Учебные материалы ИКНТ 1-8 семестры / 7 семестр / Куликов К.Г., Фирсов А.Н. Уравнения и методы математической физики. 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение…………………………………………………………………………6

1.Уравнения первого порядка……………………….…………………………9

1.1.Общие понятия………………..……………………………………….9

1.2.Задача Коши……………………….………………………………….10

1.3.Линейные однородные уравнения первого порядка……….…..……10 1.4. Квазилинейные уравнения первого порядка……………………..…14

1.5.Геометрическая интерпретация………………………..…………….15

2.Дифференциальные уравнения в частных производных второго

порядка………………………………….……………………………………….17

2.1.Понятие об общем решении уравнения в частных производных….18

2.2.Классификация уравнений в частных производных второго

порядка………………………………………………………………..…………22

3.Уравнения гиперболического типа…………………………………………25

3.1.Свободные колебания струны, с закрепленными концами……..…25

3.2.Продольные колебания стержня…………………………………….27

3.3.Метод бегущих волн. Решение Даламбера…………………………28

3.4.Решение задачи Коши для неограниченной струны……………….30

3.5.Корректность постановки задачи……………………………………32

3.6.Пример Адамара некорректно поставленной задачи………………34

3.7.Метод Фурье. Свободные колебания однородной струны,

закрепленной на концах………………….…………………………………….35

3.8.Вынужденные колебания струны, закрепленной на концах………45

3.9.Вынужденные колебания струны с подвижными концами………..49

3.10.Общая схема метода Фурье……………………..………………….51

3.11.Единственность решения смешанной задачи…………..…………59

3.12.Колебания прямоугольной мембраны………………..……………61

4.Уравнения параболического типа………………...……….………………..64

4.1.Вывод уравнения теплопроводности для стержня…………………64

4.2. Распространения тепла в конечном стержне……………….……….66

4.3. Интегрирование уравнения распространения тепла в ограниченном стержне методом Фурье……………………………...………..69

4.4.Охлаждение бесконечного стержня…………………………………77

5.Уравнения эллиптического типа……………………………………………81

5.1.Определения. Постановка задач………………………………...…...81

5.2.Фундаментальное решение уравнения Лапласа………..…………..83

3

5.3.Формулы Грина…………………...…………………………………. 84

5.4.Основная интегральная формула Грина………………………….... 85

5.5.Свойства гармонических функций………………………….….….... 88

5.6.Решение Дирихле для круга методом Фурье……………………..... 91

5.7.Метод функции Грина……………………………………………...... 94

5.8.Решение задачи Дирихле для шара методом функции Грина…...... 98

6.Специальные функции математической физики….………...……………..104

6.1.Эйлеровы интегралы…………………………………………………105

6.2.Интеграл вероятности………………………………………………..109

6.3.Функции Бесселя……………………………………………………..111

6.4.Функция Вебера……………....………………………………………115

6.5.Представление функции Вебера в виде ряда…………….…………118

6.6.Рекуррентные формулы для функций Бесселя……………..………120

6.7.Интегральные представления для цилиндрических функций….....122

6.8.Примеры использования интегрального представления

Пуассона………………………………………………………………………...124 6.9. Асимптотические представления цилиндрических функций

для больших значений аргумента………………………………………...…..125

6.10.Модифицированные цилиндрические функции…...……………..128

6.11.Задача Штурма-Лиувилля, связанная с цилиндрическими функциями……………………………...……………………………………….131

6.12.Разложение функции в ряды Фурье-Бесселя и Дини……………..134

6.13.Приложения цилиндрических функций в математической

физике…………………………………………………………………………...136

6.14.Решение задачи Дирихле для цилиндра……………………….…..139

6.15.Сферические функции. Полиномы Лежандра……...……………..142

6.16.Производящая функция для полиномов Лежандра……...………..145

6.17.Рекуррентные формулы для полиномов Лежандра……....…….....148

6.18.Задача Штурма-Лиувилля, связанная с полиномами

Лежандра………………………………………………………………………..149

6.19.Вычисление нормы для полиномов Лежандра……………………150

6.20.Приложения полиномов Лежандра в математической физике…..152

7.Метод Гринберга…….………………………………………………………154

8.Асимптотические методы………………………….……………………..…164

8.1.Определение асимптотических рядов………………………….…...165

8.2.Свойства асимптотических разложений…………………….……...169

8.3.Равномерные и неравномерные асимптотические разложения…...171

4

8.4.Пример расходящегося асимптотического ряда…………….……..172

8.5.Определение и основные свойства асимптотических

разложений……………………………………………………………………...173

8.6.Метод Лапласа асимптотической оценки интеграла………….…...177

8.7.Метод стационарной фазы…………………………………………..180

8.8.Метод перевала………………….…………………………………...184

9.Численное решение дифференциальных уравнений с частными производными……………………………………..……………………..188

