времени используют электрическую энергию. Чтобы получить грубое представление об ожидаемой нагрузке представим себе, что в любой момент времени каждому рабочему с одной и той же вероятностью p может потребоваться единица энергии. Если они работают независимо, то вероятность того, что энергия потребуется одновременно k рабочим, будет равна b(k; n, p). Здесь «испытанием» является проверка факта использования энергии в данный момент j-м рабочим ( j =1,2,...,n), а «успехом» является положительный результат проверки. Так, если один рабочий потребляет энергию в среднем 12 минут в течение часа 40 , следует положить p =1260 = 0,2. В этом случае вероятность того, что не менее 7 из 10 рабочих

Другими словами, если снабжение рассчитано на 6 единиц энергии, то вероятность перегрузки равна 0.000864. Это означает, что одна перегрузка приходится в среднем на 10.000864 ≈1157 минут, т.е. примерно на 12 часов рабочего времени. Поэтому, если перегрузки наблюдаются чаще, то это должно явиться сигналом для усиленного контроля над производственным циклом.

Следующий пример имеет несколько иной характер. При бросании двух правильных игральных костей, вероятность появления 12 очков равна,

очевидно, 162 ≈ 0,0278 , т.е. в среднем одно появление за 36 бросаний. Если в

казино за игорным столом в процессе игры эта пропорция существенно нарушается, то это означает либо тот факт, что кости дефектны, и их надо заменить, либо что игра идет нечестно. В любом случае, возникает основание для более тщательного наблюдения за игрой на данном игорном столе.

6.2. Обобщенная схема Бернулли

Предположим, как и выше, что проводится серия из n независимых

40 Эта величина может определяться, например, производственным циклом или технологией производства.

85

p1 = 0,4, p2 = 0,35, p3 = 0,25 . Какова вероятность того, что в матче из 12 партий у данного шахматиста будет 5 побед, 4 поражения и 3 ничьи?

Решение. Мы в точности находимся в ситуации обобщенной схемы Бернулли с n = 12. Подставляя значения из данных задачи в формулу (6.2),

получим: P12 (5, 4, 3) = 5!4!3!12! (0.4)5 (0.35)4 (0.25)3 ≈ 0.067 .

6.3. Некоторые следствия

Возвратимся к классической схеме Бернулли разд. 6.1 и поставим следующую задачу. Пусть целые числа a, b таковы, что 0 ≤ a <b ≤ n . Чему равна вероятность того, что в результате n независимых испытаний Бернулли число «успехов» будет заключено между числами a и b? Ответ на этот вопрос дается легко, поскольку допустимые комбинации для различных чисел «успехов» несовместимы. Соответствующая вероятность, очевидно, равна

=Cna paqn−a +Cna+1 pa+1qn−a−1 +Cna+2 pa+2qn−a−2 +... +Cnb pbqn−b.

Замечание. Для обозначения вероятности числа успехов в n испытаниях Бернулли используются различные обозначения, в зависимости от контекста рассматриваемых задач. Так, через Pn (k < m) часто обозначается вероятность того,чтоврезультатеn испытанийчислоk успеховбудетменьше,чемm;через Pn (m1 ≤ k < m2 ) обозначается вероятность того, в результате n испытаний число k успехов будет больше либо равно m1 , но меньше m2 ; вместо обозначения Pn (a, b) может использоваться обозначение Pn (a ≤ k ≤b) и т.п. Как правило, проблем с однозначным пониманием смысла подобных обозначений в контексте той или иной конкретной задачи не возникает.

Наиболее вероятное число успехов. Вычислим теперь значение числа m = m0 , при котором функция b(m; n, p) достигает своего наибольшего значения. В этом случае число m0 называют наиболее вероятным числом

87

успехов (в n испытаниях).

Напомним, что функция b(m; n, p) определяется как вероятность m «успехов» в n испытаниях Бернулли с вероятность «успеха» p, и вычисляется

где учтено, что q =1− p . Отсюда видно, что функция b(m; n, p) возрастает по m при m < (n +1) p и убывает при m > (n +1) p . Имея в виду, что m0 должно быть неотрицательным целым числом, получаем, что наиболее вероятное число «успехов» m0 есть (единственное) неотрицательное целое число, удовлетворяющее неравенству

Рассмотрим теперь несколько примеров.

1. Задача де Мере. Сколько раз нужно бросить пару игральных костей, чтобысвероятностьюболее ½ ожидатьсуммуочков,равную12,хотябыодин раз?

Решение. Вероятность p «успеха», т. е. выпадения 12 очков, при каждом бросании одинакова и равна p = 136 . Пусть n – искомое число бросаний, k – число «успехов». Тогда Pn (k ≥1) =1− Pn (k = 0) . Но

Pn (k = 0) =Cn0 p0 (1− p)n =(3536)n ≈ (0.972)n .

Таким образом, требуемое значение n находится из неравенства

(0.972)n ≤ 0.5 .

Решая это неравенство, получаем: n ≥ 25.

2. Трое стрелков при стрельбе по мишени попадают в нее при одном выстреле с вероятностями 0.2, 0.3 и 0.4 соответственно. Кому из троих стрелять по мишени, определяют с помощью шести подбрасываний монеты,

88

причем если гербов выпадет больше, чем решек, то стреляет первый стрелок, если гербов выпадет меньше, чем решек, то стреляет второй стрелок, в противном случае – третий стрелок. Стреляющий производит 3 выстрела. Определить вероятность того, что две пули попадут в цель.

Решение. Пусть А – событие, состоящее в том, что в мишень попадут две пули. Обозначим через B1, B2 , B3 – события, состоящие в том, что стреляет первый, второй и третий стрелок соответственно. Так как события B1, B2 , B3 образуют полную группу событий, то по формуле полной вероятности (2.6) имеем:

Вычислим по отдельности вероятности, входящие в формулу (6.5). Начнем с вероятностей P(Bj ) . Поскольку предоставление права стрельбы тому или иному стрелку зависит от результатов последовательности независимых испытаний – шести подбрасываний монеты, то соответствующие вероятности должны вычисляться в соответствии со схемой Бернулли. Именно, пусть «успех» – это выпадение герба; тогда в соответствии с условиями задачи:

P(B1) = P6 (k ≥ 4) =C64 (0.5)6 +C65 (0.5)6 +C66 (0.5)6 =1132 ; P(B2 ) = P6 (k ≤ 2) =C60 (0.5)6 +C61(0.5)6 +C62 (0.5)6 =1132 ; P(B3 ) = P6 (k =3) =C63 (0.5)6 = 516 .

Далее, рассматривая стрельбу по мишени как последовательность трех независимых испытаний и считая «успехом» попадание в цель, получим: