Учебные материалы ИКНТ 1-8 семестры / 7 семестр / Куликов К.Г., Фирсов А.Н. Уравнения и методы математической физики. 2011

Граничные условия неоднородные (концы струны подвижные). Здесь1 (t) t, 2 (t) 2t . Вводим вспомогательною функцию

Задача (3.84)–(3.86) имеет очевидное решение v x,t 0, и, как ясно из физических соображений, это ее единственное решение. Тогда по формуле (3.83) получаем решение u(x,t) исходной задачи u(x,t) t(1 x).

и займемся изучением смешанной задачи для уравнения (3.87) при однородных граничных условиях

(Напомним, что задача называется однородной, если, наряду с решением и

51

этой задачи, ее решением является также си, где с – произвольная постоянная).

Возможны граничные условия следующих типов:

1.u(0,t) 0 и u(l,t) 0 (струна с закрепленными концами);

2.ux (0,t) 0 и ux (l,t) 0 (струна со свободными концами );

3. ux (0,t) h0u(0,t) и ux (l,t) h1u(l,t) (упруго закрепленные концы). Числа h0 , h1 должны быть положительными, если положение покоя есть положение устойчивого равновесия.

Ограничившись для простоты случаем струны с закрепленными концами, приходим к следующей задаче: найти решение u(x,t) уравнения

Левая часть последнего равенства зависит только от х, а правая часть – только от t, и равенство возможно лишь тогда, когда общая величина отношений (3.92) будет постоянной. Обозначим эту постоянную через . Тогда из равенства (3.92) получим два обыкновенных дифференциальных уравнения.

52

Чтобы получить нетривиальные уравнения (3.88) вида (3.91), удовлетворяющие граничным условиям (3.89), необходимо, чтобы функция Х(х) была нетривиальным решением уравнения (3.94), удовлетворяющим граничным условиям

X (0) 0, X (l) 0. (3.95)

Как мы уже видели, эта задача имеет отличное от тождественного нуля решение не при всяком .

Задача Штурма–Лиувилля о собственных значениях: найти такие значения параметра , при которых существуют нетривиальные решения уравнения (3.94), удовлетворяющие граничным условиям (3.95), а также сами эти решения. Те значения параметра , при которых задача (3.94)–(3.95) имеет нетривиальное решение, называются собственными значениями (числами), а сами эти решения – собственными функциями, отвечающими данному собственному значению. Совокупность всех собственных значений называется спектром данной задачи. В силу однородности уравнения (3.94) и граничных условий (3.95) собственные функции определяются с точностью до постоянного множителя. Выберем этот множитель так, чтобы

Собственные функции, удовлетворяющие условию (3.96), будем называть нормированными с весом (x) .

Установим некоторые общие свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма–Лиувилля.

Теорема 3.3. Каждому собственному значению с точностью до постоянного множителя отвечает лишь одна собственная функция.

В самом деле, пусть существуют две собственные функции X1 (x) и X 2 (x) , отвечающие одному и тому же собственному значению 0 , т.е. удовлетворяющие дифференциальному уравнению (3.94) при одном и том же

53

решений X1 (x) и X 2 (x) уравнения (3.94) в точке x 0 обращается в нуль и, следовательно, решения X1 (x) и X 2 (x) линейно зависимы.

Теорема 3.4. Собственные функции, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны на отрезке 0,l с весом (x) ,

собственным значениям m и n .

Предварительно установим одно предложение, имеющее самостоятельный интерес. Введем так называемый оператор Штурма–Лиувилля

54

Вновь интегрируя по частям второе слагаемое справа и учитывая, что

55

Теорема 3.5. Все собственные значения (3.94) – (3.95) действительны. Доказательство. В самом деле, допустим, что существует комплексное

комплексно сопряженная с Х(х), будет соответствующей собственной функцией, поскольку коэффициенты уравнения (3.94) и граничные условия (3.95) – действительные. Из условия ортогональности собственных функций, отвечающих различным собственным значениям, следует

справедливо тождество

Умножая обе части тождества на X k (x) , интегрируя результат по х от 0 до l

l

и принимая во внимание, что (x) X k2 (x) dx 1, получим

Интегрируя по частям второе слагаемое справа, придем к равенству

образом, правая часть (3.102) положительна, откуда следует, что все собственные значения k задачи (3.94) – (3.95) положительны.

