
Учебные материалы ИКНТ 1-8 семестры / 7 семестр / Куликов К.Г., Фирсов А.Н. Уравнения и методы математической физики. 2011
.pdfфакторов, подводящих или рассеивающих энергию. Неоднородность в начальных условиях означает, что в начальный момент процесс обладал некоторым запасом энергии, который он и сохраняет в течение всего колебания. Изложенный метод доказательства единственности решения смешанной задачи называется энергетическим и широко используется при установлении различных теорем единственности.
3.12. КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ МЕМБРАНЫ
Рассмотрим малые колебания однородной прямоугольной мембраны со сторонами p и q, закрепленной по контуру. Эта задача сводится к решению волнового уравнения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2u |
|
a |
2 |
|
2u |
|
2u |
|
|
|
(3.113) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
при граничных условиях |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
u |
|
x 0 0, |
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
0 |
|
(3.114) |
|||||||||||||||||||||
|
u |
|
x p |
|
u |
|
y 0 |
u |
|
|
y q |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
и начальных условиях |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
u |
|
t 0 0 |
(x, y), |
u |
|
|
|
|
|
1 (x, y) . |
|
|
|
|
|
|
(3.115) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Будем искать частные решения уравнения (3.113) в виде |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
u(x, y,t) T (t)v(x, y). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.116) |
|||||||||||||||||||
Подставляя (3.116) в уравнение (3.113), получим |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T '' (t) |
|
|
|
vxx |
vyy |
|
|
k |
2 |
. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2T (t) |
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Отсюда, принимая во внимание граничные условия (3.114), будем иметь |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T '' (t) a2k 2T (t) 0, |
|
(3.117) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
2v |
|
2v |
k 2v 0, |
|
|
|
(3.118) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
0, |
|
|
|
|
0, |
|
|
|
0. |
(3.119) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
v |
|
x 0 |
v |
|
x p |
|
v |
|
y 0 |
|
v |
|
y q |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем собственные значения и собственные функции задачи (3.117), 3.119). Положим
|
|
|
|
|
|
v(x, y) X (x)Y ( y). |
(3.120) |
|
|
Подставляя (3.120) в уравнение (3.118), получим |
|
||||
Y" |
k 2 |
|
X '' |
, |
откуда получаем два уравнения |
|
|
Y |
|
X |
|
||||
|
|
|
|
|
61

|
|
X "(x) k 2 X (x) 0, |
|
Y"( y) k 2Y ( y) 0, |
|
(3.121) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
2 |
k |
2 |
k |
2 . |
|
|
|
|
(3.122) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Общие решения уравнений (3.121) имеют следующий вид: |
|
||||||||||||||||||||||||
X (x) C1 cosk1 x C2 sin k1 x; |
Y ( y) C3 |
cosk2 y C4 sin k2 y. |
(3.123) |
||||||||||||||||||||||
Из граничных условий получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
X (0) 0, |
X ( p) 0, |
|
Y (0) 0, |
|
Y (q) 0, откуда ясно, |
что C1 C3 |
0,и, если |
||||||||||||||||||
мы положим |
C2 C4 |
1, то окажется |
X (x) sin k1 x, |
Y ( y) sin k2 y, причем |
|||||||||||||||||||||
должно быть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin k1 p 0, |
|
sin k2q 0. |
|
(3.124) |
|||||||||||||
Из уравнений (3.124) вытекает, что k1 u k2 |
имеют бесчисленное множество |
||||||||||||||||||||||||
значений k |
|
m |
, |
|
k |
|
|
n |
|
|
(m, n 1,2,3,...). Тогда |
|
|
||||||||||||
|
|
2,n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1,m |
|
p |
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
m2 |
|
n2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
k |
m,n |
k |
|
|
k |
2,n |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(3.125) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1,m |
|
|
|
|
|
p |
|
q |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, собственным значениям (3.125) соответствуют собственные
функции v (x, y) sin |
m x |
sin |
n y |
граничной задачи (3.118), (3.119). |
|
||
|
|
|
|||||
mn |
|
p |
q |
|
|||
|
|
|
|||||
Обращаясь теперь к уравнению (3.117), мы видим, что для каждого |
|||||||
собственного значения k 2 k 2 |
его общее решение имеет вид |
|
|||||
|
|
|
mn |
|
|
|
|
|
Tmn (t) Amn cosakmnt Bmn sin akmnt, |
(3 .126) |
где Amn , u Bmn произвольные постоянные.
