к 1/ n .
Высокое приближение АКФ сложных сигналов к игольчатой форме открывает им новые возможности в следующих применениях: 1.Распределение энергии сигнала во времени и по частотному спектру позволяет передавать информацию сигналами, мгновенные значения амплитуд которых во много раз ниже уровня помех.
Это облегчает решение экологических задач, устраняет влияние на соседние системы, обеспечивает скрытность самого факта передачи, что бывает важно в целях обеспечения безопасности информации.
2. ШПС позволяет организовать одновременную работу многих абонентов в общей полосе частот при асинхронно-адресном принципе работы системы связи, основанном на кодовом разделении абонентов.
3.ШПС способны противостоять воздействию мощных помех.
4.ШПС позволяют успешно бороться с многолучевым распространением радиоволн путём разделения лучей.
5.ШПС обеспечивают электромагнитную совместимость с любыми системами радиосвязи, радиовещания, телевидения.
6.ШПС обеспечивают лучшее использование диапазона частот на ограниченной территории по сравнению с узкополосными системами связи.
~402 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
22.5. Особенности обработки ШПС.
На первом этапе знакомства с алгоритмами обработки сигналов, несущих информацию [7], принималось много упрощающих реальную ситуацию допущений относительно '' неинформационных'' параметров сигнала. Считалось, что многие из них (частота, начальная фаза, момент прихода, длительность импульсов и др.) известны априори и стабильны.
На практике такого объёма априорных сведений не бывает. Приёмник приходится настраивать на определённую волну, вводить его в синхронизм с передающей станцией, осуществлять подстройку частоты, фазы, усиления в процессе работы из-за нестабильности этих параметров. Получается, что приёмник первоначально должен отслеживать, оценивать и корректировать множество неинформационных параметров, а патом уже оценивать информационный параметр. Для повышения точности оценивания неинформационных параметров передающая сторона передаёт вспомогательные синхронизирующие импульсы, обучающие выборки, стартовые и стоповые посылки, флаги и пр. Эта вспомогательная информация используется для автоматической подстройки опорных генераторов сигналов по схеме, представленной на рис.22.4.
~ 403 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
Рис.22.4.
С усложнением структуры сигналов увеличивается число оцениваемых параметров и повышаются требования к точности оценок (примерно в базу сигнала раз). Это вытекает из теории оптимальной обработки ШПС [3], которая гласит, что приёмник должен иметь всё множество ожидаемых сигналов, определять коффциент корреляции их с входным сигналом и по максимуму коэффициента корреляции принимать решения относительно пришедшего варианта сигнала. Кроме того, ШПС занимает широкий диапазон частот с неравномерным уровнем помех в нём. Чтобы оптимальным образом учесть вклад каждой частотной составляющей, необходимо оценивать величину отношения сигнал / щум в каждой узкой частотной полоске и осуществлять свёртку ШПС по частоте с учётом этого коэффициента.
Таким образом, приёмник должен анализировать совместное распределение помехи и сигнала на частотно-временной плоскости и в соответствии с этим изменять коэффициенты передачи согласованных фильтров в каждом элементарном канале получаемого многоканального приёмника. Вариант такого решения применяется в схеме адаптивного приёма ШПС [3], представленной на рис.22.5. Она состоит из М каналов, в каждом из
которых есть элементарный согласованный фильтр СФi, линия задержки i), усилитель с переменным коэффициентом усиления УС. Ли-
~ 404 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
нии задержки
помогают совместить пики АКФ элементов и
осуществить когерентное накопление в сумматоре. Анализатор каналов (АК) определяет коэффициент усиления в каждом частотном канале по величине отношения С/Ш в нём.
Рис.22.5. .
Приведённый на рис.22.5. адаптивный приёмник можно рассматривать лишь в качестве первого приближения к оптимальному приёмнику. Принцип построения его позволяет глубже раскрыть проблемы обработки ШПС.
