6.6. Частотные критерии устойчивости. Принцип аргумента.

Частотные критерии позволяют судить об устойчивости системы управления по виду ее частотной характеристики. Они основаны на принципе аргумента, т.е. на связи между видом корней характеристического уравнения и аргументом (фазовым углом) частотной функции A(iω), которую получают подстановкой iω в характеристический полином А(р). Если

A(p) = a₀pⁿ + a₁p^n-1 + … + a_n

то A(iω) = a₀(iω)ⁿ + a₁(iω)^n-1 + … + a_n

При подстановке четные степени дадут действительные числа, нечетные - мнимые, так что в итоге A(iω) даст комплексное число

A(iω) = U(ω) + iV(ω)

которое может быть представлено в полярной форме

A(iω) = R(ω)e^iυ(ω)

Где R - модуль и υ - аргумент (фазовый угол)

Р

аскладывая левую часть характеристического уравнения на множители по корням характеристического уравнения (формула 6.1) и заменяяр на iω, получаем:

A (iω) = a₀(iω - p₁)( iω - p₂)…….( iω - p_n) = 0,

Т

о есть произведение комплексных чисел, каждое из которых может быть представлено в виде вектора на комплексной плоскости. Для того, чтобы пояснить расположение и направление этих векторов, обратим внимание на то, что любой корень характеристического уравнения p_k = α_k + iω_k также может быть отображен в виде вектора с модулем | p_k | и аргументом υ_k (рис. 35). Если вектор р обозначает на комплексной плоскости точку, соответствующую определенному значение параметра р, которое может быть вещественным, комплексным или чисто мнимым, то разность (p-p_k ) отобразится в виде отрезка, соединяющего точки p_k и p направленного от p_k к p. Если рассматривать разности между мнимым значением переменной и корнями характеристического уравнения (iω - p_k), то каждая такая разность представит собой вектор, направленный от точки, соответствующей данному корню, к точке на мнимой оси.

При перемножении комплексных чисел, представляемых в полярной форме, их модули перемножаются, а аргументы суммируются, так что аргумент частотной характеристики

(iω - p_k)= ΣАrg((iω - p_k)

Для того, чтобы установить связь между видом корней характеристического уравнения и изменением аргумента Аrg (iω - p_k), рассмотрим частные случаи..

1. В

   

   ещественные корни (рис. 36 а). Точкаp_k = ±α, соответствующая вещественному корню, лежит на вещественной оси, справа или слева от начала координат в зависимости от знака корня. При ω = 0 вектор (iω - p_k) располагается на оси абсцисс и направлен к началу координат. При увеличении ω вектор поворачивается в положительном направлении для отрицательного корня и в отрицательном - для положительного. В пределе, когда ω→∞, вектор (iω - p_k) занимает положение, параллельное мнимой оси, и угол его поворота составляет π/2 для отрицательного корня или -π/2 для положительного

2. Пара комплексных сопряженных корней с отрицательной вещественной частью (рис. 36 б). В этом случае точки, соответствующие корням, находятся во 2 и 3 квадрантах. При ω = 0 оба вектора (iω - p_k) направлены к началу координат и образуют угол γ с горизонтальной осью. При ω→∞ оба вектора сливаются в один, направленный параллельно мнимой оси. При этом нижний вектор (соответствующий отрицательной мнимой части корня) при изменении частоты от ω = 0 до в ω→∞ поворачивается на угол (π/2-γ), а верхний - на (π/2+ γ). Таким образом, приращение аргумента для пары комплексных сопряженных корней составляет π. Если действительная часть пары комплексных корней положительная, то соответствующие точки располагаются в 1 и 4 квадрантах, и суммарное приращение аргумента равно (- π).

Таким образом, если характеристическое уравнение n-го порядка имеет l правых корней, то, независимо от того, будут эти корни действительными или комплексными, суммарное приращение аргумента, соответствующее этим корням, составит при изменении частоты от 0 до бесконечности -l(π/2), а для остальных (левых) корней соответственно (n-l)(π/2). Суммарное приращение