Учебные материалы ИКНТ 1-8 семестры / 7 семестр / Куликов К.Г., Фирсов А.Н. Уравнения и методы математической физики. 2011

В комплексной плоскости дифференцирование асимптотических отношений и отношений порядка допустимо в подобластях области, где они справедливы. Важным частным случаем является следующая теорема.

Теорема 8.3. Пусть функция f (z) аналитична в области, содержащей замкнутый сектор S и

f (z) (z p ) (или f (z) o (z p ) )

при z в S , где p любое фиксированное действительное число. Тогда

8.3. РАВНОМЕРНЫЕ И НЕРАВНОМЕРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ

При построении приближенных решений алгебраических, дифференциальных или интегральных уравнений предполагается, что асимптотические разложения можно подставлять в уравнения и выполнять над ними простейшие действия: возведение в степень, интегрирование и дифференцирование. Иногда применение этих операций оказывается необоснованным. В этом случае они приводят к неравномерностям. Например, равенство

не обосновано при x (1) , поскольку при этом второй, третий и последующие члены разложения становятся сравнимыми по порядку с первым его членом. Следовательно, ошибка, совершенная в результате усечения ряда после N членов при x ( ) , уже не будет иметь порядок( N ) , т.е. не будет порядка первого отброшенного члена, и здесь говорят о неравномерном разложении. Аналогично, равенство

не обосновано при x (1) , поскольку по той же причине правая часть его будет неравномерна при больших x . Таким образом, необходимо всегда проверять, являются ли полученные разложения равномерными или нет – в этом, собственно говоря, и заключается одна из главных целей методов возмущений.

171

Приведем определение равномерности асимптотических разложений в комплексной области.

Определение 8.8. Пусть функция f (z,u) разлагается в асимптотический ряд

от параметра u . Допустим, что член n (z, n) равномерен по параметру u в некотором множестве D , то асимптотическое разложение справедливо равномерно относительно параметра u в D .

Для определения области неравномерности ряда (8.5) иногда

8.4. ПРИМЕР РАСХОДЯЩЕГОСЯ АСИМПТОТИЧЕСКОГО РЯДА

Асимптотические разложения могут расходиться, но давать значения близкие к истинным. Найдем асимптотическое разложение интеграла

e xt

G (x) 0 1 t dt .

Одним из способов построения асимптотического разложения для функции G (x) является метод состоящий в разложении множителя 1(1 t) в ряд по степеням t и последующем почленном интегрировании полученного ряда. Действительно,

сходимости Даламбера). Однако, полученный ряд является асимптотическим. Чтобы это доказать, сделаем оценку остаточного члена. Представим

172

Для остаточного члена n (x) выводим

асимптотическим. Однако этот ряд расходится. Приведем численные значения при 10 . G(10) 0,09156 точное значение. Четыре члена ряда дают значение G(10) 0,0914 . Итак, асимптотическое значение при x 10 очень близко к точному.

8.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ

Пусть f (z) функция действительной или комплексной переменной z , as z s формальный степенной ряд (сходящийся или расходящийся), а

при z в некоторой неограниченной области D . Очевидно ряд as z s

173

Естественно, однако, что наибольший интерес представляет асимптотические разложения, которые расходятся.

Теорема 8.4. Для того чтобы функция f (z) обладала асимптотическим разложением вида (8.8) необходимо и достаточно, чтобы для каждого неотрицательного целого числа n

при z в D равномерно относительно arg z .

Свойство единственности. Для заданной функции f (z) и области D существует самое большее одно разложение вида (8.8).

Следствие обратное утверждение неверно.

Пример 8.3. Рассмотрим асимптотическое разложение функции e z в

то существует и бесконечное число таких функций, так как соотношение z n e z снова показывает, что к функции f (x) можно добавить функцию e z , умноженную на произвольную постоянную, не меняя при этом коэффициентов разложения. Отсутствие единственности для функции, представленной асимптотическим разложением, находится в резком контрасте со свойством единственности суммы сходящегося ряда.

Рассмотрим операции над асимптотическими разложениями.

174

Первое соотношение справедливо при z в области определения F функции f (z) , а второе, соответственно, в области G . Тогда, если и

s 0

hs f0 gs f1 gs 1 ... fs g0 .

Действительно, если Fn (z),Gn (z) и H n (z) означают остаточные члены, относящиеся к n м частичным суммам разложений f (z), g(z) и f (z) g(z) , соответственно, то

Замечание. Умножение асимптотические разложения со шкалой n (z) не всегда возможно, так как множество функций r (z) s (z) с двумя индексами не всегда можно упорядочить, чтобы оно образовало шкалу.

Свойство 8.3. Асимптотическое разложение со шкалой z n можно делить друг на друга.

Пусть f0 0 и значение z достаточно велико; тогда

где ks многочлен относительно f0 , f1 ,..., fs . Так как n произвольно, это означает, что асимптотическое разложение 1 f (z) существует.

Коэффициенты ks можно найти указанным способом, однако в случае сходящегося степенного ряда их удобнее вычислить из рекуррентных

175

Свойство 8.4. Асимптотические разложения можно интегрировать. Предположим, что для всех достаточно больших значений положительной

(t 2 ) при больших t и поэтому интегрируемо. Интегрируя остаточный член

ииспользуя теорему об интегрируемости асимптотического выражения, находим, что

комплексной переменной, голоморфные, например, в секторе.

Замечание. Дифференцировать асимптотические разложения возможно не всегда. Дифференцирование допустимо, если известно, что f (x) непрерывная функция действительного аргумента и ее асимптотическое разложение существует. Это утверждение можно доказать, интегрируя разложения для f (x) и используя свойство единственности.

Свойство 8.5. Операция обращения возможна для действительных и комплексных переменных.

Рассмотрим случай действительных переменных. Пусть функция (x) разлагается в асимптотический ряд

176

По условию последний интеграл сходится, и оценка (8.11) доказана.

177

Теорема 8.5. Пусть функции f (x) и S(x) ограничены и непрерывны на отрезке [a; b], дважды непрерывно-дифференцируемы в окрестности точки

С учетом этой оценки соотношение (8.14) можно записать в виде

178