8. Устойчивость систем автоматического управления.

8.1 Определение устойчивости

На любую автоматическую систему управления всегда действуют различные внешние возмущения, которые могут нарушить ее нормальную работу. Правильно сконструированная система должна устойчиво работать при всех внешних возмущениях.

Впервые строгое определение устойчивости было введено русским ученым А.М. Ляпуновым.

Пусть движение системы автоматического регулирования описывается дифференциальными уравнениями, которые могут быть приведены к виду:

dy_i/dt = Y_i(y₁, y₂,… y_n, t), 8.1

где y_i– вещественные переменные, характеризующие состояние системы управления (обобщенные координаты),Y_i– известные функции переменныхy₁,y₂,… y_n, и времениt, удовлетворяющие условиям существования и единственности решения. Исходное состояние системы приt=t₀однозначно определяется совокупностью начальных значенийy₁₀,y₂₀,… y_n0.

Если при t>t₀ y_iзависит только от исходных значений параметров и времени, т.е.

y_i=y_i(y₁₀,y₂₀,… y_n0,t),

движение системы, подлежащей исследованию на устойчивость, считают невозмущенным.

Предположим, что функции являются частным решением дифференциальных уравнений 8.1.

dy*_i(t)/dt = Y_i(y*₁, y*₂,… y*_n, t) 8.2

Для установившегося движения

=const

Изменим условия движения, дав начальным значениям переменных y₁,y₂,… y_nнебольшие по модулю приращения ε₁, ε₂, … ε_n, т.е. пусть приt=t₀

y₁=y*₁(t₀) + ε₁,y₂=y*₂(t₀) + ε₂,…y_n=y*_n(t₀) + ε_n8.3

Движение системы, отвечающее измененным начальным условиям (8.3), называется вынужденным.

Введем новую переменную

x_i=y_i(t) –y*_i(t), 8.4

равную разности переменных при возмущенном и невозмущенном движении. Переменные x_iназываются отклонениями или вариациями величинy_i.

Начальные отклонения x_iприt=t₀

x_i =x_i0= ε_i

называют возмущениями.

А.М. Ляпуновым предложено следующее определение устойчивости: невозмущенное движение называют устойчивым по отношению к переменным x_i, если при всяком произвольно заданном числе ε, как бы мало оно ни было, можно выбрать такое положительное число δ(ε), что при всяком возмущенииx_i0, удовлетворяющих условию:

,

и при любом t≥t₀,будет выполняться неравенство:

,

в противном случае движение неустойчивое.

0. 8.2 Условия устойчивости линейных систем автоматического управления

Исследования устойчивости системы как правило производят не путем анализа общего решения уравнения (8.1), а методами, основанными на качественном анализе дифференциальных уравнений возмущенного движения, которым удовлетворяют отклонения (вариации) x_i. Из уравнения (8.4) найдемy_i(t) =y*_i(t) +x_i(t) и подставим в уравнение (8.1). Тогда уравнение возмущенного движения будет иметь вид:

dy*_i(t)/dt+dx_i(t)/dt=Y_i(y*₁+x₁,y*₂+x₂,… y*_n+x_n,t) 8.5

Если правые части уравнения (8.5) допускают разложение в степенные ряды Тейлора, то после разложения по степеням x_i получим:

8.6

Где R_i(x₁,x₂, ..x_n) – совокупность членов, зависящих от отклоненийx_iв степени выше первой. Учитывая (8.2), получим дифференциальное уравнение возмущенного движения:

8.7

Пренебрегая для малых отклонений R_i(x₁,x₂, ..x_n) и вводя обозначение

,

Где a_ikв общем случае являются функциями времени, но могут быть и постоянными. С целью линеаризации системы они в дальнейшем принимаются постоянными. Отсюда получим линеаризованные уравнения в виде:

dx_i(t)/dt = a_i1x₁+ a_i2x₂+ … a_inx_n, i = 1,2,..n 8.8

Уравнения (8.8) называются линеаризованными уравнениями первого приближения. Системе уравнений (8.8) соответствует характеристическое уравнение, которое можно написать в следующем виде:

8.9

Из (8.9) можно найти корни s_i, гдеi= 1,.,…n. В общем случае корни комплексные,s_i= α_i ±jω_i. По корням характеристического уравнения судят об устойчивости системы.

Другим способом получения характеристического уравнения является применение оператора дифференцирования. Рассмотрим дифференциальное уравнение (5.1) системы автоматического управления записанное для регулируемой выходной величины y(t) при наличии управляющего воздействияx(t) :

Введем оператор дифференцирования p=d/dt

(a₀ pⁿ + a₁ p^n-1 +…+a_n )y(t) =(b₀ p^m + b₁ p^m-1 +…+b_m )x(t), 8.10

где a₀,a₁, …a_n,b₀,b₁…b_m–постоянные коэффициенты.

Изменение регулируемой величины y(t) при произвольном внешнем воздействииx(t) представляет собой решение уравнения 8.10:

y(t) =y_в(t) +y_св(t),

где y_в(t) – вынужденная составляющая, имеющая тот же характер, что и правая часть уравнения 8.10. Она определяется как частное решение как частное решение неоднородного дифференциального уравнения 8.10с правой частью:

(a₀ pⁿ + a₁ p^n-1 +…+a_n )y_в(t) =(b₀ p^m + b₁ p^m-1 +…+b_m )x(t)

Второе слагаемое y_св(t) – свободная (переходная) составляющая, которая определяется общим решением однородного дифференциального уравнения 8.10 без правой части:

8.11

Решение уравнения 8.11 находят как y_св(t) = Аe^mt. Дифференцируя это выражениеnраз и подставляя в 8.11 после сокращения на общий множитель Аe^mtполучают характеристическое уравнение:

a₀mⁿ+a_n-1m^n-1+a_n = 0

Поскольку полученное характеристическое уравнение по своему виду совпадает с дифференциальным оператором при выходной величине в уравнении 8.10, характеристическое уравнение получают обычно приравнивая к нулю дифференциальный оператор при выходной величине в исходном дифференциальном уравнении 8.10:

a₀pⁿ+a₁p^n-1+…+a_n=0 8.12

Однако следует помнить, что в характеристическом уравнении p=mозначает уже не оператор дифференцирования, а некоторое комплексное число, могущее располагаться в одном из четырех квадрантов числовой плоскости, на вещественной или на мнимой оси.

Теоремы Ляпунова:

1. Если все корни характеристического уравнения линеаризованной системы левые, действительная система (как и линеаризованная), устойчива. Добавление производных второго и высших порядков не отражается на устойчивости системы

2. Если среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью (правый), то действительная система (как и линеаризованная), будет неустойчивой, даже если учесть производные второго и высших порядков.

3. Если среди корней характеристического уравнения имеются нулевые или чисто мнимые корни, для оценки устойчивости системы необходим учет производных высших порядков, так как поведение реальной системы может существенно отличаться от линеаризованной. Такой случай называют критическим.

На практике теоремы Ляпунова позволяют пользоваться критериями устойчивости для линеаризованных систем, что дает возможность на ранних стадиях проектирования исключить возможные грубые ошибки.