Таким образом, частные решения уравнения (3.113) имеют вид
umn (x, y,t) ( Amn cosakmnt Bmn sin akmnt) sin m x sin n y (m, n 1,2,...). p q
Чтобы удовлетворить начальным условиям составим ряд
u(x, y,t) ( Amn cosakmnt Bmn sin akmnt)sin m x sin n y . |
||
|
|
|
m,n 1 |
p |
q |
Если этот ряд равномерно сходится, так же как и ряды, полученные из него двукратным почленным дифференцированием по x,y,t, то сумма его, очевидно, будет удовлетворять уравнению (3.113) и граничным условиям (3.114). Для выполнения начальных условий необходимо, чтобы
u 0 |
(x, y) Amn sin m x sin n y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
t 0 |
m,n 1 |
p |
|
q |
|
|
||||
|
|
|
62

|
|
|
u |
|
|
1 |
(x, y) akmn Bmn sin m x sin n y . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 0 |
|
|
|
m,n 1 |
|
|
|
p |
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Эти |
формулы |
|
представляют собой |
разложение заданных |
функций |
||||||||||||||||||||
0 (x, y) u 1(x, y) |
в двойной ряд Фурье |
|
по |
|
синусам. |
Коэффициенты |
||||||||||||||||||||
разложений определяются по формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
A |
4 |
p q |
|
(x, y)sin |
m x |
sin |
n y |
dxdy, B |
|
|
4 |
|
|
p q (x, y)sin |
m x |
sin |
n y |
dxdy. |
||||||||
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
mn |
pq |
0 |
|
|
|
|
|
p |
|
q |
mn |
|
|
ak |
|
|
|
1 |
|
p |
|
q |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mn |
pq 0 0 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3.5. Найти закон свободных колебаний квадратной мембраны со стороной l, если в начальный момент отклонение в каждой точке
определялось равенством u(x, y,t) t 0 100l sin lx sin ly . Начальная скорость равна нулю. Вдоль контура мембрана закреплена.
В |
рассматриваемом |
|
случае |
|
(x, y) |
l |
|
sin |
x |
sin |
|
y |
, |
(x, y) 0. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
100 |
|
|
l |
|
|
l |
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Следовательно, Bmn 0, |
m 1,2,.., |
n 1,2,... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
4 |
l l |
|
l |
|
x |
|
y |
|
m x |
|
|
n y |
|
|
|
|
|
|||||
|
Amn |
|
|
|
|
sin |
|
sin |
|
|
sin |
|
|
|
sin |
|
|
|
dxdy. |
|
||||
|
l 2 |
100 |
l |
|
l |
l |
l |
|
||||||||||||||||
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу |
ортогональности |
|
тригонометрической |
системы |
функций только |
|||||||||||||||||||
A11 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а все остальные
Следовательно,
Упражнения.
|
|
0. |
|
|
|
4 |
|
|
l |
|
|
|
2 |
x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Amn |
A11 |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
l |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
100l 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4 1 l |
|
|
|
2 x |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
l |
l |
|
2 x |
|
l |
2 |
|
|
l |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
x |
|
0 |
2 |
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
100l 2 |
0 |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100l |
|
|
|
|
l |
|
0 |
|
|
100 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
u(x, y,t) |
|
l |
|
cos |
a |
|
|
2 |
t sin |
x sin |
y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.5. Струна длины l , закрепленная на концах, изогнута так, что она приняла форму синусоиды u 2sin lx , и отпущена без начальной скорости. Найти
закон колебания струны.
Ответ. u(x,t) 2 cos atl sin lx .
63

3.6. Струна с закрепленными концами x=0 |
и |
x =l в начальный момент |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
времени |
имеет |
|
|
|
форму, |
|
определяемую |
уравнением u(x,0) 2sin |
5 x |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
Начальные |
скорости |
|
точек |
струны |
|
|
определяются |
формулой |
|||||||||||||||||||||||||||
u(x,0) 3sin |
4 x |
. Найти смещение u(x,t) точек струны. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
t |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. |
u(x,t) |
3l |
|
sin |
4 at |
sin |
4 x |
2 cos |
5 at |
sin |
|
5 x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4 a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|||||||
3.7 Решить уравнение 2u |
2u |
bx(x l) при нулевых начальных и краевых |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
условиях u(0,t) 0, |
u(l,t) 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
cos |
(2n 1) t |
sin |
(2n 1) x |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
bx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8l |
|
l |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ. |
u(x, t) |
|
|
|
(x |
|
2x |
l l |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||
12 |
|
|
5 |
|
|
|
|
(2n 1)5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.8. Найти закон колебаний струны, концы которой закреплены в точках x=-l и x=l , а в начальный момент времени точки струны отклонены по параболе, симметричной относительно центра струны, причем максимальное начальное смещение равно h.