На рис.22.6. приведена схема [3] корреляционного приёмника с фазовой автоподстройкой частоты (ФАПЧ) и автоподстройкой времени, необходимых для поиска и синхронизации ШПС по частоте и времени. Приёмник предназначен для приёма двоичной информации. Он состоит из стандартной части (ПР), включающей преобразователь частоты, усилитель промежуточной частоты. Эта часть приёмника должна обеспечить равномерное усиление сигнала в диапазоне ШПС. Кроме того, приёмник содержит первый перемножитель (х) и информационный коррелятор (ИК). Последний состоит из второго перемножителя (х), интегратора (Ѕ), решающего устройства (РУ), генератора ШПС (ГШПС) и генератора синхроимпульсов (ГСИ).
~ 405 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
Рис. 22.6.
Аналоги приведённого приёмника могут использоваться на практике. Развитие цифровой техники, многоотводных линий задержки привело к созданию программируемых согласованных фильтров (ПСФ), предназначенных для обработки ШПС с большими базами в условиях быстрой смены сигналов
Основными устройствами ПСФ являются два регистра – две дискретные линии задержки. Сдвиговая (или сигнальная) линия задержки (СДЛЗ) служит для создания сдвигаемых на такт копий входного сигнала, которые поступают на перемножители. На вторые входы перемножителей поступают постоянные напряжения, равные отсчётным значением опорного сигнала, от опорной дискретной линии задержки (ОДЛЗ). По программе или по отдельной команде структура сигнала может быть заменена из набора, хранящегося в постоянном запоминающем устройстве (ПЗУ).
Умножение копий входного сигнала, изменяющихся во времени, на постоянные значения опорного сигнала, эквивалентно умножению входного сигнала на импульсную характеристику согласованного фильтра. Сумматор производит операцию суммирования, что эквивалентно интегрированию в корреляционном интеграторе.
Схема приёмника показана на рис.22.7.
~ 406 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
Рис.22.7.
Наиболее перспективными многоотводными линиями задержки (МЛЗ) считаются линии с поверхностными акустическими волнами (ПАВ). Они являются ультразвуковыми линиями задержки и получили широкое распространение в связи с развитием интегральной технологии. Скорость ультразвуковой волны в звукопроводе много меньше скорости света. Это позволяет при малых габаритах линии получить большую задержку сигнала во времени (по сравнению с задержкой в кабеле). Звукопровод используется в виде твёрдого тела (из алюминия, вольфрама, меди, никеля, кварца или стекла). Типы волны могут быть продольные, поперечные (сдвиговые), изгибные, растяжения, поверхностные и крутильные. Они имеют различные скорости распространения в диапазоне от 2000 до 6000 м/с для различных материалов. Положительный опыт использования ШПС на практике указывает также на нереализованные пока потенциальные возможности их, например: в решении задач обмена информацией в средах множественного доступа, защиты информации, повышения точности измерения па-
~ 407 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
раметров объектов радиолокационного наблюдения и др. ШПС могут оказать существенную помощь в деле создания систем виртуальной реальности.
Результаты исследований [3] ШПС, например, использование в качестве меры различимости двух сигналов расстояния d(sk,sl) между концами векторов, отображающих эти сигналы в некотором многомерном пространстве, не могут быть применены в ряде случаев. При наличии имитирующих и ретранслированных помех, указанное расстояние уже не является эффективной мерой различимости полезного сигнала от помех. Необходима дополнительная априорная информация, которую можно было бы использовать для повышения различимости.
Глава 23. ОПТИМИЗАЦИЯ СЕТЕВЫХ СТРУКТУР
23.1.Графовая модель сети
Целесообразность применения того или иного математического аппарата к исследованию объектов материального мира диктуется особенностями физической природы решаемых задач. Для сетевых задач наиболее очевидна целесообразность использования теории графов. В простейшем представлении граф можно рассматривать как набор точек (вершин), соединённых между собой линиями (ветвями). Внешнее сходство с сетью полное.
Результаты теории графов приемлемы для решения задач связности сети – оценивать возможность передать информацию из одной точки в другую, задач о максимальных потоках – оценивать пропускные
~ 408 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
способности сетей и отдельных ветвей. Меняя характеристики узлов и ветвей можно решить множество сетевых задач.
Однако, решения графовых задач довольно громоздкие (даже при малом числе узлов). Поэтому без ЭВМ не обойтись и приходится искать эффективные алгоритмы, позволяющие получать решения за реальное время.
