Учебные материалы ИКНТ 1-8 семестры / 7 семестр / Куликов К.Г., Фирсов А.Н. Уравнения и методы математической физики. 2011

факторов, подводящих или рассеивающих энергию. Неоднородность в начальных условиях означает, что в начальный момент процесс обладал некоторым запасом энергии, который он и сохраняет в течение всего колебания. Изложенный метод доказательства единственности решения смешанной задачи называется энергетическим и широко используется при установлении различных теорем единственности.

3.12. КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ МЕМБРАНЫ

Рассмотрим малые колебания однородной прямоугольной мембраны со сторонами p и q, закрепленной по контуру. Эта задача сводится к решению волнового уравнения

Найдем собственные значения и собственные функции задачи (3.117), 3.119). Положим

61

Таким образом, собственным значениям (3.125) соответствуют собственные

где Amn , u Bmn произвольные постоянные.

Таким образом, частные решения уравнения (3.113) имеют вид

umn (x, y,t) ( Amn cosakmnt Bmn sin akmnt) sin m x sin n y (m, n 1,2,...). p q

Чтобы удовлетворить начальным условиям составим ряд

Если этот ряд равномерно сходится, так же как и ряды, полученные из него двукратным почленным дифференцированием по x,y,t, то сумма его, очевидно, будет удовлетворять уравнению (3.113) и граничным условиям (3.114). Для выполнения начальных условий необходимо, чтобы

62

Пример 3.5. Найти закон свободных колебаний квадратной мембраны со стороной l, если в начальный момент отклонение в каждой точке

определялось равенством u(x, y,t) t 0 100l sin lx sin ly . Начальная скорость равна нулю. Вдоль контура мембрана закреплена.

3.5. Струна длины l , закрепленная на концах, изогнута так, что она приняла форму синусоиды u 2sin lx , и отпущена без начальной скорости. Найти

закон колебания струны.

Ответ. u(x,t) 2 cos atl sin lx .

63

3.8. Найти закон колебаний струны, концы которой закреплены в точках x=-l и x=l , а в начальный момент времени точки струны отклонены по параболе, симметричной относительно центра струны, причем максимальное начальное смещение равно h.

4.УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

4.1.ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ СТЕРЖНЯ

Рассмотрим однородный теплоизолированный с боков стержень конечной длины l, имеющий постоянную по длине толщину, и настолько тонкий, чтобы в любой момент времени температуру тела во всех точках поперечного сечения можно было бы считать одинаковой.

Выберем ось x (направив ее по оси стержня) так, чтобы стержень совпадал с отрезком [0;l] оси x (см. рис. 4.1).

64

Обозначим температуру стержня в сечении x в момент t через u(x,t). Тогда функция u=u(x,t) дает закон распределения температуры в стержне. Выведем дифференциальное уравнение для этой функции.

Выделим элемент стержня [x,x+ x] и составим для него уравнение теплового баланса, согласно которому скорость изменения количества тепла в рассматриваемом объеме (изменение количества тепла в единицу времени), обусловленная теплоемкостью материала, равна количеству тепла, поступившему в этот объем в единицу времени вследствие теплопроводности. Скорость изменения тепла в выделенном элементе

плотность; s площадь поперечного сечения. Применяя к этому интегралу

0 1 1. Теперь найдем количества тепла, поступившее в выделенный элемент стержня за единицу времени. Так как стержень теплоизолирован с боков, то тепло может поступать только через сечения, ограничивающие выделенный элемент стержня. Известно, что количество тепла, протекающее

ks 2u(x 2 x, t) x,x2

где 0 2 1 (здесь применяется формула конечных приращений Лагранжа к

функции u(x, t) ). Составим уравнение теплового баланса

x

Разделим обе части этого уравнения на s x (объем выделенного элемента стержня) и устремим x к нулю (стягивая выделенный элемент стержня к сечению). Получим

65

температуропроводности. Искомая функция u(x,t) должна удовлетворять уравнению (*), начальному условию

u(x, t) t 0 u(x,0) (x) (0 x l), где (x) заданная функция от x (это условие выражает закон распределения температуры по длине стержня в начальный момент времени t =0), и граничным условиям

функции от времени t. Они определяют температуру, поддерживаемую на концах стержня. Отметим, что уравнение не учитывает тепловой обмен между поверхностью стержня и окружающим пространством.

4.2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В КОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ

Если стержень имеет конечную длину l и занимает отрезок 0 x l оси Ox , то для постановки задачи о распространении тепла в таком стержне помимо уравнения

u a2 2u f x,t ,

t x2

если источники отсутствуют, то уравнение теплопроводности принимает вид

Граничные условия могут быть различными в зависимости от температурного режима на концах стержня. Рассматривают три основных типа граничных условий.

1. На концах стержня задана температура

u(0, t) 1 (t), u(l, t) 2 (t),

где 1 (t) , 2 (t) – функции, заданные для отрезка времени 0 t T , в течение которого изучается процесс.

2. На концах стержня заданы значения производной

66

Эти условия возникают, если задана величина теплового потока Q, протекающего через торцевое сечение стержня. Например, если для x l задана величина Q(l,t) , то

равна нулю, то говорят, что соответствующий конец стержня теплоизолирован.

3. На концах стержня заданы линейные соотношения между функцией и ее производной

коэффициент теплообмена. Это граничное условие соответствует теплообмену по закону Ньютона на поверхности тела с окружающей средой, температура которой (t) .

Пользуясь двумя выражениями для теплового потока, протекающего

(внешняя нормаль к стержню в конце x 0 противоположна по направлению с осью Ox ).

Перечисленные основные задачи далеко не исчерпывают возможных краевых задач для уравнения

67

ut a2uxx f (x,t).

Например, на разных концах стержня могут задаваться условия разных типов. Мы ограничимся рассмотрением первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности.

Задача ставится так: найти решение u(x,t) уравнения

(l) 2 (0).

Замечание. Как и для уравнений гиперболического типа, функция u(x,t) ищется только для 0 x l и t 0 (но не при t 0, x 0 и t 0, x l , где значения функции u(x,t) заранее задаются начальными и граничными условиями).

Сформулируем принцип максимального значения.

Теорема 4.1. Если функция u(x,t) C(D) , удовлетворяет уравнению

максимальное и минимальное значения функции u(x,t) достигаются или в начальный момент времени t 0, или в точках границы на отрезках x 0 или x l .

Физический смысл этой теоремы очевиден: если температура тела не превосходит некоторого значения М в граничных точках или в начальный момент, то внутри тела (источники отсутствуют!) не может возникнуть температура, большая М.

Как следствия из принципа максимального значения вытекают теоремы.

68

Теорема 4.3. Решение задачи (4.1) – (4.3) непрерывно зависит от начальных и граничных функций.

4.3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА В ОГРАНИЧЕННОМ СТЕРЖНЕ МЕТОДОМ ФУРЬЕ

Задача о распространении тепла в теплоизолированном с боков стержне длины l приводится к нахождению решения уравнения

Не умаляя общности можно считать, что u0 0, u1 0, ибо в противном случае этого всегда можно добиться при помощи замены искомой функции по формуле

v(0, t) 0,

(0 t ). v(l, t) 0

69

Таким образом, достаточно найти решение уравнения (4.4), удовлетворяющее начальному условию (4.5) и граничным условиям

u(0,t) 0,

(0 t ). u(l,t) 0

Как и в случае волнового уравнения, будем искать решение уравнения (4.4) в виде произведения двух функций

функция и 0 не удовлетворяет начальному условию (4.5), поскольку предполагается, что (x) 0.

В силу граничных условий функция X(x) должна обращаться в нуль на