Ответ. u(x,t) |
32h ( 1) |
n |
cos 2n 1 x cos |
2n 1 at. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
n 0 (2n 1)3 |
|
2l |
2l |
4.УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
4.1.ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ СТЕРЖНЯ
Рассмотрим однородный теплоизолированный с боков стержень конечной длины l, имеющий постоянную по длине толщину, и настолько тонкий, чтобы в любой момент времени температуру тела во всех точках поперечного сечения можно было бы считать одинаковой.
Выберем ось x (направив ее по оси стержня) так, чтобы стержень совпадал с отрезком [0;l] оси x (см. рис. 4.1).
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||
|
x |
x x |
|||
|
|
Рис. 4.1 |
64
Обозначим температуру стержня в сечении x в момент t через u(x,t). Тогда функция u=u(x,t) дает закон распределения температуры в стержне. Выведем дифференциальное уравнение для этой функции.
Выделим элемент стержня [x,x+ x] и составим для него уравнение теплового баланса, согласно которому скорость изменения количества тепла в рассматриваемом объеме (изменение количества тепла в единицу времени), обусловленная теплоемкостью материала, равна количеству тепла, поступившему в этот объем в единицу времени вследствие теплопроводности. Скорость изменения тепла в выделенном элементе
стержня равна |
x x |
|
u(x, t) dx, |
где с теплоемкость материала стержня; |
|
c s |
|||
|
x |
|
t |
|
плотность; s площадь поперечного сечения. Применяя к этому интегралу
|
x x |
|
u(x,t) |
теорему о среднем, получим |
|
c s |
|
|
x |
|
t |
dx c s u(x 1 x,t) x, где
t
0 1 1. Теперь найдем количества тепла, поступившее в выделенный элемент стержня за единицу времени. Так как стержень теплоизолирован с боков, то тепло может поступать только через сечения, ограничивающие выделенный элемент стержня. Известно, что количество тепла, протекающее
через сечение с абсциссой x за единицу времени, равно
коэффициент теплопроводности, а s площадь сечения. количество тепла равно
k u(x, t) s , где k
x
Поэтому искомое
ks |
u(x, t) |
|
k |
u(x x, t) |
|
u(x x, t) |
|
u(x, t) |
|
||
x |
s |
x |
s |
ks |
x |
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ks 2u(x 2 x, t) x,x2
где 0 2 1 (здесь применяется формула конечных приращений Лагранжа к
функции u(x, t) ). Составим уравнение теплового баланса
x
c s |
u(x x,t) |
x ks |
2u(x x,t) |
x. |
|
1 |
2 |
||||
|
|
|
|||
|
t |
|
x2 |
|
Разделим обе части этого уравнения на s x (объем выделенного элемента стержня) и устремим x к нулю (стягивая выделенный элемент стержня к сечению). Получим
u(x,t) |
a2 |
2u(x,t) |
|
|
k |
|
|
|
|
a2 |
|
. |
(*) |
||
|
|
|
|||||
t |
|
x2 |
|
|
c |
|
65

Это уравнение |
называется |
уравнением теплопроводности для |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
однородного стержня. |
Величина |
a |
k |
|
называется коэффициентом |
||
|
|
||||||
c |
|||||||
|
|
|
|
|
|
температуропроводности. Искомая функция u(x,t) должна удовлетворять уравнению (*), начальному условию
u(x, t) t 0 u(x,0) (x) (0 x l), где (x) заданная функция от x (это условие выражает закон распределения температуры по длине стержня в начальный момент времени t =0), и граничным условиям
u(x,t) |
|
|
u(0,t) (t), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x 0 |
1 |
|
(0 t ), |
|
|
|
u(x,t) |
|
|
|
|
где (t) и |
(t) |
заданные |
|
|
|
u(l,t) (t). |
|
1 |
2 |
|
||
|
|
x l |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции от времени t. Они определяют температуру, поддерживаемую на концах стержня. Отметим, что уравнение не учитывает тепловой обмен между поверхностью стержня и окружающим пространством.
