Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Учебные материалы ИКНТ 1-8 семестры / 7 семестр / Куликов К.Г., Фирсов А.Н. Уравнения и методы математической физики. 2011

.pdf
Скачиваний:
423
Добавлен:
21.03.2016
Размер:
3.81 Mб
Скачать

факторов, подводящих или рассеивающих энергию. Неоднородность в начальных условиях означает, что в начальный момент процесс обладал некоторым запасом энергии, который он и сохраняет в течение всего колебания. Изложенный метод доказательства единственности решения смешанной задачи называется энергетическим и широко используется при установлении различных теорем единственности.

3.12. КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ МЕМБРАНЫ

Рассмотрим малые колебания однородной прямоугольной мембраны со сторонами p и q, закрепленной по контуру. Эта задача сводится к решению волнового уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2u

 

a

2

 

2u

 

2u

 

 

 

(3.113)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при граничных условиях

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

x 0 0,

 

 

 

0,

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

0

 

(3.114)

 

u

 

x p

 

u

 

y 0

u

 

 

y q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и начальных условиях

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

t 0 0

(x, y),

u

 

 

 

 

 

1 (x, y) .

 

 

 

 

 

 

(3.115)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Будем искать частные решения уравнения (3.113) в виде

 

 

 

 

 

u(x, y,t) T (t)v(x, y).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.116)

Подставляя (3.116) в уравнение (3.113), получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T '' (t)

 

 

 

vxx

vyy

 

 

k

2

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2T (t)

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда, принимая во внимание граничные условия (3.114), будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T '' (t) a2k 2T (t) 0,

 

(3.117)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

2v

 

2v

k 2v 0,

 

 

 

(3.118)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

 

 

 

0,

 

 

 

 

0,

 

 

 

0.

(3.119)

 

 

 

 

v

 

x 0

v

 

x p

 

v

 

y 0

 

v

 

y q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем собственные значения и собственные функции задачи (3.117), 3.119). Положим

 

 

 

 

 

 

v(x, y) X (x)Y ( y).

(3.120)

 

 

Подставляя (3.120) в уравнение (3.118), получим

 

Y"

k 2

 

X ''

,

откуда получаем два уравнения

 

Y

 

X

 

 

 

 

 

 

61

 

 

X "(x) k 2 X (x) 0,

 

Y"( y) k 2Y ( y) 0,

 

(3.121)

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

2

k

2

k

2 .

 

 

 

 

(3.122)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Общие решения уравнений (3.121) имеют следующий вид:

 

X (x) C1 cosk1 x C2 sin k1 x;

Y ( y) C3

cosk2 y C4 sin k2 y.

(3.123)

Из граничных условий получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

X (0) 0,

X ( p) 0,

 

Y (0) 0,

 

Y (q) 0, откуда ясно,

что C1 C3

0,и, если

мы положим

C2 C4

1, то окажется

X (x) sin k1 x,

Y ( y) sin k2 y, причем

должно быть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin k1 p 0,

 

sin k2q 0.

 

(3.124)

Из уравнений (3.124) вытекает, что k1 u k2

имеют бесчисленное множество

значений k

 

m

,

 

k

 

 

n

 

 

(m, n 1,2,3,...). Тогда

 

 

 

 

2,n

 

 

 

 

 

1,m

 

p

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

2

 

 

2

m2

 

n2

 

 

 

 

 

 

k

m,n

k

 

 

k

2,n

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

(3.125)

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1,m

 

 

 

 

 

p

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, собственным значениям (3.125) соответствуют собственные

функции v (x, y) sin

m x

sin

n y

граничной задачи (3.118), (3.119).

 

 

 

 

mn

 

p

q

 

 

 

 

Обращаясь теперь к уравнению (3.117), мы видим, что для каждого

собственного значения k 2 k 2

его общее решение имеет вид

 

 

 

 

mn

 

 

 

 

Tmn (t) Amn cosakmnt Bmn sin akmnt,

(3 .126)

где Amn , u Bmn произвольные постоянные.

