Учебные материалы ИКНТ 1-8 семестры / 7 семестр / Куликов К.Г., Фирсов А.Н. Уравнения и методы математической физики. 2011

линейная комбинация решений однородного уравнения тоже является решением этого уравнения. Общее решение неоднородного уравнения может быть представлено в виде некоторого частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Будем рассматривать сначала однородное линейное уравнение вида

A(x, y)ux B(x, y)uy 0. (1.6)

Этому уравнению поставим в соответствие систему обыкновенных дифференциальных уравнений

которую будем называть характеристической системой для уравнения (1.6), а всякое решение x(t), y(t) этой системы назовем характеристикой.

Функция (x, y) , не сводящаяся тождественно к постоянной, или равенство (x, y) C называется первым интегралом системы (1.7), если при подстановке в нее любого решения системы получается постоянная величина, зависящая лишь от выбора решения.

Теорема 1.1. Пусть (x, y) C есть первый интеграл системы (1.7). Тогда функция u (x, y) удовлетворяет уравнению (1.6).

Доказательство. Подставим в первый интеграл системы (1.7) какоелибо решение x(t), y(t) этой системы. Получим (x(t), y(t)) C.

Возьмем производную по t от обеих частей этого равенства

Поскольку x(t), y(t) – решения характеристической системы (1.7), имеем

x A(x, y) y B(x, y) 0.

Всилу того, что последнее равенство выполнено для любого решения системы (1.7), оно справедливо для любых x, y , входящих в область

определения. Тем самым функция удовлетворяет уравнению (1.6). Теорема доказана.

Можно доказать и обратное утверждение.

11

Теорема 1.2. Пусть функция u (x, y) удовлетворяет уравнению (1.6). Тогда (x, y) C есть первый интеграл системы (1.7).

Доказательство. Подставим в функцию (x, y) какое-нибудь решение системы (3) x(t), y(t) и возьмем полную производную по t

Следовательно, (x(t), y(t)) C, а это и означает, что (x, y) C есть первый интеграл системы (1.7). Теорема доказана.

Доказанные две теоремы устанавливают эквивалентность понятий первого интеграла системы (1.7) и решения уравнения (1.6).

Если (x, y) C – первый интеграл системы (1.7), то произвольная функция F ( ) является также первым интегралом этой системы. Следовательно, по теореме 1 F ( ) удовлетворяет уравнению (1.6) при произвольной достаточно гладкой функции F .

Можно показать, что при выполнении некоторых условий всякое решение уравнения (1.6) может быть представлено в виде u F( ) . Отсюда вытекает следующее правило: чтобы найти общее решение уравнения (1.6), надо составить характеристическую систему (1.7) и найти первый интеграл этой системы. Общее решение уравнения (1.6) будет u F( ), где F – произвольная функция.

Пример 1.4. Рассмотрим уравнение

12

т.е. произвольная однородная функция переменных x, y .

Для нахождения первого интеграла характеристической системы (1.9) можно исключить переменную t и получить обыкновенное дифференциальное уравнение

произвольную постоянную C через x, y и получим первый интеграл системы (1.3.3) (x, y) C . Аналогично поступим, если будет найден общий интеграл

Исключим переменную t из этой системы dydx xy .

Разделяя переменные, получим

ydy xdx.

Проинтегрировав это уравнение, находим его общий интеграл x2 y2 C. Это соотношение одновременно является первым интегралом для

системы (1.12). Заметим, что характеристиками в данном случае будут являться окружности с центром в начале координат. Итак, общее решение уравнения (1.11) имеет вид

13

1.4. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Квазилинейным уравнением первого порядка называется уравнение

Заметим, что линейное уравнение (1.3.1) является частным случаем квазилинейного уравнения, в которое функция u может входить и

Это уравнение отличается от уравнения (1.6) лишь тем, что коэффициенты и искомая функция , входящие в него, зависят от трѐх переменных x, y, u . Поэтому уравнение (1.15) решается аналогично уравнению (1.6). Для этого рассматривается характеристическая система, состоящая уже из трѐх уравнений

dx A(x, y,u),

dt

dy B(x, y,u), (1.16)

dt

du C(x, y,u).

dt

Если

1 (x, y,u) C1 ; 2 (x, y,u) C2 (1.17)

– два независимых (под независимостью понимается разрешимость относительно каких-либо двух из переменных x, y, u равенства (1.17)) интеграла системы (1.16), то общее решение уравнения (1.15), а значит, и решение исходного уравнения (1.14) в виде неявной функции, будет иметь вид

F( 1 , 2 ), (1.18)

14

где F – произвольная функция своих аргументов.

1.5. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

Пусть в пространстве с координатами (x, y,u) задано поле направлений

(A(x, y,u), B(x, y,u),C(x, y,u)),

т.е. в каждой точке пространства мы имеем направление, у которого направляющие косинусы пропорциональны A, B,C . Это поле направлений определяет семейство линий, таких, что любая линия семейства имеет в каждой своей точке касательную, совпадающую с направлением поля в этой точке. Это семейство линий получается в результате интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений

отношений, переходит в систему (1.16).

