Рис. 1.1

несовместными. Заметим, что если AB= Ø, то A B и B A .

В качестве упражнения рекомендуется доказать следующие равенства:

теоретико-множественных операций элементарной теории множеств естественным образом переносятся на соответствующие операции с

A + A = A; AA = A;

если A B , то A + B = B и AB = A, в частности, AΩ = A.

Определение 1.8. Поле событий вместе с введенными выше операциями (действиями) с событиями, называется алгеброй событий.

1.4. Основные свойства вероятности

Попытаемся на основе представления о вероятности как пределе частоты события при неограниченном возрастании числа испытаний (п. 1.2), описать ее необходимые свойства. Это позволит нам далее при построении различных вероятностных моделей ограничивать свой выбор только теми моделями, в которых функция, определяющая вероятность, обладает этими свойствами.

Будемдалееобозначатьчерез А, В,… – события,обладающиесвойством

28

статистической устойчивости. Это, в частности, означает, что величина pn (A) = nnA (статистическая частота события А), где n – общее число

испытаний, а nA – число тех из них, в которых наблюдалось событие А, стабилизируется при неограниченном возрастании n независимо от того, о какой серии испытаний идет речь. Переводя это утверждение на математический язык, мы можем записать, что существует предел

относится pn (A) . Эта величина P(A) и называется вероятностью события

А10.

Замечание. С формально-математической точки зрения, соотношение (1.3) означает следующее. Пусть у нас имеется последовательность серий испытаний, причем в i-й серии проводится ni испытаний, и ni < ni+1, i =1, 2, ... .

Тогда для всякого ε > 0 найдется такой номер iε , что

pni (A) − P(A) <ε для всех i > iε .

Выясним, на основании сформулированного определения, основные свойствафункции P(A).Преждевсего,очевидныследующиесоотношения(ср.

сзамечанием после табл. 1.3):

1.0 ≤ P(A) ≤1;

2. P(Ω) =1, P( ) = 0.

Пусть теперьсобытия А и В – несовместимы, т.е. AB = .Пусть, далее, в серии n испытаний событие А наблюдалось nA раз, а событие В – nВ раз. Рассмотрим событие А + В. Поскольку события А и В – несовместимы, тоnA+B = nA + nB . Поэтому

9Благодаря выбору подходящей математической модели!

10Величина P(A) представляет собой, согласно общему определению функции, функцию множества А.

29

pn (A + B) = nAn+B = nA +n nB = nnA + nnB = pn (A) + pn (B) .

Переходя в последнем равенстве к пределу при n →∞, получим, в силу (1.3), третье свойство вероятности:

3. Если AB = , то P(A + B) = P(A) + P(B) .

Следовательно, вероятность необходимо удовлетворяет свойствам 1 – 311.

Теорема 1.1. Вероятность P(A) обладает следующими свойствами:

Замечание. Легко видеть, что если мы имеем более двух несовместимых между собой событий (попарно несовместимые события):

A1, A2 , ..., An , Aj Ak = , j ≠ k, j,k =1,2,...,n ,

3 вероятности, P(B) = P(A) + P(B − A) . Но так как P(B − A) ≥ 0 (свойство 1), получаем: P(B) ≥ P(A), что и требовалось.

30

B

A

B–A

Рис. 1.2

Лемма 1.1. Если A и B – два произвольных события, то

P(A − B) = P(A + B) − P(B);

P(B − A) = P(A + B) − P(A).

Действительно, так как

A + B = (A − B) + B, (A − B)B = , то

P(A + B) = P(A − B) + P(B) .

Меняя A и B местами, получим:

P(B + A) = P(B − A) + P(A)

Но так как A+B = B+A, из последних двух равенств и получаем утверждение леммы.

Теорема 1.4. Если A и B – два произвольных события, то

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) .

Приравнивая правые части (1.5) и (1.6), получаем:

11 Это, естественно не означает, что всякая модель вероятности, обладающая этими свойствами, годится для решения той или конкретной задачи. Эти условия являются необходимыми, ограничивая класс функций P(A), из которых мы должны выбирать подходящую вероятностную модель для данной задачи.

31