Таким образом, частные решения уравнения (3.113) имеют вид

umn (x, y,t) ( Amn cosakmnt Bmn sin akmnt) sin m x sin n y (m, n 1,2,...). p q

Чтобы удовлетворить начальным условиям составим ряд

u(x, y,t) ( Amn cosakmnt Bmn sin akmnt)sin m x sin n y .

 

 

 

m,n 1

p

q

Если этот ряд равномерно сходится, так же как и ряды, полученные из него двукратным почленным дифференцированием по x,y,t, то сумма его, очевидно, будет удовлетворять уравнению (3.113) и граничным условиям (3.114). Для выполнения начальных условий необходимо, чтобы

u 0

(x, y) Amn sin m x sin n y

 

 

 

 

 

 

 

t 0

m,n 1

p

 

q

 

 

 

 

 

62

 

 

 

u

 

 

1

(x, y) akmn Bmn sin m x sin n y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 0

 

 

 

m,n 1

 

 

 

p

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эти

формулы

 

представляют собой

разложение заданных

функций

0 (x, y) u 1(x, y)

в двойной ряд Фурье

 

по

 

синусам.

Коэффициенты

разложений определяются по формулам

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

4

p q

 

(x, y)sin

m x

sin

n y

dxdy, B

 

 

4

 

 

p q (x, y)sin

m x

sin

n y

dxdy.

 

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mn

pq

0

 

 

 

 

 

p

 

q

mn

 

 

ak

 

 

 

1

 

p

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mn

pq 0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3.5. Найти закон свободных колебаний квадратной мембраны со стороной l, если в начальный момент отклонение в каждой точке

определялось равенством u(x, y,t) t 0 100l sin lx sin ly . Начальная скорость равна нулю. Вдоль контура мембрана закреплена.

В

рассматриваемом

 

случае

 

(x, y)

l

 

sin

x

sin

 

y

,

(x, y) 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

100

 

 

l

 

 

l

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, Bmn 0,

m 1,2,..,

n 1,2,...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

l l

 

l

 

x

 

y

 

m x

 

 

n y

 

 

 

 

 

 

Amn

 

 

 

 

sin

 

sin

 

 

sin

 

 

 

sin

 

 

 

dxdy.

 

 

l 2

100

l

 

l

l

l

 

 

 

0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В силу

ортогональности

 

тригонометрической

системы

функций только

A11 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а все остальные

Следовательно,

Упражнения.

 

 

0.

 

 

 

4

 

 

l

 

 

 

2

x

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Amn

A11

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

l

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

100l 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 1 l

 

 

 

2 x

 

 

 

2

 

 

1

 

 

 

 

l

l

 

2 x

 

l

2

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

x

 

0

2

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

100l 2

0

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

100l

 

 

 

 

l

 

0

 

 

100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(x, y,t)

 

l

 

cos

a

 

 

2

t sin

x sin

y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

100

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.5. Струна длины l , закрепленная на концах, изогнута так, что она приняла форму синусоиды u 2sin lx , и отпущена без начальной скорости. Найти

закон колебания струны.

Ответ. u(x,t) 2 cos atl sin lx .

63

3.6. Струна с закрепленными концами x=0

и

x =l в начальный момент

времени

имеет

 

 

 

форму,

 

определяемую

уравнением u(x,0) 2sin

5 x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

Начальные

скорости

 

точек

струны

 

 

определяются

формулой

u(x,0) 3sin

4 x

. Найти смещение u(x,t) точек струны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ.

u(x,t)

3l

 

sin

4 at

sin

4 x

2 cos

5 at

sin

 

5 x

.

 

 

 

 

 

 

 

4 a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

3.7 Решить уравнение 2u

2u

bx(x l) при нулевых начальных и краевых

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 2

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

условиях u(0,t) 0,

u(l,t) 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

cos

(2n 1) t

sin

(2n 1) x

 

 

 

 

 

 

 

 

bx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8l

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

Ответ.

u(x, t)

 

 

 

(x

 

2x

l l

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

12

 

 

5

 

 

 

 

(2n 1)5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 0

 

 

 

 

 

 

 

 

3.8. Найти закон колебаний струны, концы которой закреплены в точках x=-l и x=l , а в начальный момент времени точки струны отклонены по параболе, симметричной относительно центра струны, причем максимальное начальное смещение равно h.