9.1.Численное решение уравнений параболического типа……………188

9.1.1.Понятие о методе конечных разностей. Основные определения и конечно-разностные схемы. Постановка начально-

краевых задач ………………………………………………………………..…188

9.1.2.Понятие о методе конечных разностей. Применение

метода конечных разностей к решению уравнений параболического типа……………………………………………………………………………...189

9.1.3. Аппроксимация граничных условий, содержащих производные…………………………………………………………………….194

9.2.Метод конечных разностей для решения уравнений гиперболического типа………………..………..……………………………...199

9.2.1.Постановка задач для уравнений гиперболического типа……..199

9.2.2.Конечно-разностная аппроксимация уравнений гиперболического типа……………..………………………………………….200

9.3.Метод конечных разностей для решения уравнений

эллиптического типа…………………..……………………………………….203

9.3.1.Постановка задач для уравнений эллиптического типа………..203

9.3.2.Конечно-разностная аппроксимация задач для

уравнений эллиптического типа……………………………………...……….205

9.4. Основные понятия, связанные с конечно-разностной аппроксимацией дифференциальных задач………….………………………208

Приложение. Метод ВКБ……………………………………………………...211

Рекомендуемая литература……………………………………………………220

5

ВВЕДЕНИЕ

Построение и исследование математических моделей физических явлений составляет предмет уравнений в частных производных (уравнений математической физики). Математическая физика развивалась со времен Ньютона параллельно развитию физики и математики. В конце XVII в. было открыто дифференциальное и интегральное исчисление и сформулированы основные законы классической механики и закон всемирного тяготения. В XVIII в. методы математической физики начали формироваться при изучении колебаний струн и стержней, а также задач, связанных с акустикой и гидродинамикой; закладываются основы аналитической механики (Ж. Даламбер, Л. Эйлер, Д. Бернулли, Ж. Лагранж, П. Лаплас). В XIX в. идеи математической физики получили новое развитие в связи с задачами теплопроводности, диффузии, упругости, оптики, электродинамики, нелинейными волновыми процессами и.т.д.; создаются теория потенциала и теория устойчивости движения (Ж. Фурье, С. Пуассон, К. Гаусс, О. Коши, М. В. Остроградский, Д. Стокс, П. Дирихле, Б. Риман, С. В. Ковалевская, А. Пуанкаре, А. М. Ляпунов, В. А. Ляпунов, Д. Гильберт). В XX в. в математическую физику включаются задачи квантовой физики и теории относительности, а также новые проблемы газовой динамики, динамики разреженных газов, переноса частиц и физики плазмы.

С появлением ЭВМ существенно расширился класс математических моделей, допускающих детальный анализ; появилась реальная возможность ставить вычислительные эксперименты. В этом интенсивном взаимодействии теоретической физики и современной математики создаются качественно новые классы моделей современной математической физики.

Среди задач математической физики выделяется важный класс корректно поставленных задач, т.е. задач для которых решение существует и единственно и непрерывно зависит от данных задачи. Хотя эти требования на первый взгляд кажутся совершенно естественными, их, тем не менее, необходимо доказывать в рамках принятой математической модели. Доказательство корректности – это первая апробация математической модели: модель непротиворечива (решение существует), модель однозначно описывает физический процесс (решение единственно), модель мало чувствительна к погрешностям измерений физических величин (решение непрерывно зависит от данных задач). В данном пособии изучаются в

6

основном корректно поставленные краевые задачи для дифференциальных уравнений классической математической физики.

Изложение материала построено таким образом, чтобы дать учащемуся, имеющему математическую подготовку, предусмотренную программами бакалавриата технических направлений, возможность получить представление о постановках задач математической физики и освоить наиболее часто употребляемые в практических приложениях методы их анализа и решения. Таким образом, данное пособие ориентировано на студентов, обучающихся по направлениям магистратуры, которые имеют хорошую математическую подготовку в рамках бакалавриата. Оно также может быть использовано аспирантами и инженерами-исследователями, желающими познакомиться с основными «рабочими» методами классической математической физики.

Впособии принята следующая схема расположения материала.

Вразделе 1 рассматриваются основные понятия и определения, связанные с уравнениями с частными производными первого порядка. Раздел 2 посвящен приведению к каноническому виду линейных уравнений второго порядка, а также вопросам, относящимся к аналитическим методам решения основных уравнений математической физики (гиперболических, параболических и эллиптических).

