Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого (бывш. СПбГПУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Куликов К.Г., Фирсов А.Н. Уравнения и методы математической физики. 2011

.pdf

Скачиваний:

423

Добавлен:

21.03.2016

Размер:

3.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 223 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Таким образом, u(x, y) C2 (x)e2 y C1 ( y), где C2 (x) и C1 ( y) произвольные функции.

Упражнения

2.1. u(x, y) (x) ( y) (x y) '( y). Проверить, что

(x y) 2u u

x y y

( и дважды дифференцируемые функции).

Исключить произвольные функции и из семейства: u(x,t) (x at) (x at).

Ответ.	2u	a2	2u	0.
	t 2		x2

Найти общее решение следующих дифференциальных уравнений с частными производными:

2.3. 2u 0.

x y

Ответ. u(x, y) C1 (x) C2 ( y).

2.4. 2u x y.

x y

Ответ.		u(x, y)	x2 y		xy2	C (x) C		( y).
Ответ.		u(x, y)				C (x) C		( y).
		2		2		1	2
		2		2
2.5.	2u	x2 y.
	x2

Ответ. u(x, y) x4 yx2 xC1 ( y) C2 y. 12 2

2.6.2u ex y .

Ответ. u(x, y) ex y yC1 (x) C2 (x).

2.7. 2u 1 u 0.

x y x y

Ответ. u(x, y) C1 (x) 1x C2 ( y).

2.8. 2u 2 y u .

x y x

Ответ. u(x, y) C1 (x)ey2 C2 ( y).

2.9. 2u 5 u .

x y y

Ответ. u(x, y) C1 (x) C2 ( y)e5 x .

2.10.2u 2.

Ответ. u(x, y) x2 C1 ( y)x C2 ( y).

2.11. 2u 2x.

x y

Ответ. u(x, y) x2 y C1 ( y) C2 (x).

2.12.2u u .y2 y

Ответ. u(x, y) C1 (x)ey C2 (x).

2.13.2u x y.y2

Ответ. u(x, y)			xy2		y3	yC (x) C		(x).
Ответ. u(x, y)						yC (x) C		(x).
		2		6		1	2
		2		6
2.14.	2u	6x.
	x2

Ответ. u(x, y) x3 xC1 ( y) C2 ( y).

2.2. КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

С помощью замены переменных уравнение второго порядка

a	2u	2b	2u	c	2u	0	(2.2)
	x2		x y		y2

сведем к одному из простейших уравнений. Полагая, что коэффициент c 0,

введем новые независимые переменные x 1 y,

x 2 y, где

1 и 2

пока произвольные, но различные (иначе

не будут

взаимно

независимые функции) числа. Так как

						u		u							u										u					u	,
						u						y						y													,
						y						y						y				1							2
то имеет место соответствие																					,														. Поэтому
то имеет место соответствие											x										,			y											. Поэтому
											x													y					1		2
		2u			u											u				u							2u					2u		2u
																													2										,
																													2										,
		x2		x		x																					2									2
	2u								u						u						2u												2u					2u
																										( )														,
																										( )														,
	x y						1							2					1				2					1		2				2			2
2u													u				u				2 2u												2u	2				2u
																												2													.
																												2													.
y2			1			2				1					2						1						2			1 2				2				2

Умножим эти вторые производные соответственно на a, 2b и c и затем их сложим. Тогда левая часть уравнения (2.2) примет вид:

A	2u	2B	2u	C	2u	,
	2				2

где	A a 2b	c 2	,	B a b(	) c ,			C a 2b	c 2 .
	1	1		1	2	1	2	2	2

Рассмотрим теперь вспомогательное квадратное уравнение c 2 2b a 0.

Его корнями являются 1,2	b		b2 ac	.	В зависимости от значений
		c

дискриминанта D b2 ac возможны три случая: если в рассматриваемой

области

b2 ac 0,

то уравнение принадлежит к гиперболическому типу;

если b2 ac 0, то уравнение (2.2) параболического типа; если b2

ac 0, то

уравнение принадлежит эллиптическому типу.

