4.3. Последовательность составления дифференциального уравнения системы управления

Ди­намика системы управления описывается ее дифференциальным уравнением. Это уравнение может быть получено на основе системы уравнений, сос­тавленных для каждого элемента, входящего в систему, однако более простой путь основан на использовании приведенных в главе 3 способов математического описания этих элементов и системы в целом.

Основой для описания системы управления является структурная схема, построение которой описано в разделе 3.1. После того, как система представлена в виде совокупности динамических звеньев, последовательность составления дифференциального уравнения системы следующая.

1. Выводятся дифференциальные уравнения звеньев. При этом прежде всего выявляют физический закон, определяющий поведение данного элемента системы,. например, закон сохранения вещества, сохранения энергии, равновесия сил, равновесия крутящих моментов, равновесия электродвижущих сил и др. Математическое выражение соответствующего физического закона и является исходным дифференциальным уравнением данного элемента САР.

2

Рис.18

. Полученное дифференциальное уравнение позволяет классифицировать звено (линейное, нелинейное, порядок звена) и определить его передаточную функцию. Желательно свести систему к совокупности простых типовых звеньев, описанных в разделе 4.1. С этой целью, в случае необходимости, производится линеаризация полученных уравнений. На практике для линеаризации уравнений САР чаще всего применяют способ, заключающийся в том, что все криволинейные зависимости, используемые при составлении уравнений звеньев, заменяются прямолинейными (по ка­сательной в соответствующей точке кривой). Обычно линеаризация допус­тима, если отсутствует разрывные, неоднозначные или резко изгибающие­ся характеристики. Возможна также замена сложного звена соединением двух или нескольких более простых звеньев. Например, сложное звено может быть представлено как последовательное соединение звена запаздывания и

звена первого порядка (рис.18). Для этого через точку перегиба А проводится касательная, которая затем рассматривается как касательная к переходной характеристике апериодического звена. Соответственно определяются коэффициент усиления k, время запаздывания τ и время звена T. При этом передаточная функция такого последовательного соединения

3. На основании структурной схемы определяется передаточная функция замкнутого контура САУ как комбинации динамических звеньев с определенными типовыми передаточными функциями.

4. Имея в виду, что зависимость выходного параметра системы от входного в преобразованном по Лапласу виде

Y(p) = W(p)X(p)

Можно, при заданном характере изменения входного параметра x(t), определить уравнение для Y(p), и далее, используя обратное преобразование, построить дифференциальное уравнение системы. Например, при ступенчатом изменении входного параметра от 0 до х функция Х(р) = х/р и

5. Д

   

   алее производится решение дифференциального уравнения или анализ возможных решений.

Если В(р) и А(р) представляют собой полиномы степени m и n соответственно, то для получения решения дифференциального уравнения в форме y = f(t) можно

использовать зависимости, устанавливаемые преобразованием Лапласа. Действительно, любой полином вида

может быть представлен в виде

A(p) = a₀(p - p₁)(p - p₂)…….(p - p_n),

Где p₁, p₂,…… p_n - корни характеристического уравнения A(p) = 0 . Тогда выражение для Y(p) представляется в виде суммы

Где С₁, С₂….С_n - константы.

К

ак известно, еслиY_i(p) = C_i/(p - p_i), то y_i(t) = C_i exp(p_i t). Тогда

(4.1)

А

нализ частных случаев такого решения будет рассмотрен в разделе "Динамика и устойчивость систем управления"

5.СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

В главе 1 показано, что система управления является совокупностью управляемого объекта и управляющих устройств. В этой главе мы рассмотрим основные свойства и характеристики основных элементов, образующих систему управления.

1. Управляемый объект