ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МОДЕЛИ ИС |
Часть 3 |
|
|
17.2. Поток событий
Поток событий представляет собой специфический случайный процесс, позволяющий осуществить переход от анализа микропараметров системы к анализу обобщенных характеристик ее.
Любое рассматриваемое событие может иметь несколько характеристик: момент поступления, длительность обслуживания, особенности обслуживания. Потоки таких событий называют неоднородными. Если поток характеризуется одним параметром, то его называют однородным. Нас будут интересовать однородные потоки, задаваемые законом распределения моментов поступления заявок, или законом распределения числа заявок на заданном отрезке времени.
Для такого описания случайного процесса нужно знать многомерный закон распределения его в различные моменты времени. Таких данных практически не бывает. Приходится ограничиваться более простыми описаниями.
Таким вспомогательным процессом является так называемый простейший поток. С его помощью можно описать более сложные процессы.
Простейший поток обладает тремя свойствами:
А) стационарностью – вероятность попадания определенного числа со-
бытий на участок времени длиной τ зависит только от длины участка и не зависит от положения этого участка на оси времени;
Б) ординарностью – вероятность попадания на элементарный участок t двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события (то есть заявки приходят поодиночке, а не парами, тройками и т.д.);
В) без последействия – для любых не перекрывающихся участков времени вероятности попадания на них определённого числа событий, не зави-
~ 295 ~
Часть 3 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МОДЕЛИ ИС
сит от числа событий, попадающих на другие участки (т.е. заявки поступают независимо друг от друга).
Для простейших потоков вероятность того, что за время τ произойдет ровно m событий, подчиняется закону Пуассона и выражается формулой
pm (τ) = |
(λτ)m |
e−λτ , |
(17.1) |
m!
где λ - плотность распределения числа событий.
В простейшем потоке математическое ожидание числа событий и дисперсия числа событий равны величине (λτ).
Второй важной характеристикой простейшего потока является закон распределения длины промежутка между соседними событиями.
Если обозначить через Т – промежуток времени между соседни-
ми событиями, то p(T< t) =F(t) - функция распределения. Вероятность про-
тивоположного события p(T ≥t) =1-F(t) – есть вероятность того, что на участке времени длиной t не появится ни одного события. Она вычисляется по
(17.1) при m=0 и равна величине e-λτ . Поэтому
F(t)=1- e-λτ . |
(17.2) |
Дифференцируя, найдем искомую плотность распределения длины |
промежутка между соседними событиями |
|
w(t)=λ e-λτ . |
(17.3) |
Закон этот называется показательным (или экспоненциальным) с мате-
матическим ожиданием, равным 1/λ, и дисперсией равной 1/λ2 .
Если рассматривать сумму ( к+1) случайных величин, распределенных по показательному закону, то её плотность распределения подчиняется зако-
ну Эрланга к-го порядка |
|
|
|
|
w(x ) = λ(λx )k |
e−λx , x≥0. |
(17.4) |
k! |
|
|
|
|
Математическое ожидание суммарного потока |
|
mk |
= |
k +1 |
. |
|
|
|
|
|
λ |
|
~ 296 ~ |
|
ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МОДЕЛИ ИС |
Часть 3 |
|
|
|
|
|
|
Дисперсия его |
|
|
Dk = |
k +1 |
. |
|
|
|
|
|
|
λ |
|
2 |
|
|
Потоки Эрланга расширяют возможности анализа реальных потоков от слу-
чаев отсутствия последействия (при к=0) до жёсткой функциональной связи
между моментами появления событий (при к=∞).
17.3. СМО с потерями
Классический анализ СМО с потерями принадлежит А.К.Эрлангу. Он исследовал модель, представленную на рис. 17.2. Условия задачи:
Имеется m обслуживающих приборов, каждый из которых доступен,
Приборы
Рис.17.2
когда он свободен, для любой заявки на обслуживание.
Заявки образуют простейший поток событий интенсивности λ . Длительность обслуживания одной заявки одним обслуживающим
прибором подчиняется экспоненциальному распределению g(t)= μ e-μt, t>0, где 1/ μ – средняя длительность обслуживания.
Если в момент поступления заявки все приборы заняты, то заявка теряется.
Требуется определить вероятности pk(t), k = 0,1,…,m, состояний системы, то есть вероятности того, что в любой момент времени t будет занято
ровно k обслуживающих приборов.
~ 297 ~
Часть 3 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МОДЕЛИ ИС
Процесс функционирования данной СМО удобно представить марковской цепью. Она характеризуется вероятностями состояний и вероятностями переходов из одних состояний в другие.
Рассмотрим случай для m=2. Тогда система будет иметь три состояния: k=0 –свободны все приборы, k=1 - занят один прибор, k=2 – заняты оба
Рис.17.3
прибора. Диаграмма переходов из состояния в состояние показана на Рис.17.3. Для исследования поведения системы в любой момент времени составляют систему дифференциальных уравнений по методу, хорошо изложенному в учебнике Е.С. Вентцель [1]. Решения указанных уравнений полезны для анализа переходных процессов в системе. В установившемся режиме анализ существенно упрощается: достаточно воспользоваться уравнением равновесного состояния. Оно сходно уравнению Кирхгофа в электротехнике и выражает тот факт, что интенсивность потока из любого состояния равна суммарной интенсивности потока в это же состояние. Анализ удобно проводить по диаграмме переходов, представленной на Рис.17.4.