Ответ. u(x,t)

32h ( 1)

n

cos 2n 1 x cos

2n 1 at.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

n 0 (2n 1)3

 

2l

2l

4.УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

4.1.ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ СТЕРЖНЯ

Рассмотрим однородный теплоизолированный с боков стержень конечной длины l, имеющий постоянную по длине толщину, и настолько тонкий, чтобы в любой момент времени температуру тела во всех точках поперечного сечения можно было бы считать одинаковой.

Выберем ось x (направив ее по оси стержня) так, чтобы стержень совпадал с отрезком [0;l] оси x (см. рис. 4.1).

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

x x

 

 

Рис. 4.1

64

Обозначим температуру стержня в сечении x в момент t через u(x,t). Тогда функция u=u(x,t) дает закон распределения температуры в стержне. Выведем дифференциальное уравнение для этой функции.

Выделим элемент стержня [x,x+ x] и составим для него уравнение теплового баланса, согласно которому скорость изменения количества тепла в рассматриваемом объеме (изменение количества тепла в единицу времени), обусловленная теплоемкостью материала, равна количеству тепла, поступившему в этот объем в единицу времени вследствие теплопроводности. Скорость изменения тепла в выделенном элементе

стержня равна

x x

 

u(x, t) dx,

где с теплоемкость материала стержня;

 

c s

 

x

 

t

 

плотность; s площадь поперечного сечения. Применяя к этому интегралу

 

x x

 

u(x,t)

теорему о среднем, получим

 

c s

 

x

 

t

dx c s u(x 1 x,t) x, где

t

0 1 1. Теперь найдем количества тепла, поступившее в выделенный элемент стержня за единицу времени. Так как стержень теплоизолирован с боков, то тепло может поступать только через сечения, ограничивающие выделенный элемент стержня. Известно, что количество тепла, протекающее

через сечение с абсциссой x за единицу времени, равно

коэффициент теплопроводности, а s площадь сечения. количество тепла равно

k u(x, t) s , где k

x

Поэтому искомое

ks

u(x, t)

 

k

u(x x, t)

 

u(x x, t)

 

u(x, t)

 

x

s

x

s

ks

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ks 2u(x 2 x, t) x,x2

где 0 2 1 (здесь применяется формула конечных приращений Лагранжа к

функции u(x, t) ). Составим уравнение теплового баланса

x

c s

u(x x,t)

x ks

2u(x x,t)

x.

1

2

 

 

 

 

t

 

x2

 

Разделим обе части этого уравнения на s x (объем выделенного элемента стержня) и устремим x к нулю (стягивая выделенный элемент стержня к сечению). Получим

u(x,t)

a2

2u(x,t)

 

 

k

 

 

 

 

a2

 

.

(*)

 

 

 

t

 

x2

 

 

c

 

65

Это уравнение

называется

уравнением теплопроводности для

 

 

 

 

 

 

 

однородного стержня.

Величина

a

k

 

называется коэффициентом

 

 

c

 

 

 

 

 

 

температуропроводности. Искомая функция u(x,t) должна удовлетворять уравнению (*), начальному условию

u(x, t) t 0 u(x,0) (x) (0 x l), где (x) заданная функция от x (это условие выражает закон распределения температуры по длине стержня в начальный момент времени t =0), и граничным условиям

u(x,t)

 

 

u(0,t) (t),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

1

 

(0 t ),

 

 

 

u(x,t)

 

 

 

 

где (t) и

(t)

заданные

 

 

u(l,t) (t).

 

1

2

 

 

 

x l

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функции от времени t. Они определяют температуру, поддерживаемую на концах стержня. Отметим, что уравнение не учитывает тепловой обмен между поверхностью стержня и окружающим пространством.

