Замечание. Еслипроанализироватьдоказательствабольшинстватеорем, приведенных в предыдущих параграфах, то мы увидим, что эти доказательства опираются не на тот факт, что в основе изложения лежит классическая модель вероятности, а на основные свойства вероятности, сформулированные в п. 1.4. Иными словами, если этими свойствами обладает вероятность в любой другой модели вероятностного пространства, то практически все сформулированные выше теоремы остаются в силе. Более того, если формулы (2.1) или (2.2) принять как определение условной вероятности, то остаются в силе и формула полной вероятности, и формула Байеса. Варианты определения независимости событий (определения 2.1, 2.1а и 2.1б) никаких изменений при этом не претерпевают, так как их формулировки инвариантны относительно выбора модели вероятностного пространства. Эта инвариантность, как легко усмотреть, имеет место и в определениях большинства остальных понятий предыдущих параграфов.
3.2. Дискретное вероятностное пространство
Начнем с основного определения.
Пусть Ω – конечное или счетное множество элементов ωj :
Ω ={ω1,ω2 ,...,ωn ,...},
которое мы будем далее отождествлять с пространством элементарных событий, а сами ωj – с элементарными событиями (исходами). Пусть M –
соответствующая алгебра событий 24 . Сопоставим |
далее каждому ωj |
|
некоторое число P(ωj ) ≡ pj , 0< pj <1, j =1,2,...,n,..., |
причем потребуем, |
|
чтобы выполнялось равенство |
|
|
p1 + p2 +... + pn +... =1. |
(3.1) |
|
Пусть далее A M – некоторое событие, т.е. |
|
|
A ={ωj1 ,ωj2 ,...,ωjm ,...}, |
|
|
|
|
|
24 См. определение 1.8 в конце пункта 1.3. |
|
|
54 |
|
|
причем число элементов, составляющих A, может быть как конечно, так и счетно25.
Определение 3.1. Вероятностью события A мы назовем величину
P(A) = P(ωj1 )+ P(ωj2 )+...+ P(ωjm )+... ,
или
P(A) = pj1 + pj2 +... + pjm +... ,
причем для A = полагаем по определению P( ) = 0 . Число P(ωj ) ≡ pj
естественно назвать вероятностью элементарного события {ωj}.
Заметим, что это определение вполне согласуется с определением вероятности в классической модели. Достаточно в определении 3.1 положить
Ω ={ω ,ω |
,...,ω |
}, а |
p |
j |
≡ 1 |
n |
, j =1, 2, ..., n , и мы получ им классическую |
1 2 |
n |
|
|
|
|
модель вероятности (см. п. 1.5).
Установим теперь основные свойства введенной таким образом вероятности.
Теорема 3.1. Вероятность P(A) обладает следующими свойствами:
1. |
0 ≤ P(A) ≤1. |
|
2. |
P(Ω) =1, P( ) = 0. |
|
3. |
Если события A и B несовместимы, т.е. AB=Ø, то |
|
|
P(A + B) = P(A) + P(B) . |
|
3а. Если события |
|
|
|
A1, A2 , ..., An |
|
несовместимы, т.е. |
|
|
|
Aj Ak = , j ≠ k, j,k =1,2,...,n, |
|
то |
|
|
|
P(A1 + A2 +... + An ) = P(A1) + P(A2 ) +... + P(An ). |
(3.2) |
25 Если речь идет о счетном числе элементов, то левую часть формулы (3.1) и ей подобных, естественно, надо понимать как сумму бесконечного ряда. Читатель, незнакомый с основами математического анализа, может считать, что все рассматриваемые множества конечны, и суммы содержат конечное число слагаемых.
55
Действительно,первоесвойствовыполняетсяпоопределению,авторое следует из равенства (3.1)26. Свойство 3 доказывается тем же путем, что и в теореме 1.1. Именно, пусть
A ={ωj1 ,ωj2 ,...,ωjm ,...}, B ={ωk1 ,ωk2 ,...,ωks ,...},
причем, в силу несовместимости событий A и B, элементы ωr будут все различны для различных индексов r. Поэтому
A + B ={ωj1 ,ωj2 ,...,ωjm ,...,ωk1 ,ωk2 ,...,ωks ,...},
откуда по определению (см. определение 3.1):
P(A + B) = P(ωj |
)+ P(ωj |
)+...+ P(ωj |
)+...+ P(ωk |
)+ P(ωk |
)+...+ P(ωk )+...= |
1 |
2 |
m |
1 |
2 |
s |
=P(ωj1 )+ P(ωj2 )+...+ P(ωjm )+... + P(ωk1 )+ P(ωk2 )+...+ P(ωks )+... =
=P(A) + P(B),
что и требовалось.
Свойство 3а легко выводится из свойства 3 по индукции. Теорема доказана полностью.
Как уже было отмечено в замечании в конце предыдущего пункта, доказанная теорема позволяет перенести – по существу без изменения формулировок – практически все определения и теоремы предыдущих параграфов на случай модели дискретного вероятностного пространства27.
Далее убедимся, что возможность использовать модель дискретного вероятностного пространства существенно (по сравнению с классической моделью) расширяет круг практически важных задач, требующих вероятностного описания.
26Ср. с замечанием после таблицы 1.3 в пункте 1.2.
27Ср. с примером, разобранным в конце §1.
56