5.6 Применение преобразования Лапласа для расчета характеристик звена второго порядка

Колебательное звено относится к динамическим звеньям второго порядка и описывается дифференциальным уравнением:

Как следует из правил преобразования по Лапласу, вторая производная функции y(t) преобразуется в трехчлен:

,

первая производная преобразуется в двучлен:

,

где y(0) – значение функции приt= 0.

Вычитание двух функций а₀y–b₀xпреобразуется вa₀Y(p)-b₀X(p).

Если при t= 0y(0) = 0 и, дифференциальное уравнение преобразуется в алгебраическое:

a₂p²Y(p)+ a₁pY(p)+a₀Y(p)=b₀X(p)

Передаточная функция:

Учитывая, что b₀/a₀– это передаточная функция в статическом режимеW,

Дальнейшие преобразования сводятся к искусству разложения многочлена на множители. Принимая во внимание, что звено второго порядка может быть записано через величины собственной частоты колебания ω и коэффициент затухания σ,

Рассмотрим выходной сигнал при скачкообразном сигнале на входе.

Так как X(p) = 1/p,

После преобразований выражение принимает следующий вид:

При критическом затухании, т.е. при σ = 1,

Используя таблицу преобразований Лапласа, конвертируем решение, полученное в Лапласовой форме, в функцию, зависящую от времени:

5.7. Передаточные функции при соединении звеньев в различных вариантах

Различают три основных варианта соединения звеньев:

• последовательное

• параллельное

• встречно-параллельное (обратная связь)

При последовательном соединении звенья образуют разомкнутую цепь, в которой во всех промежуточных звеньях выходной параметр предыдущего звена является входным для последующего. Схема последовательного соединения показана на рис. 18.

Рис. 18

Передаточная функция цепочки последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев:

W(p) = Y(p)/X(p) = W₁(p)·W₂(p) ··W_k(p)

При параллельном соединении входной параметр одинаков для всех звеньев, а выходные параметры каждого из них суммируются. Схема параллельного соединения показана на рис. 19.

Рис19

Согласно определению y(t) =y₁(t) +y₂(t)+…+y_k(t) , тогда исходя из свойства преобразования ЛапласаY(p) =Y₁(p)+Y₂(p)+…+Y_k(p).

Передаточной функцией системы параллельно соединенных звеньев является сумма передаточных функций отдельных звеньев:

W(p) =W₁(p)+W₂(p)+…+W_k(p).

Отсюда следует важное свойство: параллельно соединяя простые звенья можно откорректировать какие-либо нежелательные свойства основного передающего канала.

При встречно-параллельном соединении, образующем замкнутую цепь, выходной параметр yохватываемого звенаW₁(p) передается на вход того же звена, но уже в преобразованном виде (рис. 20).

Рис. 20

В системах автоматического управления используется отрицательная обратная связь, когда на вход подается сигнал противоположного отклонению yзнака. Входным параметром для звенаW₁(p) разностьx-y₁. В преобразованном по Лапласу виде

Y(p) = [X(p) –Y₁(P)]·W₁(p)

В свою очередь

Y₁(P)=Y(p) ·W₂(p)

Y(p) = [X(p) –Y(p) ·W₂(p)]·W₁(p) =X(p) ·W₁(p) -Y(p) ·W₂(p)·W₁(p)

Y(p)[1+ W₂(p)·W₁(p)] = X(p) ·W₁(p)

Следует иметь в виду, что и прямая, и обратная цепь могут состоять из нескольких звеньев. Тогда предварительно рассчитывается передаточная функция прямой и обратной цепи. Передаточная функция системы с обратной связью равна дроби, числитель которой - передаточная функция прямой цепи, а знаменатель равен сумме единицы и произведению передаточных функций прямой и обратной цепи.