Nww =3; Nwb =9; Nbb =3; N =15.

Отсюда (классическая модель вероятности!) получаем:

Пусть далее Aw – событие, состоящее в том, что вынутый из второй урны шар будет белым. Тогда получаем:

1) по формуле полной вероятности

P(Aw ) = P(Aw / Hww )P(Hww ) + P(Aw / Hwb )P(Hwb ) + P(Aw / Hbb )P(Hbb ) .

Но

так как во второй урне всего стало 9 шаров, причем в случае реализации события Hww изнихбудет7белых (и2черных),вслучаереализациисобытия Hwb из них будет 6 белых (и 3 черных) и, наконец, в случае реализации события Hbb во второй урне будет 5 белых шаров (и 4 черных).

Таким образом, получаем:

P(Aw ) = 79 15 + 23 53 + 95 15 = 23 .

2) в этом случае используем формулу Байеса:

Ответ: P(Aw ) = 23 , P(Hwb / Aw ) = 53 .

§ 5. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

5.1. Основные определения

В последнем примере предыдущего параграфа для вычисления вероятности интересующего нас события мы встретились с задачей следующего типа: необходимо вычислить количество способов, которыми

68

можно выбрать m шаров из общего числа в n (n > m) шаров. Аналогичная задача возникает при попытке вычислить, например, вероятность того, что при раздаче из колоды в 36 карт наугад шести карт, среди этих шести окажется: ровно два туза, не менее одного туза и т.п. Для этого (если вероятность вычислять по классической модели) нам необходимо уметь вычислятьсколькимиразличнымиспособамиможноизколоды36картвынуть 6 карт, сколькими различными способами из 36 карт можно составить комбинации по 6 карт, содержащие двух тузов, не менее одного туза и т.п. Задачи такого рода и составляют, в частности, предмет раздела математики, называемого комбинаторикой (от лат. combino – соединяю).

Более точно, комбинаторикой (комбинаторным анализом) называется раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого, обычно конечного, множества в соответствии с заданными правилами. Каждое такое правило определяет способы построения некоторой конструкции (набора, совокупности) элементов данного множества, называемой комбинаторной конфигурацией. Поэтому можно сказать, что целью комбинаторики является изучение комбинаторных конфигураций, в частности алгоритмы их построения, задачи на перечисление и т.п.

Основное множество (содержащее, скажем, n элементов) принято называть генеральной совокупностью (из n элементов). Комбинаторную конфигурацию, составленную из m элементов этого множества, принято называть выборкой из m элементов, или выборкой размера m (из данной генеральной совокупности).

5.2. Основное правило комбинаторики

Начнем со следующего очевидного утверждения. Лемма 1. Пусть у нас имеется две группы элементов

{a1,a2 ,...,am} и {b1,b2 ,...,bn}

69

по m и n элементов соответственно. Тогда из этих элементов можно образовать ровно mn различных пар (aj , bk ), содержащих по одному элементу

из каждой группы.

Действительно, составим из этих пар прямоугольную таблицу, содержащую m строк и n столбцов, так, чтобы пара (aj , bk ) стояла на пересечении j-й строки и k-го столбца. Каждая из пар (aj , bk ) встретится в

этой таблице ровно один раз, и утверждение леммы становится очевидным.

Теорема 5.1 (основное правило комбинаторики). Пусть даны r групп

Тогда можно образовать ровно n1 n2 ... nr различных комбинаций

(aj1 ,bj2 ,..., xjr ),

содержащих по одному элементу из каждой группы.

Доказательство этой теоремы легко проводится по индукции из леммы 1. На практике бывает полезной также следующая эквивалентная

формулировка теоремы 1.

Теорема 5.1а. Пусть требуется выполнить одну за другой r операций, причем первую операцию можно выполнить n1 способами, вторую – n2 способами, … , r-ю – nr способами. Тогда все r операций вместе могут быть выполнены числом способов, равным

r

n1 n2 ... nr =∏nj .

j=1

Примеры.

1. В соревнованиях по футболу принимают участие 16 команд.

70

Сколькими способами могут быть распределены первое и второе места? Решение. Первое место может занять одна из 16 команд. После того,

как определена команда, занявшая первое место, второе место может занять одна из оставшихся 15 команд. Следовательно, общее число способов, которыми могут быть распределены первоеи второеместа, равно 16×15 = 240.

2. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если:

а) ни одна из цифр не повторяется более одного раза; б) цифры могут повторяться;

в) числа должны быть нечетными (цифры могут повторяться)? Решение. а) первой цифрой числа может быть одна из 5 цифр 1, 2, 3, 4,

5 (очевидно, 0 не может быть первой цифрой). Если первая цифра выбрана, то вторую можно выбрать 5 способами (0 в этом случаеуже может быть выбран), третью – 4 способами, четвертую – 3 способами. Согласно теореме 2а, общее число способов равно 5×5×4×3 = 300.

б) первой цифрой числа может быть одна из 5 цифр 1, 2, 3, 4, 5 (5 возможностей), для каждой из следующих трех цифр имеем 6 возможностей (0, 1, 2, 3, 4, 5). Следовательно, число искомых чисел равно 5×6×6×6 = 1080.

в) первой цифрой может быть одна из цифр 1, 2, 3, 4, 5, второй и третьей

– одна из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, а последней – одна из цифр 1, 3, 5 (так как число должно быть нечетным). Следовательно, число искомых чисел равно 5×6×6×3

= 540.

3.Сложная классификация. Предположим, что люди классифицируются по полу, семейному положению (состоит или не состоит в браке) и профессии. Если рассматривать, например, 17 профессий, то всего мы будем иметь 2×2×17 = 68 различных классов.

4. В мастерской по изготовлению ключей есть 12 типов заготовок для ключей. Из каждой заготовки можно сделать ключ, вырезав выступы в пяти определенных местах, причем на первом месте величина выступа может

71