Чтобы граф можно было анализировать математическими методами и применять для этого ЭВМ, характеристики узлов и ветвей вводят в матрицы (массивы данных) и при вычислениях оперируют ими.
Введем некоторые понятия и обозначения. Граф (Рис.23.1) состоит из множества
y2 ○
b23
○ y3
b12
b24
b34
y1 ○
b35
○ y4
b15
y5 ○
Рис.23.1
вершин Y={y1, y2, …, yn} и множества ветвей B={b(i, j )…}, соединяющих вершины друг с другом определённым образом. Множества Y и B конечны. Граф обозначается символом Г=(Y, B).
Узел связи информационной сети отождествляется с вершиной графа, линия связи – с ветвью. Ветви b(i, j) могут быть ориентированы
– направлены из вершины yi в вершину yj. Для этого используются линии со стрелкой. Говорят: ветвь b(i, j ) инцидентна вершине yi по выходу, а вершине yj – по входу, если вершина yi начальная, а yj – конечная.
Вместо обозначений b(i, j) часто используют номера ветвей: b1,b2,…, bL.
~ 409 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
Взвешенные графы те, в которых вершинам и ветвям соответствуют некоторые числа, называемые весами. Например, вершинам приписываются веса: P(i), C(i)…, где i - номер узла; ветвям могут быть приданы веса: C(i,j) – пропускная способность, P(i,j) – вероятностные характеристики, l(i,j) – длина ветвей и т.д.
Характеристики узлов и линий сети сводятся в матрицы типа:
•связности B=║βij║, где βij=1, если в сети существует ветвь b(i,j), или βi=0, если ветви b(i,j) нет.
•длин ветвей L=║lij║,
•ёмкостей ветвей C=║cij║,
•надёжности элементов сети P=║pij║,
•инцидентности U=║uij║ и т.д.
Путь между вершиной i1, где возникает информационный поток,
ивершиной ik, где он завершает своё движение обозначается символом μj(i1, ik). Индекс j указывает на номер пути, поскольку путей следования может быть несколько. Следует учесть, что путь не должен содержать повторяющихся одних и тех же элементов. Каждый путь характеризуется многими параметрами: числом промежуточных элементов, длиной пути, пропускной способностью, надежностью и т.д.
Для удобства анализа сети полезно строить дерево путей – графическое представление путей от определённого пункта ко всем другим пунктам.
Перечень путей с характеристиками заводится в таблицы путей. Общее число ветвей, инцидентных вершине называют степенью
d(j) вершины.
Путь от узла yk к узлу yk через несколько элементов называют циклом, а этот же путь, образованный одной ветвью b(k, k) называют элементарной петлёй.
~410 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
Говорят, что граф связан, если для любой пары вершин yi и yj существует хотя бы один путь μ(i, j). Если нет, то граф несвязный.
Сечением (по ветвям) называют множество ветвей, исключение которых порождает граф с двумя компонентами (или более).
Сечением (по вершинам) называют минимальное множество вершин, изъятие которых делит граф на две и более компонент.
Деревом T=(Y, B) графа Г=(Y, B) называют связный подграф T, содержащий все вершины Г и не содержащий ни одного цикла.
23.2. Методы анализа и синтеза сетей
Задачи анализа относятся к случаям, когда задана структура и характеристики элементов сети, а требуется определить характеристики обслуживаемых потоков. Или, наоборот, заданы характеристики потоков, а необходимо определить потребности в каналах.
Задачи синтеза связаны с построением сети, с поиском лучших структур, алгоритмов обмена информацией. Все эти задачи относятся к классу оптимизационных. При их решении осуществляется выбор лучшего искомого варианта.
Подавляющая часть сетевых задач из-за большого числа переменных и зависимостей между ними могут быть решены в разумные сроки только с помощью ЭВМ. Для решения их следует составить программу, реализующую выбранный метод решения, или использовать уже готовую, «стандартную» программу из библиотеки программ, если таковые есть.