4.2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В КОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ

Если стержень имеет конечную длину l и занимает отрезок 0 x l оси Ox , то для постановки задачи о распространении тепла в таком стержне помимо уравнения

u a2 2u f x,t ,

t x2

если источники отсутствуют, то уравнение теплопроводности принимает вид

 

 

u

a2

2u

,

 

 

 

t

x2

 

 

 

 

 

и начального условия u

 

t 0

(x)

необходимо задать еще температурный

 

x 0 и

x l , т. е. задать граничные условия.

режим на концах стержня

Граничные условия могут быть различными в зависимости от температурного режима на концах стержня. Рассматривают три основных типа граничных условий.

1. На концах стержня задана температура

u(0, t) 1 (t), u(l, t) 2 (t),

где 1 (t) , 2 (t) – функции, заданные для отрезка времени 0 t T , в течение которого изучается процесс.

2. На концах стержня заданы значения производной

66

u

 

 

v1

(t),

u

 

 

v2

(t).

 

 

x

 

 

x

 

 

 

x 0

 

 

 

x l

 

 

 

 

 

 

 

 

Эти условия возникают, если задана величина теплового потока Q, протекающего через торцевое сечение стержня. Например, если для x l задана величина Q(l,t) , то

Q(l,t) k

u

 

 

,

 

 

x

 

x l

 

 

 

 

откуда u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

(t) , где

v

(t)

Q(l,t)

. Если v (t) (или

v (t) ) тождественно

 

2

 

x

 

 

 

2

 

k

1

2

 

x l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

равна нулю, то говорят, что соответствующий конец стержня теплоизолирован.

3. На концах стержня заданы линейные соотношения между функцией и ее производной

u

 

 

u(0,t) (t) ,

u

 

 

u(l,t) (t) ,

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

 

 

x 0

 

 

x l

 

 

 

 

 

где (t) – известная функция – температура окружающей среды,

коэффициент теплообмена. Это граничное условие соответствует теплообмену по закону Ньютона на поверхности тела с окружающей средой, температура которой (t) .

Пользуясь двумя выражениями для теплового потока, протекающего

через сечение x l ,

Q h(u ) и

Q k

u

 

, получаем формулировку

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

третьего граничного условия в виде

 

 

 

 

 

 

 

u

 

u(l,t) (t) ,

h

.

 

 

 

x

 

 

 

 

x l

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

Для сечения x 0 стержня третье граничное условие имеет вид

 

 

 

u

 

 

u(0,t) (t) ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

k

u

при x 0 имеем

 

 

 

 

поскольку для теплового потока

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

x

 

 

 

(внешняя нормаль к стержню в конце x 0 противоположна по направлению с осью Ox ).

Перечисленные основные задачи далеко не исчерпывают возможных краевых задач для уравнения

67

ut a2uxx f (x,t).

Например, на разных концах стержня могут задаваться условия разных типов. Мы ограничимся рассмотрением первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности.

Задача ставится так: найти решение u(x,t) уравнения

 

 

 

 

 

u a2

2u

f x,t

 

(4.1)

 

 

 

 

 

t

x2

 

 

 

 

в области

 

0 x l, t 0,

u(x,t) C 2 0 x l, t 0 ,

удовлетворяющее

начальному условию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x),

 

 

0 x l,

 

 

 

 

 

 

u

t 0

 

 

 

(4.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и граничным условиям

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

x 0

1 (t),

 

u

 

x l

2 (t),

t 0.

(4.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Считаем,

что

функция

 

 

u(x,t)

непрерывна в

замкнутой области

D 0 x l,

0 t T ,

для чего необходимо, чтобы функции (x) , 1 (t) , 2 (t)

были непрерывными

и выполнялись

условия

согласования (0) 1 (0) ,

(l) 2 (0).

Замечание. Как и для уравнений гиперболического типа, функция u(x,t) ищется только для 0 x l и t 0 (но не при t 0, x 0 и t 0, x l , где значения функции u(x,t) заранее задаются начальными и граничными условиями).

Сформулируем принцип максимального значения.

Теорема 4.1. Если функция u(x,t) C(D) , удовлетворяет уравнению

теплопроводности

u

a2 2u

в точках области 0 x l, 0 t T , то

 

t

x2

 

максимальное и минимальное значения функции u(x,t) достигаются или в начальный момент времени t 0, или в точках границы на отрезках x 0 или x l .