56

2. Обратимся к дифференциальному уравнению (3.93). Его общее решение

будет решением уравнения (3.88), удовлетворяющим граничным условиям

(3.89).

3. Составим формальный ряд

Если этот ряд, вместе с рядами, полученными из него двукратным почленным дифференцированием по х и по t, сходится равномерно, то его сумма будет решением уравнения (3.88), удовлетворяющим граничным условиям (3.89).

Для выполнения начальных условий (3.90) необходимо, чтобы

(3.94) – (3.95). Предполагая, что ряды (3.104) и (3.105) сходятся равномерно, можно найти коэффициенты Ak и Bk , умножив обе части равенства (3.104) и

57

При нахождении коэффициентов An и Bn мы опираемся на теорему разложения Стеклова.

Теорема 3.8. Всякая дважды непрерывно дифференцируемая функция F(x), удовлетворяющая граничным условиям задачи, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям X k (x)

нормированные с весом (x) собственные функции. Подставим найденные значения коэффициентов An и Bn в ряд (3.103) и, если ряд (3.103) и ряды, полученные из него двукратным почленным дифференцированием по х и по t, сходятся равномерно, получим решение u(x,t) смешанной задачи (3.88) –

можно доказать аналогичные свойства собственных значений и собственных функций более обшей однородной краевой задачи

u(0,t) ux (0,t) 0, u(l,t) ux (l,t) 0 ( 2 2 0, 2 2 0).

Некоторые общие замечания относительно области применения метода разделения переменных.

В основе применимости метода лежит линейность, как самих дифференциальных уравнений, так и краевых условий. Коэффициенты исходных дифференциальных уравнений должны быть либо постоянными, либо представляться в виде функций, каждая из которых содержит лишь одну из переменных. Например, в случае дифференциального уравнения с двумя независимыми переменными x и t соответствующее дифференциальное уравнение должно иметь вид

или приводиться к этому виду. Краевые условия должны быть однородными. Если в исходной задаче эти условия не однородны, надо привести их к однородным. В случае двумерных (не считая времени) задач граница рассматриваемой области должна состоять из координатных линий (в трехмерном случае из координатных поверхностей). Таким образом, если используется, декартова система координат, границы области отрезки

58

прямых, параллельных осям координат (куски плоскостей, параллельных координатным плоскостям); при использовании полярной системы координат границы области дуги окружностей с центрами в полюсе и отрезки лучей, выходящих из полюса, и т.д. Это обстоятельство сильно ограничивает применимость метода. И в задаче распространения волн в пространстве, и в задачах расчета тепловых режимов, и в теории потенциала приходится при использовании метода разделения переменных ограничиваться лишь самыми простыми конфигурациями исследуемых областей.

3.11. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ

Теорема 3.9. Решение смешанной задачи для вынужденных колебаний однородной струны:

и покажем, что при условиях (3.109)–(3.111) она не зависит от времени t. Взяв производную по t, получаем

59

так как внеинтегральное слагаемое обращается в нуль в силу условий (3.110),

того, что интеграл от непрерывной неотрицательной функции равен нулю,

точностью до постоянного множителя 1 const выражает полную энергию струны. Равенство E(t) 0 является математическим выражением закона сохранения энергии для свободных колебаний любой физической природы при нулевых граничных условиях, т.е. когда нет притока или рассеивания энергии в процессе колебаний. Неоднородность в граничных условиях и неоднородность в уравнении означает наличие постоянно действующих

60