доставляет нам пример дискретной случайной величины со счетным числом возможных значений:

Здесь мы использовали известное равенство

∑∞ λm = eλ .

m=0 m!

Таким образом, для распределения Пуассона Mξ = λ.

7.3. Дисперсия

Математическое ожидание дает некоторую информацию о характере поведения случайной величины ξ, указывая на некоторое «среднее» ее значения, т.е. величину, возле которой «колеблются» возможные значения ξ. Этого, однако, недостаточно для более или менее правильной оценки характера поведения ξ, поскольку данные «колебания» могут иметь весьма

121

большой «размах». Например, если распределение ξ имеет вид

то Mξ = 0 , что, конечно, не дает никакого адекватного представления о поведении величины ξ.

Поэтому оказывается необходимым ввести какую-то характеристику отклонения случайной величины от ее среднего значения.

Определение 7.4. Дисперсией случайной величины ξ называется число

т. е. дисперсия – это математическое ожидание случайной величины

(ξ −Mξ)2 .

Среднеквадратическим отклонением случайной величины называется число σ = Dξ ; таким образом, для дисперсии иногда используют обозначение σ2 (вместо Dξ).

Замечание. В правой части (7.13) квадратные скобки обычно опускаются; вообще Mξ2 означает M(ξ2 ) . Квадрат же математического ожидания Mξ записывается в виде (Mξ)2 .

Почему в качестве меры отклонения случайной величины от ее математического ожидания выбрано значение M(ξ −Mξ)2 ?

Формально, с тем же правом можно было бы выбрать, например,

M ξ −Mξ или M(ξ −Mξ)4 , или M ξ −Mξ3 .

Оказывается, однако, что именно дисперсия (7.13), а не какая-либо другая из возможных мер отклонения от среднего, входит в формулировку многих важных теорем теории вероятностей,55 в частности, так называемых предельных теорем теории вероятностей, важнейшей из которых является

55 Как заметил известный американский математик Майкл Спивак, многие математические теоремы становятся тривиальными, если входящие в них понятия должным образом определены.

122

центральная предельная теорема. Некоторые примеры этого рода мы встретим ниже.

Получим для дисперсии несколько полезных формул.

По теореме 7.3 получаем для дисперсии следующее выражение:

Dξ = M(ξ −Mξ)2 = ∑(xj −Mξ)2 pj .

x j

Раскрывая скобки, будем иметь

Dξ = M(ξ −Mξ)2 = M(ξ2 − 2ξMξ + (Mξ)2 )=

= Mξ2 −M(2ξMξ)+ M(Mξ)2 = Mξ2 − 2(Mξ)(Mξ)+(Mξ)2 =

= Mξ2 −(Mξ)2 .

Здесь мы воспользовались теоремой 7.2 и тем фактом, что Mξ есть постоянное (неслучайное) число. А математическое ожидание постоянной величины равно, очевидно, этой величине, т.е. если С – константа, то

MC = C .

Таким образом, получаем полезную формулу

Замечание. Из (7.14) очевидно, что для постоянной величины С дисперсия равна нулю: DC = 0 . Крометого, с учетом свойств математического ожидания (теоремы 7.2 и 7.3), легко получаем:

D(Cξ) = M(C2ξ2 )−(M(Cξ))2 =C2Mξ2 −(CMξ)2 =

=C2 Mξ2 −(Mξ)2 =C2Dξ.

Обратимся к примерам.

Пример 1 (распределение Бернулли). Распределение Бернулли, или биномиальное распределение имеет вид (7.11). Вычислим дисперсию соответствующей случайной величины. Как мы видели выше, для биномиального распределения Mξ = np . Поэтому:

123

Dξ = Mξ2 −(Mξ)2 = Mξ2 −(np)2 = ∑xm2 pm −(np)2 =

m

= n(n −1) p2 ( p + q)n−2 + np = n(n −1) p2 + np = = (np)2 + np(1− p) = (np)2 + npq ,

где учтено, что p + q =1.

Таким образом, для дисперсии биномиального распределения получаем окончательно: Dξ = S −(np)2 = npq .

Среднеквадратическое отклонение будет, следовательно, равно: σ = npq .

124