Физический смысл этой теоремы очевиден: если температура тела не превосходит некоторого значения М в граничных точках или в начальный момент, то внутри тела (источники отсутствуют!) не может возникнуть температура, большая М.

Как следствия из принципа максимального значения вытекают теоремы.

68

u(x,t)

Теорема 4.2 (единственности). Решение

задачи (4.1) – 4.3) в

прямоугольнике 0 x l, 0 t T единственно.

 

Теорема 4.3. Решение задачи (4.1) – (4.3) непрерывно зависит от начальных и граничных функций.

4.3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА В ОГРАНИЧЕННОМ СТЕРЖНЕ МЕТОДОМ ФУРЬЕ

Задача о распространении тепла в теплоизолированном с боков стержне длины l приводится к нахождению решения уравнения

u a2 2ut x2

в области 0 x l, 0 t <+ , удовлетворяющего начальному условию

u(x,0) (x)

(0 x l)

u(0,t) (t),

и граничным условиям 1 (0 t ). u(l,t) 2 (t)

(4.4)

(4.5)

Ограничимся рассмотрением случая, когда на концах поддерживается постоянная температура, т.е. когда граничные имеют вид:

u(0,t) 0

const,

(0 t ).

u(l,t) 1

const

 

 

 

стержня

условия

(4.6)

Не умаляя общности можно считать, что u0 0, u1 0, ибо в противном случае этого всегда можно добиться при помощи замены искомой функции по формуле

 

 

 

 

 

v(x,t) u(x,t) u

0

1 0 x,

(4.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где v новая неизвестная функция. Действительно, так как

 

v

 

u

,

2v

 

2v

,

то функция v удовлетворяет тому же уравнению, что и

t

t

x2

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функция и:

v

a2

2v

. Далее из (4.7) и (4.6) следует, что

 

t

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v(0, t) 0,

(0 t ). v(l, t) 0

69

Таким образом, достаточно найти решение уравнения (4.4), удовлетворяющее начальному условию (4.5) и граничным условиям

u(0,t) 0,

(0 t ). u(l,t) 0

Как и в случае волнового уравнения, будем искать решение уравнения (4.4) в виде произведения двух функций

 

 

u X (x)T (t) ,

(4.8)

одна из

которых зависит

только от x,

а другая только

от t; причем

X (x) 0

и T (t) 0 , ибо

в противном

случае u(x,t) 0, что

невозможно:

функция и 0 не удовлетворяет начальному условию (4.5), поскольку предполагается, что (x) 0.

В силу граничных условий функция X(x) должна обращаться в нуль на

концах интервала [0; l ]:

X (0) 0

X (l) 0. Подставляя (4.8) в (4.4), получим

 

 

X (x) T ' (t) a2 X '' (x) T (t)

или

T ' (t)

 

X '' (x)

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2T (t)

X (x)

 

 

 

Отсюда

заключаем,

что функции X (x) и T (t) должны

быть

решениями однородных линейных дифференциальных уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X '' X 0

 

 

 

 

(4.9)

 

 

 

 

 

 

 

 

T ' a2 T 0

 

 

 

 

(4.10)

Ненулевые решения уравнения (4.9) существуют только при k ,

k 2

(k 1,2,..),

причем

в

качестве этих решений можно

взять

где k

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функции

X

 

sin

k

x

(k 1,2,...).

Заменяя в уравнении (4.10)

на

 

,

k

 

k

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

ak

2

 

 

 

 

 

 

 

 

получаем

уравнение

Tk

 

 

 

Tk 0. Его

общим

решением

будет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ak 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

c e l

 

 

, где

c

k

произвольная

постоянная,

k

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

взятому значению k .

Подставляя найденные значения

(4.8), получим решение уравнения (4.4) в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ak

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

u

k

(x,t) c

k

e

 

 

 

sin

x (k 1,2,..).

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

соответствующая

X X k u T Tk в

(4.11)

70