Решение многих задач анализа сетей начинается с определения путей между узлами сети. Одним из наиболее удобных и легко поддающихся машинизации способов определения путей является построение дерева путей. Оно (дерево путей) позволяет определить все
~ 411 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
пути от одного наперёд заданного узла ко всем остальным узлам сети. Перечень путей удобно записывать в виде таблицы путей. Рассмотрим метод построения дерева путей на примере сети, представленной на рис 23.2 для двух узлов: узла 2 и узла 1.
1
2
5
3
Рис.23.2.
4
Матрица связности этой сети:
−
1
0
0
1
−
1
1
Β
1
0
= 0
1
−
1
1
.
1
1
−
1
0
0
1
1
1
−
Строим дерево путей для узла 2 по рис .23.3. Для этого выписываем узел 2 и определяем узлы 1-го яруса. Это будут узлы 1,3 и 4.
1
2 ярус 3 ярус Ядро
5
3
4
1
4
5
2
3
5
1
4
3
4
5
5
1
3
Рис. 23.3
~ 412 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
Они видны из рис. 23.2, но проще пользоваться матрицей связности B. Узлы 1-го яруса определяются по 2-ой строке этой матрицы (т.к. строится дерево путей для 2-го яруса). Учитываются те узлы, которые в матрице B по 2-ой строке отмечены единицами. Узлы 2-го яруса находим аналогично, но с учётом, что:
-исходными являются узлы 1-го яруса (1,3 и 4) и соответственно должны будем использовать 1,3 и 4 строки матрицы B;
-исключаются узлы, для которых были образованы подмножества узлов в предыдущем ярусе (т.е. узел 2);
Тогда 2-ой ярус будет иметь узлы: 5-ый от 1-го; 4-ый и 5-ый от 3- го; 3-ий и 5-ый от 4-го узлов.
Узлы 3-го яруса находим аналогично: для 5-го – по пятой строке матрицы B имеем «1» на 1,3 и 4. Но с 1 связь есть предыдущая. Остаются узлы 3 и 4. Для 4-го по четвёртой строке имеем «1» на позициях 2,3 и 5. Для узлов 2 и 3 были уже образованы подмножества раньше. Остаётся узел 5. Для 5-го имеем 1,3 и 4. Но 3 было раньше. Остаются узлы 1 и 4. Для 3-го имеем единицы по третьей строке в 2,4 и 5 столбцах. Но 2 и 4 было. Остаётся узел 5. Наконец, для 5-го единицами отмечены позиции 1,3 и 4. Ранее было 4. Остаются узлы 1 и 3.Построение
1
2 ярус
3 ярус
4
3
3
2
4
2
5
1
3
4
2
4
5
3
~ 413 ~
Рис. 23.4
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
дерева путей продолжается до h-го яруса, где h- максимально допустимое число переприёмных участков в пути.Аналогично могли бы построить дерево путей для узла 1 (см. рис.23.4).
Интерес представляет машинный алгоритм построения дерева путей для произвольного к-го узла:
Отмечаем узел к и выбираем к-ую строку матрицы B. Выписав номера столбцов к-й строки, в которых значения эле-
ментов матрицы βnj =1, получаем подмножество узлов 1-го яруса, об-
разованное узлом к.
Образуем подмножества узлов r-го яруса (r=2,3,…,h), где h- максимально допустимое число переприёмных участков пути:
а) поочерёдно выбираем узлы (r-1)-го яруса; б) для каждого узла i в (r-1)-ом ярусе выбираем i-ю строку в матрице B и выписываем номера столбцов с βij =1;
в) исключаем номера столбцов, относительно которых были образованы подмножества узлов в предыдущих ярусах, связанных с узлом i, оставшиеся номера столбцов входят в подмножество узлов r-го яруса.
Построение дерева путей продолжается до h-го яруса.
По дереву путей легко проследить пути от заданного узла к другим. Перечень путей между узлами удобно записать в виде таблицы пу-
тей размера k × m, где k – число путей, а m- число ветвей сети. Пусть,
например, h ≤ 3 пути между узлами 2 и 5 будут (рис. 23.2) следующие: M25={2,1,5; 2,3,5; 2,4,5; 2,3,4,5; 2,4,3,5}.