Следовательно, каноническое уравнение гиперболического типа имеет

2 z

вид

f (x, y, z, z'

, z'

), ( или

, , z,

x y

где

x y

); параболического типа 2 z f (x, y, z, z'

, z'

);

эллиптического типа

2 z

f (x, y, z, z'

, z'

) . В общем случае вводятся

новые

переменные

(x, y), (x, y).

(x, y) и

(x, y)

дважды

непрерывно дифференцируемые функции и

Дифференциальное		уравнение			a dy2 2b dxdy c dx2		0 называют
уравнением характеристик уравнения
	a 2 z 2b	2 z	c 2 z f (x, y, z, z ,			z ).
		x y
	x2		y2		x	y
Пример 2.4. Привести к каноническому виду уравнение
	x2 2 z 2xy			2 z	y2 2 z 0.
				x y
		x2			y2
Здесь	a x2 , b xy, c y2 , b2 ac x2 y2 x2 y2 0;						следовательно,

уравнение принадлежит к параболическому типу. Составим уравнение

характеристик

x2dy2 2xydxdy y2dx2 0.

В этом случае оба семейства

характеристик совпадают. Рассмотрим уравнение

xdy ydx.

Разделим

переменные и проинтегрируем это уравнение

или ln

т.е.

C. Введем новые

переменные

, y.

выбираем таким

образом, чтобы выполнялось условие

0. Вводим новые

переменные и . Тогда данное уравнение примет вид

2 z

Данное уравнение параболического вида, его каноническая форма

2 z

Пример 2. 5. Рассмотрим уравнение

2sin x

cos

cos x

x y

Это уравнение гиперболического типа, так как

b2 ac sin2

x cos2

x 1.

Составляем уравнение характеристик

dy2 2sin xdxdy cos2

xdx2 0

или,

дописав в левой части этого равенства

dxdy dxdy sin xdx2

sin xdx2 и

сгруппировав,

получаем dy (1 sin x)dx (dy (1 sin x)dx) 0.

Интегрируя

уравнения

dy (1 sin x)dx 0

dy (1 sin x)dx 0 ,

получим

x y cos x C1 , x y cos x C2 . Вводим новые переменные по формулам

x y cosx, x y cosx.	Тогда		данное уравнение в новых
переменных приводится к виду		2u	0. Положив , ,

приведем уравнение к каноническому					виду:		2u	2u	0.	Данное
приведем уравнение к каноническому					виду:		2	2	0.	Данное
							2	2
уравнение			гиперболического	вида,	его	каноническая				форма
	2u	2u	0.
	2	2	0.
	2	2

Упражнения

2.15. Привести к каноническому виду уравнения:

2u 2x

2 2u

u 0.

x y

Ответ.

б)

(1 x2 ) 2u

(1 y2 )

x u

u 0 .

Ответ.

ln( x 1 x2 ),

ln( y

1 y2 ).

в)

2 z 4

2 z

3 2 z 2

6 z

x y

Ответ.

2 z

x y,

3x y.

3.УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

3.1.СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ С ЗАКРЕПЛЕННЫМИ КОНЦАМИ

Вматематической физике под струной понимают гибкую, упругую нить. Натяжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна длины l в начальный момент направлена по отрезку оси от 0 до l (см. рис. 3.1). Предположим, что концы струны закреплены в точках x=0 и x=l. Если струну отклонить от ее первоначального положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя положение, придать в начальный момент ее точкам некоторую скорость, или отклонить струну и придать ее точкам некоторую скорость, то

точки струны будут совершать движения говорят, что струна начнет колебаться. Задача заключается в определении формы струны в любой

момент времени и определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси OX и в одной плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией u(x,t) , которая дает величину перемещения точек струны с абсциссой x в момент t.

