5. Математическое описание сау. Динамические звенья.

Система управления в любой момент времени производит преобразование входного сигнала x(t) в выходной сигналy(t).

Для математического описания системы целесообразно представить ее в виде совокупности простых звеньев, называемых динамическими звеньями.

Динамическое звено – это элемент системы, имеющий только один входной параметр x(t) и один выходнойy(t) и характеризуемый определенной однозначной зависимостью

y(t) =f[x(t)]

Совокупность динамических звеньев, соответствующих действию САУ или ее части, называется структурной схемой.

5.1 Типы динамических звеньев

По уровню реакции на время все динамические звенья делятся на порядки.

Звено нулевого порядка – если выходной сигнал мгновенно отслеживает входной сигнал. Зависимость между входным и выходным сигналом не включает никаких членов, зависящих от времени и может быть записана в видe формулы:

x=ky

Пример звена нулевого порядка – потенциометр, линейное перемещение ползунка которого мгновенно изменяет напряжение на выходе. Другим примером звена нулевого уровня является рычаг (рис 9).

Рис. 9. Примеры звеньев нулевого порядка

Для звеньев первого порядка отношение выходного сигнала к входному зависит от скорости изменения выходного сигнала:

Примером звена первого порядка является термометр, показывающий температуру Т₀и погруженный в среду с температурой Т₁.

В ДВС звеном первого порядка является датчик температуры. Датчик температуры – термопара, помещенная в гильзу, заполненную маслом.

Динамическое звено считается звеном второго порядка, если зависимость между входным и выходным сигналом имеет вид:

Примером системы второго порядка является пружинная система с демпфированием (рис.10).

Рис.10

Система включает три основных элемента: массу, пружину и демпфирующее устройство – поршень, перемещающийся в цилиндре, заполненном маслом.

0. 5.2 Переходные характеристики.

Под переходной характеристикой понимается уравнение или график, показывающий изменение выходного сигнала при скачкообразном изменении входного.

Переходная характеристика звена нулевого уровня показана на рис.11. В этом случае выходной сигнал принимает конечное значение без запаздывания.

Рис.11

Рассмотрим переходную функцию для звена первого порядка при единичном скачке входного сигнала, т.е. при мгновенном изменении х от 0 до 1.

Отношение выходного сигнала к входному после математических преобразований можно представить в виде:

где τ = a₁/a₀– постоянная времени.

График переходной функция для звена первого порядка представлен на рис. 12.

Рис. 12. График переходной функция для звена первого порядка

Через промежуток времени, равный 5 τ, соотношение между выходным и входным сигналом установится постоянным и равным b₀/a₀.

Вид переходной функции для динамической системы второго порядка

будет зависеть от соотношения констант а₀, а₁и а₂, входящих в дифференциальное уравнение.

Рассмотрим в качестве примера систему, изображенную на рис. 10. Входным сигналом является сила F, выходным – длина пружиныy.Результирующая сила, действующая на массуm, равна разности приложенной силыF, силы упругости пружины (от растяжения или сжатия), и силы демпфирующего устройства.

Сила упругости пружины пропорциональна изменению ее длины y, т.е. ее можно представить в видеky, гдеk– коэффициент жесткости пружины.

Сила демпфирующего устройства будет пропорциональна скорости перемещения поршня, т.е. ее можно представить в виде c(dy/dt), где с –константа.

Результирующая сила R, действующая на массуm, будет равна:

По второму закону Ньютона эта сила заставляет массу двигаться с ускорением. Т.к. ускорение – производная скорости, а скорость – производная перемещения (dy/dt)

В случае отсутствия демпфирующего устройства масса, прикрепленная к концу пружины, будет колебаться с собственной частотой

Колебательные системы характеризуются коэффициентом затухания σ, определяемым как:

Тогда уравнение движения системы приобретает вид:

Если σ =1, переходная характеристика приводится к виду:

y/F =(1/k)[1-exp(-ω_пt)(1+ ω_пt)]

Если σ<1, система считается недодемпфированной, и в переходной характеристике значения выходного сигнала колеблются с превышением результирующего значения у. Если σ>1, система считается передемпфированной, и выходной сигнал за допустимый промежуток времени не достигает значения:

График переходной функции при разных значениях σ представлен на рис. 13.

Рис. 13. График переходной функция для звена второго порядка