Эти данные занесены в табл. 23.1. В ней каждый столбец соответ-
ствует ветви βij , а каждая строка – одному пути. Элемент таблицы
~ 414 ~
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
2008 год
apq = 1, если ветвь βij принадлежит пути μk , и apq = 0 в противном слу-
чае. Для упрощения записей случаи apq = 0 в таблицу не заносятся.
Таблица 23.1.
βij
β1
β1
β2
β2
β3
β3
β4
μk
μ1
1
1
μ2
1
1
μ3
1
1
μ4
1
1
1
μ5
1
1
1
Оптимизационные задачи на сетях исследуются на модели выбора кратчайшего пути. Сущность этой модели проста. Задаётся сеть, каждой ветви которой соответствует некоторое расстояние. Нужно найти кратчайший путь в заданный узел от любого другого узла сети. Ветви могут измеряться не только единицами длины, но и стоимостью, временем, затрачиваемым на преодоление данного пути и т.д. Поэтому задача выбора кратчайшего пути имеет много приложений. Она может быть сведена к поиску пути минимальной стоимости или пути минимальной продолжительности и т.д. Эта задача в математическом смысле эквивалентна задаче о назначениях и сводится к моделям линейного
программирования, сходных с задачами распределения ресурсов, вы-
~ 415 ~
2008 год
ЧАСТЬ 4. АНАЛИЗ, СИНТЕЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ
бора маршрута и т.д. Однако существуют особенности сетевых моделей, помогающие существенно повысить эффективность процесса отыскания оптимальных решений.
Общая математическая постановка задачи о кратчайшем пути: минимизировать
Σ
∑βij Χij ,
(23.1)
(i, j) сети
где i, j – номера узлов:
β
- длина (стоимость, время, живучесть и т.д.) пути;
ij
xij
= 1, если i-ый узел связан с j-ым узлом, а в остальных случаях xij =
0;
при ограничениях:
1, при k = s (источник)
∑ xkj
− ∑ xik
= 0 для всех остальных к.
(k , j ) сети
(i,k ) сети
при k = r
(сток)
−1,
xij ≥ 0 для всех (i,j)
сети.
В качестве примера рассмотрим следующую формулировку зада-
чи. Дана сеть Γ (B , Υ ), где Υ = {yi
, i- номера узлов, B = bj , j-номера
ветвей. Дано множество Μ = {μk путей, которые могут быть исполь-
зованы для передачи потоков информации между узлами; даны: f i -
емкость пути μi (в числе стандартных каналов) и Ci - вес (ценность)
пути μi , который определяет целесообразность использования его (по
длине, цене и т.п.).
Необходимо определить оптимальную организацию пучков каналов между узлами сети при условии достижения максимума взвешенной суммарной ёмкости сети:
s или 
0 всегда следует выбирать такое, которому соответствует большая величина апостериорной условной вероятности
s, а в обратном случае – решение 
0.
и в сравнении его с некоторым порого-
0.
п = P0 (Пs0 - П00)/ Ps (П0s + Пss).
п . При П00 = Пss = 0 и Пs0 = П0s = 1 получаем правило (19.14), что сви-
s
? 
?1 → 
0 , (19.17)
п другая, она полностью определяется значениями Pобн и Pлт, которые должна обеспечить система обнаружения.
и сравнении его с пороговым значением 
п, зависящим от применяемого критерия.
можно решить, если априори известны хотя бы некоторые данные о полезном сигнале s(t), вероятностные характери-
(t) и характер взаимосвязи между полезным сигналом и помехой. Вначале рассмотрим простейший случай обнаружения при так называемом методе однократного отсчёта. Суть этого метода состоит в том, что в некоторый момент времени ti берётся единственный отсчёт y(ti) = yi реализации входного сигнала. По этому отсчёту необходимо принять решение о наличии или отсутствии полезной составляющей в нём.
где 
– интервал отсчётов сигнала. В этом случае независимость отсчётов входного сигнала полностью обеспечена. Тогда
, то суммы в (19.29) превращаются в интегралы, а величина 
Нет
a + n
y 
y 
1).
3(Р0)2.
а от вели-
, соответствующие своим законам распределения. Оставшийся промежуток l делят пополам . Это и будет пороговое
x
= 
y
=1, так как сигналы нормированы.