Рис. 3.1

Так как мы рассматриваем малые отклонения струны в плоскости (x,u), то будем предполагать, что длина элемента струны M1M 2 равняется ее

проекции на ось ОХ, т.е. M1M2 x2 x1. Также будем предполагать, что натяжение во всех точках струны одинаковое, обозначим его через Т.

Рис. 3.2

Рассмотрим элемент струны MM '. На концах этого элемента, по касательным к струне, действует сила T. Пусть касательные образуют с осью ОХ углы и (см. рис. 3.2). Тогда проекция на ось Ou сил, действующих на элемент MM ' будет равна T sin( ) T sin . Так как

угол	мал, то можно положить tg sin , и мы			будем	иметь
	u(x x,t)		u(x,t)
T sin( ) T sin Ttg( ) Ttg T		x		x

T 2u(x x, t) x T 2u(x, t)

0 1.

Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы,

приложенные к элементу, приравнять силе инерции.

Пусть линейная

плотность струны.

Тогда

масса элемента

струны будет

Ускорение

элемента равно

. Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь

t 2

x 2u

T 2u

Сокращая

на

обозначая

получаем

t 2

уравнение движения

a2 2u .

t 2

Это и есть волновое уравнение уравнение колебаний струны.

Для

полного

определения движения струны

одного уравнения

t 2

недостаточно.

Искомая

функция

u(x,t)

должна

удовлетворять

еще

граничным условиям, указывающим, что делается на концах струны ( x =0 и x=l), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t=0).

3.2. ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ

Рассмотрим однородный стержень длины l (см. рис. 3.3) , для изгибания которого надо приложить усилие. Ограничимся исследованием только таких усилий, при которых поперечные колебания, при перемещении вдоль оси стержня, остаются плоскими и параллельными друг другу. Это допущение оправдано, если поперечные размеры стержня будут невелики по сравнению с его длиной.

Рис. 3.3

u(x,t)

Если стержень несколько растянуть или сжать вдоль продольной оси, а затем предоставить самому себе, то в нем возникнут продольные колебания. Направим ось ОХ вдоль оси стержня и будем считать, что в состоянии покоя концы стержня находятся в точках x=0 и x=l. Пусть x – абсцисса некоторого сечения стержня, когда последний находится в покое. Обозначим через

смещение этого сечения в момент времени t; тогда смещенное

сечение	с	абсциссой		x dx	будет равно
удлинение		стержня	в	сечении	с	абсциссой
u(x, t) .	Считая,		что	стержень		совершает
x

u ux dx. А относительное x выражается производной

малые колебания, можно

вычислить в этом сечении натяжение Т. Действительно, применяя закон Гука, найдем, что T ES ux , где E – модуль упругости материала стержня,

а S – площадь поперечного сечения. На элемент стержня, заключенный между сечениями с абсциссами x и x+dx действуют силы натяжения Tx и

Tx dx ,

направленные

вдоль

оси

ОХ;

их

результирующая

T ES u

ES u

также

направлена

вдоль

оси ОХ. С

x dx

другой стороны, ускорение элемента равно

t 2 . Согласно второму закону

Ньютона

Sdx

2u dx,

где

–

объемная

плотность стержня.

t 2

Положив

получим дифференциальное

уравнение

продольных

колебаний стержня

a2 2u

. Форма этого уравнения показывает, что

t 2

продольные колебания стержня носят волновой характер, причем скорость


	E
распространения продольных волн равна		.
распространения продольных волн равна		.

3.3. МЕТОД БЕГУЩИХ ВОЛН. РЕШЕНИЕ ДАЛАМБЕРА

Рассматривая свободные колебания струны, мы должны решить однородное уравнение

2u	a2 2u .	(3.1)
t 2	x2
Здесь u(x,t) – смешение точек		струны в момент	времени t от

положения равновесия. При каждом фиксированном значении t график функции u u(x,t) дает форму струны в момент времени t. Введем новые независимые переменные , по формулам

x at,

x at.