Если имеется некоторая поверхность u u(x, y) , то величины ux , u y и1 пропорциональны направляющим косинусам нормали к этой поверхности. Таким образом, уравнение (1.14) выражает условие перпендикулярности нормали и поверхности u u(x, y) с направлением поля, т.е. уравнение (1.14) сводится к требованию, чтобы в каждой точке искомой поверхности u u(x, y) направление, определяемое полем ( A, B,C) , находилось в касательной плоскости к поверхности.

Пусть некоторая поверхность u u(x, y) состоит из характеристик системы (1.16). Тогда в каждой точке этой поверхности касательная к характеристике, проходящей через эту точку, лежит в касательной плоскости к поверхности, и следовательно, эта поверхность удовлетворяет уравнению (1.14), т.е. является интегральной поверхностью этого уравнения.

Можно показать, что верно и обратное: если некоторая гладкая поверхность (предполагается существование и непрерывность производных ux , uy ) удовлетворяет уравнению (1.14), то ее можно полностью заполнить

характеристиками.

Из (1.18) следует, что общее уравнение интегральных поверхностей для

15

Если выбрать некоторую функцию F , поверхность (1.19) будет геометрическим местом тех характеристик системы (1.16), у которых значения постоянных в равенствах (1.17) связаны соотношением:

определенным, если потребовать, чтобы искомая поверхность проходила через заданную в пространстве кривую l , т.е. если решать задачу Коши. Искомая поверхность будет образованна теми характеристиками, которые выходят из точек кривой l .

Исключительным является тот случай, когда сама кривая l является

Из первых двух уравнений имеем

dxx dyy .

Отсюда ln y ln C1 x , что равносильно соотношению

Отсюда

udu x(1 C12 )dx.

16

Интегрируя это равенство, имеем

u2 x2 (1 C12 ) C2 .

Подставив C1 из (1.23), получим второй интеграл

Уравнения (1.23) определяют плоскости, проходящие через ось Ou , а уравнения (1.24) – сферы с центром в начале координат. Тем самым характеристики системы (1.22) – это семейство окружностей, лежащих в указанных плоскостях и имеющих центр в начале координат. Общее решение уравнения (1.21) будет

где F – производная функция двух аргументов.

Пример 1.7. Решим задачу Коши для уравнения (1.21). Среди интегральных поверхностей этого уравнения найдем ту, которая проходит через прямую

Пример 1.8. Будем искать интегральную поверхность для уравнения (1.11),

связана здесь с тем, что заданная кривая, через которую должна проходить интегральная поверхность, является характеристикой.

2. ДИФФРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Многие задачи механики и физики приводят к исследованию дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Так, например:

17

1) при изучении различных видов волн упругих, звуковых, электромагнитных, а также других колебательных явлений мы приходим к волновому уравнению

где c скорость распространения волн в данной среде;

2) процессы распространения тепла в однородном изотропном теле, так же как и явления диффузии, описываются уравнением теплопроводности:

3) при рассмотрении установившегося теплового состояния в однородном изотропном теле мы приходим к уравнению Пуассона

Потенциалы поля тяготения и стационарного электрического поля также удовлетворяют уравнению Лапласа, в котором отсутствуют массы и, соответственно, электрические заряды.

Приведенные уравнения называют основными уравнениями математической физики. Их подробное изучение дает возможность построить теорию широкого круга физических явлений и решить ряд физических и технических задач.

Функция u u(x, y, z) , удовлетворяющая какому-либо из приведенных уравнений, называется его решением.

2.1. ПОНЯТИЕ ОБ ОБЩЕМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка:

некоторое семейство функций, зависящее от n произвольных постоянных F(x, y,C1,C2 ,...,Cn ) 0. Любое частное решение получается из него, если параметрам C1, C2 ,...,Cn придать определенные значения.

18

У дифференциального уравнения в частных производных общее решение содержит произвольные функции, количество которых равно порядку уравнения.

Пусть дано уравнение

Поскольку производная по переменной x от величины, стоящей в скобках, равна нулю, то последняя является некоторой произвольной функцией от y :

постоянной интегрирования в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Таким образом, общий интеграл уравнения второго порядка (1) u(x, y) (x) F( y) содержит две произвольные функции. Чтобы теперь из

общего решения u(x; y) найти определенное частное решение, нужно найти

дифференциальных уравнений и в частных производных из-за чрезвычайной общности общего решения уравнения в частных производных, как правило, очень трудно из него выделить нужное конкретное решение.

Пример 2.1. Найти общее решение дифференциального уравнения в частных

19

постоянной. Взяв интеграл от левой и правой частей, получим решение

Пример 2.3. Решить дифференциальное уравнение в частных производных

можно рассматривать как обычную производную по y , а x при этом считать параметром. Тогда уравнение перепишется в виде: dudy 2u C1 ( y). Мы

получили неоднородное линейное уравнение первого порядка. Решая его, получаем:

20