|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
||
то получим |
¶2u |
= 0, |
и, следовательно, найденная функция является общим реше- |
||||||||
¶x2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
нием данного уравнения. |
¶2u |
|
|
|
|
|
|
||||
2. Найти общее решение уравнения |
= x2 - y. |
|
|
||||||||
¶x¶y |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
¶ æ |
¶u ö |
2 |
|
|||
Решение. Переписав |
уравнение в |
виде: |
|
ç |
|
÷ = x |
|
- y и интегрируя левую и |
|||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
¶y è |
¶x ø |
|
|
|||
правую части по y (считая в это время x постоянным), получим: |
|||||||||||||
|
¶u |
= ò(x2 - y)dy = x2 y - |
y2 |
+ C1 (x). Интегрируя теперь по x полученное уравне- |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
¶x |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
ние (считая в это время y постоянным), получим: |
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
y2 |
|
|
|
x3 y |
|
y2 x |
* |
|
u(x, y) = ò(x |
|
y - |
|
+ C1 (x))dx = |
|
- |
|
+ C1 |
(x) + C2 ( y). Здесь |
||||
|
2 |
3 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
C1* (x) = òC1 (x)dx. Таким образом, общим решением рассматриваемого уравнения
будет функция: u(x, y) = |
x3 y |
- |
y2 x |
+ C |
* |
(x) + C |
2 |
( y), где |
C |
* |
(x) |
и C |
2 |
( y) - про- |
|
|
|
|
|||||||||||
|
3 |
|
2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
извольные функции, причем C1* (x) дифференцируема.
3. Решить дифференциальное уравнение в частных производных ¶2u = 2 ¶u .
¶x¶y ¶x
|
¶ æ ¶u |
|
ö |
|
|
||||
Решение. Переписав уравнение в виде |
|
ç |
|
|
- 2u ÷ = 0 и интегрируя левую и пра- |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
¶x è ¶y |
|
ø |
|
|
||||
вую части по переменнойx, получим: |
|
¶u |
- 2u |
= C ( y). В этом уравнении |
¶u |
|
|||
|
|
|
|||||||
|
|
|
¶y |
|
1 |
¶y |
|||
|
|
|
|
|
|||||
можно рассматривать как обычную производную поy , а x при этом считать пара-
метром. Тогда уравнение перепишется в виде: du - 2u = C1 ( y). Мы получили не-
dy
однородное линейное уравнение первого порядка. Решая его, получаем:
u(x, y) = eò 2dy (C2 (x) + òC1 ( y)e-ò 2dy dy)= C2 (x)e2 y + C1* ( y).
Таким образом, u(x, y) = C2 (x)e2 y + C1* ( y), где C2 (x) и C1* ( y) - произвольные функции.
Упражнения
4. u(x, y) = j(x) +y ( y) + (x - y)y ' ( y). Проверить, что (x - y) ¶2u = ¶u
¶x¶y ¶y
7
(j и y - дважды дифференцируемые функции).
5. Исключить произвольные функции f и y из семейства:
u(x, t) = f(x - at) +y (x + at).
Ответ. ¶2u - a2 ¶2u = 0.
¶t 2 ¶x2
Найти общее решение следующих дифференциальных уравнений с частными производными:
6. ¶2u = 0.
¶x¶y
Ответ. u(x, y) = C1 (x) + C2 ( y).
7. ¶2u = x + y. ¶x¶y
Ответ. u(x, y) = x2 y + xy2 + C1 (x) + C2 ( y). 2 2
8.¶2u = x2 + y. ¶x2
Ответ. u(x, y) = x4 + yx2 + xC1 ( y) + C2 y. 12 2
9.¶2u = ex + y . ¶y2
Ответ. u(x, y) = ex + y + yC1 (x) + C2 (x).
10. ¶2u + 1 ¶u = 0.
¶x¶y x ¶y
Ответ. u(x, y) = C1 (x) + 1 C2 ( y). x
11. ¶2u = 2 y ¶u .
¶x¶y ¶x
Ответ. u(x, y) = C1 (x)e y 2 + C2 ( y).
12. ¶2u = 5 ¶u .
¶x¶y ¶y
Ответ. u(x, y) = C1 (x) + C2 ( y)e5x .
¶2u
13.¶x2 = 2.
Ответ. u(x, y) = x2 + C1 ( y)x + C2 ( y).
8
14. ¶2u = 2x.
¶x¶y
Ответ. u(x, y) = x2 y + C1 ( y) + C2 (x).
¶2u ¶u
15.¶y2 = ¶y .
Ответ. u(x, y) = C1 (x)e y + C2 (x).
¶2u
16.¶y2 = x + y.
Ответ. u(x, y) = xy2 + y3 + yC1 (x) + C2 (x). 2 6
¶2u
17.¶x2 = 6x.
Ответ. u(x, y) = x3 + xC1 ( y) + C2 ( y).
2.Классификация уравнений в частных производных второго порядка.
Спомощью замены переменных уравнение второго порядка
a |
¶2u |
+ 2b |
¶2u |
+ c |
¶2u |
= 0 |
(2.1) |
|
¶x2 |
¶x¶y |
¶y2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
сведем к одному из простейших уравнений. Полагая, что коэффициент c ¹ 0, |
вве- |
|||||||
дем новые независимые переменныеx = x + l1 y, h = x + l2 y, |
где l1 и l2 |
пока |
||||||
произвольные, но различные (иначеx и h не будут взаимно независимые функции) числа. Так как
¶u = ¶u × ¶x + ¶u × ¶h = ¶u + ¶u и ¶x ¶x ¶x ¶h ¶x ¶x ¶h
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶u |
= |
¶u |
× |
|
|
¶x |
+ |
|
¶u |
× |
¶h |
= l |
|
|
|
¶u |
+ l |
|
¶u |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶y ¶x ¶y ¶h ¶y |
|
|
|
|
1 ¶x |
|
|
|
2 ¶h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
то имеет место соответствие |
|
|
¶ |
|
® |
¶ |
+ |
¶ |
, |
|
|
¶ |
|
® l |
¶ |
+ l |
|
¶ |
|
. Поэтому |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¶x |
|
|
|
|
|
|
|
2 ¶h |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶x ¶h ¶y |
|
|
1 ¶x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
¶2u |
|
|
|
¶ æ |
¶u ö |
æ |
¶ |
|
|
|
|
¶ |
öæ |
¶u |
|
|
|
|
¶u |
ö |
|
|
|
|
|
¶2u |
|
|
|
|
|
¶2u |
|
|
|
¶2u |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
ç |
|
|
÷ = ç |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
֍ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
÷ = |
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
, |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
¶x |
|
|
|
|
¶x è ¶x ø |
è |
|
¶x ¶h øè |
¶x |
|
|
|
|
¶h |
ø |
|
|
|
|
¶x |
|
|
|
|
¶x¶h |
|
|
|
¶h |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
¶2u |
|
æ |
¶ |
|
|
|
|
¶ öæ |
|
|
¶u |
|
|
|
|
|
¶u |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
¶2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶2u |
|
|
|
|
|
|
|
¶2u |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= ç |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
֍l |
|
|
|
|
|
|
+ l |
2 |
|
|
|
|
÷ = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
(l + l |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
+ l |
2 |
|
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
¶x¶y |
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
֍ |
1 |
¶x |
|
|
|
¶h |
÷ |
|
|
|
|
|
1 |
¶x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
¶x¶h |
|
|
|
¶h |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
è |
|
¶x ¶h øè |
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||