4.2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В КОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ
Если стержень имеет конечную длину l и занимает отрезок 0 x l оси Ox , то для постановки задачи о распространении тепла в таком стержне помимо уравнения
u a2 2u f x,t ,
t x2
если источники отсутствуют, то уравнение теплопроводности принимает вид
|
|
u |
a2 |
2u |
, |
|
|
|
|
t |
x2 |
||
|
|
|
|
|
||
и начального условия u |
|
t 0 |
(x) |
необходимо задать еще температурный |
||
|
x 0 и |
x l , т. е. задать граничные условия. |
||||
режим на концах стержня |
Граничные условия могут быть различными в зависимости от температурного режима на концах стержня. Рассматривают три основных типа граничных условий.
1. На концах стержня задана температура
u(0, t) 1 (t), u(l, t) 2 (t),
где 1 (t) , 2 (t) – функции, заданные для отрезка времени 0 t T , в течение которого изучается процесс.
2. На концах стержня заданы значения производной
66
u |
|
|
v1 |
(t), |
u |
|
|
v2 |
(t). |
|
|
||||||||
x |
|
|
x |
|
|
||||
|
x 0 |
|
|
|
x l |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Эти условия возникают, если задана величина теплового потока Q, протекающего через торцевое сечение стержня. Например, если для x l задана величина Q(l,t) , то
Q(l,t) k |
u |
|
|
, |
|
||||
|
x |
|
x l |
|
|
|
|
откуда u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
(t) , где |
v |
(t) |
Q(l,t) |
. Если v (t) (или |
v (t) ) тождественно |
|
|
2 |
|
|||||||
x |
|
|
|
2 |
|
k |
1 |
2 |
|
|
x l |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
равна нулю, то говорят, что соответствующий конец стержня теплоизолирован.
3. На концах стержня заданы линейные соотношения между функцией и ее производной
u |
|
|
u(0,t) (t) , |
u |
|
|
u(l,t) (t) , |
|
|
|
|
||||||
x |
|
|
x |
|
|
|
||
|
x 0 |
|
|
x l |
|
– |
||
|
|
|
|
|||||
где (t) – известная функция – температура окружающей среды, |
коэффициент теплообмена. Это граничное условие соответствует теплообмену по закону Ньютона на поверхности тела с окружающей средой, температура которой (t) .
Пользуясь двумя выражениями для теплового потока, протекающего
через сечение x l , |
Q h(u ) и |
Q k |
u |
|
, получаем формулировку |
|||||||||
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
третьего граничного условия в виде |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
u |
|
u(l,t) (t) , |
h |
. |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
|
x |
|
|
|||||||||||
|
|
x l |
|
|
|
|
|
|
k |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Для сечения x 0 стержня третье граничное условие имеет вид |
||||||||||||||
|
|
|
u |
|
|
u(0,t) (t) , |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x 0 |
k |
u |
при x 0 имеем |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
поскольку для теплового потока |
||||||||||||||
n |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
u u |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
n |
x |
|
|
|
(внешняя нормаль к стержню в конце x 0 противоположна по направлению с осью Ox ).
Перечисленные основные задачи далеко не исчерпывают возможных краевых задач для уравнения
67
ut a2uxx f (x,t).
Например, на разных концах стержня могут задаваться условия разных типов. Мы ограничимся рассмотрением первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности.
Задача ставится так: найти решение u(x,t) уравнения
|
|
|
|
|
u a2 |
2u |
f x,t |
|
(4.1) |
||||
|
|
|
|
|
t |
x2 |
|
|
|
|
|||
в области |
|
0 x l, t 0, |
u(x,t) C 2 0 x l, t 0 , |
удовлетворяющее |
|||||||||
начальному условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
(x), |
|
|
0 x l, |
|
|
||
|
|
|
|
u |
t 0 |
|
|
|
(4.2) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и граничным условиям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
u |
|
x 0 |
1 (t), |
|
u |
|
x l |
2 (t), |
t 0. |
(4.3) |
||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Считаем, |
что |
функция |
|
|
u(x,t) |
непрерывна в |
замкнутой области |
||||||
D 0 x l, |
0 t T , |
для чего необходимо, чтобы функции (x) , 1 (t) , 2 (t) |
|||||||||||
были непрерывными |
и выполнялись |
условия |
согласования (0) 1 (0) , |
(l) 2 (0).
Замечание. Как и для уравнений гиперболического типа, функция u(x,t) ищется только для 0 x l и t 0 (но не при t 0, x 0 и t 0, x l , где значения функции u(x,t) заранее задаются начальными и граничными условиями).
Сформулируем принцип максимального значения.
Теорема 4.1. Если функция u(x,t) C(D) , удовлетворяет уравнению
теплопроводности |
u |
a2 2u |
в точках области 0 x l, 0 t T , то |
|
t |
x2 |
|
максимальное и минимальное значения функции u(x,t) достигаются или в начальный момент времени t 0, или в точках границы на отрезках x 0 или x l .