Формула равновесного состояния (уравнение баланса):
λpk-1= k μ pk.. |
(17.6) |
|
~ 298 ~ |
ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МОДЕЛИ ИС |
Часть 3 |
|
|
Рис.17.4.
При k=1 имеем: λp0=μp1,
или p1=ρp0, (17.7)
где ρ=λ/μ.
При к=2 из того же уравнения получаем:
|
|
|
|
p |
|
|
= |
ρ |
p = |
ρ2 |
p |
|
. |
|
|
|
|
k |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
В общем случае имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pk = |
ρ k |
p0 |
|
|
|
|
|
|
(17.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует также помнить, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ pk |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
(17.9) |
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда, с учетом (17.8), получаем, что |
|
|
|
|
p0 = |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
(17.10) |
|
m |
k |
|
|
|
|
|
∑ |
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
Витоге формула (17.8) принимает вид
ρk
∑i=0 ρi!
и называется формулой Эрланга.
Она дает предельный закон распределения числа занятых каналов в зависимости от характеристик потока заявок и производительности приборов обслуживания.
~ 299 ~
Часть 3 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МОДЕЛИ ИС
При k=m из (17.11) получаем вероятность того, что поступившая заявка найдет все приборы занятыми, то есть вероятность отказа pотк = pm.
Если в системе только один прибор, то вероятность свободного состоя-
ния:
Вероятность отказа
P1 = 
⁄(1 + 
). (17.13)
Среднее число повторных попыток получить доступ к обслуживаемому прибору
17.4. СМО с ожиданием
Условия задачи отличаются от рассмотренных в разделе 15.3 тем, что здесь предусмотрена очередь для заявок, заставших все приборы обслуживания занятыми. От этого меняется число возможных состояний системы: еще добавляются состояния, определяемые числом заявок в очереди, а очередь может быть до бесконечности. Возникает необходимость определения времени нахождения заявок в очереди, числа заявок в очереди.
Рассмотрим подробно СМО с ожиданием с одним прибором обслуживания и бесконечной очередью. Для нее диаграмма переходов из состояния в состояние показана на рис. 17.5.
λ |
λ |
λ |
|
λ |
|
λ |
λ |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
• • • |
n-1 |
|
|
|
|
|
|
n |
n+1 |
• • • |
|
|
|
|
ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МОДЕЛИ ИС |
Часть 3 |
|
|
В этой системе интенсивность перехода « вверх» равна λ , а «вниз» –
равна μ.
Уравнение равновесного состояния имеет вид λPn-1 = μPn. Отсюда:
|
Pn=ρ Pn-1=… = ρnpo, |
|
|
(17.16) |
|
∞ |
∞ |
|
|
p0 |
|
|
|
∑pn =1 = p0 |
∑ρn = |
|
|
, |
(17.17) |
|
1 |
− ρ |
|
n=0 |
n=0 |
|
|
|
p0=1-ρ, |
|
|
|
|
|
(15.18) |
|
pn=ρn(1-ρ). |
|
|
|
|
|
(17.19) |
Из (17.18) можно заключить, что величина ρ характеризует коэффициент использования прибора.
Среднее число требований в системе
|
|
∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
N= ∑npn |
= ∑nρn (1− ρ) = |
|
. |
(17.20) |
|
1− ρ |
|
n=0 |
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Существует теорема Литтла, которая утверждает, что в равновесном |
|
состоянии среднее число N требований (заявок) в системе и среднее время T |
|
нахождения заявки в системе связаны соотношением |
|
N=λT. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17.21) |
|
Теорема имеет широкий диапазон применений. С учётом её, для наше- |
|
го примера (17.20) получаем |
|
|
|
|
|
T = |
N |
= |
|
|
ρ |
|
= |
1 |
. |
|
|
|
(17.22) |
|
|
|
λ(1− ρ) |
μ − λ |
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее время нахождения заявки в очереди |
|
W =T − |
1 |
= |
|
|
ρ |
|
|
. |
|
|
|
|
(17.23) |
|
μ |
|
μ − λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее число заявок в очереди определяется по теореме Литтла
~ 301 ~
Часть 3 ФОРМАЛИЗОВАННЫЕ МОДЕЛИ ИС
NQ = λW = |
λρ |
= |
|
|
ρ2 |
. |
(17.24) |
μ −λ |
1 |
|
|
|
− ρ |
|
Если число приборов в СМО равно m , то имеем два равновесных уравнения:
λpn-1= n μpn при n≤ m
λpn-1= m μp pn при n>m.
Из них получаем
Вероятность того, что все приборы будут заняты и надо вставать в очередь, равна
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
p (mρ)m |
|
|
|
|
|
|
|
|
PQ = ∑pn |
= |
0 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
(17.27) |
|
m!(1− ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее число заявок в очереди |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
NQ = ∑npm +n |
= ∑npm +n |
= pQ |
|
|
. |
(17.28) |
|
1 |
− ρ |
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
Отношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N Q |
|
= |
ρ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17.29) |
|
|
p |
1− ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По теореме Литтла: |
|
|
|
|
|
|
|
|
W = |
|
N Q |
= |
|
ρ pQ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
(17.30) |
|
|
|
|
|
λ(1− ρ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T = |
1 |
+W , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(17.31) |
|
μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ 302 ~ |