(3.2)

В переменных , уравнение (3.1) будет иметь вид

В этом легко убедиться, вычислив производные

t 2

x 2

2 2u

t 2

и подставив полученные выражения в уравнение (3.1).

Уравнение

0 интегрируется весьма просто. Записав его в виде

будем

иметь

( ) ,

где ( )

–

произвольная

функция.

Интегрируя

полученное уравнение по

( рассматривается как параметр), найдем, что

u ( )d 2 ( ),

где 2 ( )

– произвольная функция аргумента . Полагая

( )d 1 ( ) ,

получим

u 0 ( ) 2 ( ).

Возвращаясь к

исходным

переменным

x, t,

получим

u(x,t) 1 (x at) 2 (x at).

(3.3)

Непосредственной проверкой убеждаемся, что функция u(x,t) , определяемая формулой (3.3), где 1 и 2 – произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов, есть решение уравнения (3.1). Это общее решение (решение Даламбера) волнового уравнения (3.1): всякое решение уравнения (3.1) может быть представлено в виде (3.3) при соответствующем выборе функций 1 и 2 . В частности, каждое слагаемое в формуле (3.3) также является решением уравнения (3.1). Физический смысл решения

		u 1 (x at)	(3.4)
таков. При t 0	имеем	u 1 (x) . Если наблюдатель, выйдя в начальный
момент t 0 из	точки	x = c оси	Ох, передвигается по этой оси в

положительном направлении со скоростью а, так что для абсциссы его

положение имеем	dx	a ,	откуда	x at c	и x at c ,	то для него
	dt

u 1 (x at) 1 (c) const.			Иными	словами,	для такого	наблюдателя

смещение и струны, определяемое формулой (3.4), будет все время постоянным и равным 1 (c) .

Тем самым, решение (3.4) представляет прямую волну, которая распространяется в положительном направлении оси Ох со скоростью а. Если за 1 ( ) взять sin , то будем иметь синусоидальную волну.

Решение u 2 (x at) представляет обратную волну, которая распространяется со скоростью а в отрицательном направлении оси Ох. Таким образом, решение (3.3) является суммой прямой и обратной волн. Это приводит к следующему графическому способу построения формы струны в любой момент времени t: сначала строим кривые u 1 (x) и u 2 (x) , изображающие прямую и обратную волны в начальный момент времени t 0, а затем, не изменяя их формы, передвигаем их одновременно на величину at 0 в разные стороны, кривую u 1 (x) – вправо, u 2 (x) – влево. Чтобы получить график струны, достаточно построить алгебраическую сумму ординат передвинутых кривых.

3.4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ НЕОГРАНИЧЕННОЙ СТРУНЫ

Задача Коши для неограниченной струны состоит в следующем: найти функцию u(x,t) C 2 , удовлетворяющую уравнению

<<< < Предыдущая 1 23 / 223 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 7 семестр

#
21.03.2016551.94 Кб40Б3.В6 Интеллектуальные технологии и представление знаний.pdf
#
21.03.2016541.87 Кб52Б3.ДВ6.1 Основы и системный анализ информационно управляющих процессов.pdf
#
21.03.2016618.63 Кб42Б3.ДВ7.1 Моделирование систем.pdf
#
21.03.2016573.24 Кб72Заочники.5 курс. Методическое пособие 2011г.Квалиметрия.docx
#
21.03.20163.79 Mб307Козлов, Кисоржевский_Теория информационных систем (2008).pdf
#
21.03.20163.81 Mб423Куликов К.Г., Фирсов А.Н. Уравнения и методы математической физики. 2011.pdf
#
21.03.2016440.86 Кб114Фирсов А.Н. (сост.) Уравнения математической физики (учебное пособие для заочников).pdf