Физический смысл этой теоремы очевиден: если температура тела не превосходит некоторого значения М в граничных точках или в начальный момент, то внутри тела (источники отсутствуют!) не может возникнуть температура, большая М.
Как следствия из принципа максимального значения вытекают теоремы.
68
Теорема 4.2 (единственности). Решение |
задачи (4.1) – 4.3) в |
прямоугольнике 0 x l, 0 t T единственно. |
|
Теорема 4.3. Решение задачи (4.1) – (4.3) непрерывно зависит от начальных и граничных функций.
4.3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА В ОГРАНИЧЕННОМ СТЕРЖНЕ МЕТОДОМ ФУРЬЕ
Задача о распространении тепла в теплоизолированном с боков стержне длины l приводится к нахождению решения уравнения
u a2 2ut x2
в области 0 x l, 0 t <+ , удовлетворяющего начальному условию
u(x,0) (x) |
(0 x l) |
u(0,t) (t),
и граничным условиям 1 (0 t ). u(l,t) 2 (t)
(4.4)
(4.5)
Ограничимся рассмотрением случая, когда на концах поддерживается постоянная температура, т.е. когда граничные имеют вид:
u(0,t) 0 |
const, |
(0 t ). |
|
u(l,t) 1 |
const |
|
|
|
|
стержня
условия
(4.6)
Не умаляя общности можно считать, что u0 0, u1 0, ибо в противном случае этого всегда можно добиться при помощи замены искомой функции по формуле
|
|
|
|
|
v(x,t) u(x,t) u |
0 |
1 0 x, |
(4.7) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где v новая неизвестная функция. Действительно, так как |
|
|||||||||||||
v |
|
u |
, |
2v |
|
2v |
, |
то функция v удовлетворяет тому же уравнению, что и |
||||||
t |
t |
x2 |
x2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
функция и: |
v |
a2 |
2v |
. Далее из (4.7) и (4.6) следует, что |
|
|||||||||
t |
x2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v(0, t) 0,
(0 t ). v(l, t) 0
69
Таким образом, достаточно найти решение уравнения (4.4), удовлетворяющее начальному условию (4.5) и граничным условиям
u(0,t) 0,
(0 t ). u(l,t) 0
Как и в случае волнового уравнения, будем искать решение уравнения (4.4) в виде произведения двух функций
|
|
u X (x)T (t) , |
(4.8) |
|
одна из |
которых зависит |
только от x, |
а другая только |
от t; причем |
X (x) 0 |
и T (t) 0 , ибо |
в противном |
случае u(x,t) 0, что |
невозможно: |
функция и 0 не удовлетворяет начальному условию (4.5), поскольку предполагается, что (x) 0.
В силу граничных условий функция X(x) должна обращаться в нуль на
концах интервала [0; l ]: |
X (0) 0 |
X (l) 0. Подставляя (4.8) в (4.4), получим |
||||||||||||||||
|
|
X (x) T ' (t) a2 X '' (x) T (t) |
или |
T ' (t) |
|
X '' (x) |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2T (t) |
X (x) |
|
|
|
||
Отсюда |
заключаем, |
что функции X (x) и T (t) должны |
быть |
|||||||||||||||
решениями однородных линейных дифференциальных уравнений |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X '' X 0 |
|
|
|
|
(4.9) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T ' a2 T 0 |
|
|
|
|
(4.10) |
|||||
Ненулевые решения уравнения (4.9) существуют только при k , |
||||||||||||||||||
k 2 |
(k 1,2,..), |
причем |
в |
качестве этих решений можно |
взять |
|||||||||||||
где k |
|
|||||||||||||||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции |
X |
|
sin |
k |
x |
(k 1,2,...). |
Заменяя в уравнении (4.10) |
на |
|
, |
||||||||
k |
|
k |
||||||||||||||||
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
' |
ak |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
получаем |
уравнение |
Tk |
|
|
|
Tk 0. Его |
общим |
решением |
будет |
|||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
T |
c e l |
|
|
, где |
c |
k |
произвольная |
постоянная, |
|||||||
k |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
взятому значению k . |
Подставляя найденные значения |
||||||||||||||
(4.8), получим решение уравнения (4.4) в виде |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
||||
|
|
|
u |
k |
(x,t) c |
k |
e |
|
|
|
sin |
x (k 1,2,..). |
|||
|
|
|
|
|
l |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соответствующая
X X k u T Tk в
(4.11)
70