Вразделах 3 – 5 рассматриваются методы решения задач, связанных с уравнениями в частных производных второго порядка: метод Даламбера, метод Фурье с сопутствующей теорией задачи Штурма – Лиувиля, метод функции Грина.

Вразделе 7 кратко излагается метод Гринберга, который является обобщением метода Фурье на случай неоднородного уравнения и неоднородных граничных условий.

Кроме того, в учебном пособии излагаются начальные сведения по специальным функциям – раздел 6 и асимптотическим оценкам – раздел 8. В нем, в частности, приведены методы Лапласа, стационарной фазы и метод перевала асимптотической оценки интеграла.

Раздел 9 посвящен методу конечных разностей, который является одним из наиболее распространенных численных методов решения уравнений с частными производными. В частности в данном разделе приведен способ, заключающийся в сохранении одного того же порядка аппроксимации при численном решении уравнений в частных производных второго порядка. Предложенный метод аппроксимации позволяет сохранить

7

консервативность конечно-разностной схемы, т.е. в конечно-разностной аппроксимации соблюдаются законы сохранения.

В Приложении описан метод ВКБ (Вентцель, Крамерс и Бриллюэн). Необходимость включения данного метода в пособие обусловлена тем, что во многих задачах механики, а также в приложениях часто возникает большой параметр в дифференциальных уравнениях и краевых условиях, и численные методы при больших значениях параметров плохо аппроксимируют решение краевой задачи, поэтому появляется необходимость построения асимптотических разложений, в частности метод ВКБ.

Основная часть материала пособия соответствует содержанию лекционного курса «Методы математической физики», который читается на кафедре «Системный анализ и управление» СПбГПУ для студентов, обучающихся по программам подготовки магистров направления 220100 «Системный анализ и управление».

Как правило, большинство учебных пособий пишутся не на пустом месте, тем более, когда дело касается традиционных дисциплин. В конечном счете, они во многом являются авторской переработкой (приспособленной для решения педагогических задач, которые ставили перед собой авторы) материала, содержащегося в различных учебниках и монографиях. Это нормально, и данное пособие – не исключение. Естественно, немалую роль в выборе материала и формы изложения сыграли вкусы и опыт преподавания авторов. С другой стороны, авторы отнюдь не претендуют на оригинальность содержащихся в данном пособии научных результатов.

8

1.УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

1.1.ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ

Пусть имеется функция u независимых переменных x1 , x2 ,...,xn . Уравнением с частными производными называется соотношение,

Порядком уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

Функция u u(x1 ,...,xn ) называется решением уравнения (1.1), если при подстановке ее в это уравнение оно обращается в тождество при допустимых значениях аргументов. Совокупность всех решений уравнения называется общим решением.

Рассмотрим некоторые примеры уравнений с частными производными для функции, зависящей от двух переменных u u(x, y) .

решение: u(x, y) C( y) , где C – произвольная функция одной переменной y . Пример 1.2. Рассмотрим уравнение ux f (x, y) . Для нахождения решения этого уравнения проинтегрируем его по переменной x

произвольная постоянная C в (2) может зависеть от y . Тем самым общее решение имеет вид: u(x, y) f (x, y)dx C( y).

Пример 1.3. Пусть дано уравнение uxy 0 . Из примера 1.1 следует, что uy C( y) . Решая это уравнение аналогично тому, как решалось уравнение в

9

постоянных, общее решение уравнения с частными производными зависит от произвольных функций.

1.2. ЗАДАЧА КОШИ

Будем рассматривать случай, когда искомая функция u зависит от двух переменных x, y . Тогда уравнение первого порядка будет иметь вид

Для того чтобы из совокупности всех решений уравнений (1.3) выделить некоторое частное решение, формулируется задача Коши: найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условию u(x, y) |x x0 ( y), где

( y) – некоторая заданная функция.

Обозначим через l кривую в пространстве x, y,u , задаваемую уравнениями

всех интегральных поверхностей найти ту, которая проходит через заданную кривую l .

Можно поставить более общую задачу Коши, не ограничивая кривую l видом (1.4), а беря произвольную пространственную кривую. Если обозначить через проекцию кривой на плоскость (x, y) , то эта задача Коши может быть сформулирована следующим образом: найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условию u(x, y) |( x, y )

1.3. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Уравнение с частными производными называются линейными, если

называется однородным. Отметим, что основные свойства линейных уравнений с частными производными во многом аналогичны свойствам обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Так, например,

10