§ 2. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. НЕЗАВИСИМОСТЬ. ФОРМУЛА БАЙЕСА

2.1. Условная вероятность

Оставаясь пока в рамках классической модели вероятности,

рассмотрим следующий вопрос.

Пусть у нас имеется некоторая алгебра событий 19 M= {A, B, C, …} с заданной на ней вероятностью P(A), A M.

Часто возникает вопрос, как должны измениться вероятности P(A), A M, если предположить, что станет достоверным наступление одного из событий, скажем B.

В связи с этим рассмотрим следующий пример.

Будем бросать две игральные кости одну за другой. Пространство элементарных событий будет здесь образовано из 36 событий, состоящих в выпадении определенного числа 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков на первой кости и определенного числа 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков на второй кости. Причем те и другие могут сочетаться друг с другом как угодно ( табл. 2.1)20.

Первое число в каждой клетке этой таблицы есть число очков на первой кости, второе – на второй кости. Среди многих допустимых здесь событий отметим два.

Во-первых, событие, которое мы обозначим через B, состоящее в том, что на

19См. определение 1.8 в конце пункта 1.3.

20Иначе, речь идет о множестве упорядоченных пар (m,n) натуральных чисел от 1 до 6.

40

первой кости выпадет одно очко. Этому благоприятствует вся первая строка таблицы, т.е. шесть клеток (см. табл. 2.1а), так что

P(B) = 366 = 16 .

Во-вторых, отметим событие (событие A), состоящее в том, что на обеих костях выпадет число очков, в сумме не превосходящее 5 (табл. 2.1б).

Этому благоприятствуют 10 клеток таблицы, так что

Поставим теперь вопрос следующим образом.

Представим себе, что мы бросили первую кость и получили на ней одно очко. Как изменится после этого вероятность того, что после бросания второй кости на обеих костях выпадет число очков, в сумме не превосходящее 5.

41

Иначе говоря, пусть стало достоверным событие B. Как изменится после этого вероятность P(A) события A?

Эта, последняя, вероятность называется условной вероятностью события A при условии, что событие B произошло и обозначается P(A/B)

(читается: вероятность A при условии B).

Найдем эту вероятность. Предположение о том, что стало достоверным событие B, изменяет пространство элементарных событий (т.е. достоверноесобытие), а именно имстановитсясамособытиеB! Поэтомуиз всех элементарных исходов становятся возможными только те, которые составляют событие B, т.е. первая строка нашей таблицы (см. табл. 2.1а). Таких исходов, как мы знаем, шесть. Но в первой строке таблицы число тех клеток, которые благоприятны событию A (т.е. сумма очков на обеих костях не превосходит 5), как легко видеть, всего 4 (табл. 2.1в).

Таким образом,

P(A/ B) = 64 = 23 .

Применим теперь аналогичное рассуждение в общем случае.

Предположение, что стало достоверным событие B, изменяет исходное пространство элементарных событий: именно, прежнее пространство элементарных событий заменяется событием B, точнее, совокупностью элементарных событий, составляющих событие B. Отсюда

42

следует, что из общего числа первоначально благоприятных для события A исходов остаются лишь те, которые одновременно благоприятны также и событию B, т.е. исходы, благоприятные произведению событий AB.

Таким образом, если исходное пространство элементарных событий Ω состоит из n элементов (элементарных событий), событие B состоит из m элементов и, наконец, событие AB состоит из k элементов, то

Но по определению

Отсюда получаем основную формулу для условной вероятности:

Меняя события A и B местами и проводя аналогичные рассуждения, с учетом равенства AB = BA, т.е. P(AB) = P(BA), получаем:

В заключение данного пункта рассмотрим следующий пример. Пример. Предположим, что в урне находится nч – черных, nб – белых,

nк – красных и nс – синих шаров. Наугад из урны извлекается один шар. Найти

43