управление тех. системами / ТАУ

6.7. Критерий Михайлова

Этот критерий устойчивости сформулирован Михайловым в 1938 г. Представим комплексный полином A(iω) = a0(iω)n + a1(iω)n-1 + … + an в виде А(iω) = X(ω) + iY(ω),

Годограф, описываемый вектором А(iω) на комплексной плоскости, называется кривой Михайлова.

Применительно к кривой Михайлова, условие устойчивости, требующее, чтобы характеристическое уравнение не имело чисто мнимых корней и корней с положительной вещественной частью, означает следующее.

1)Так как все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными X(0) = an > 0.При этом Y(0)= 0

2)Отсутствие чисто мнимых корней означает, что А(iω) ≠ 0 во всем диапазоне частот от нуля до бесконечности. Это означает, что кривая Михайлова не пересекает начало координат.

3)Отсутствие правых корней подразумевает, что годограф Михайлова при изменении частоты от нуля до бесконечности.

В совокупности эти 3 условия приводят к следующей формулировке критерия Михайлова:

Для того, чтобы система автоматического управления n-го порядка была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова А(iω) при изменении частоты от 0 до бесконечности, начиналась на вещественной положительной полуоси, обходила в положительном направлении последовательно n квадрантов координатной плоскости. Частоты, при которых кривая А(iω) пересекает координатные оси, обозначают ω0 ,ω1 ,ωn Например, для системы 1-го порядка X(ω) =

a1; Y(ω)= a0 ω; ω0 = 0

Система 2-го порядка: X(ω) = a2 - a0 ω2; Y(ω)= a0 ω; ω0 = 0; ω1 = (a2 / a0 )1/2;

Система 3-го порядка: X(ω) = a3 - a1 ω2; Y(ω)= ω(a2 - a0 ω2); ω0 = 0; ω1 = (a3 / a1 )1/2 ;ω2=(a2 / a0 )1/2 и т.д.

Кривая Михайлова уходит в бесконечность в квадранте, номер которого соответствует порядку системы.

На рис. 37 показаны формы кривой Михайлова для устойчивых систем от первого до четвертого порядка (а) и для различных вариантов неустойчивых систем (б, в, г, д). Система на рис. 37 б неустойчива, потому что начинается на левой полуоси (отрицательный свободный член). Система на рис. 37 в - 5-го порядка, годограф не выходит за пределы 1-го квадранта. Система на рис. 37 г начинается в начале координат и, следовательно, имеет нулевой корень. Годограф системы по рис. 37 д проходит через начало координат и, следовательно, имеет пару чисто мнимых корней.

Для оценки устойчивости системы нет необходимости строить полностью кривую Михайлова. Достаточно убедиться в том, что она поочередно пересекает кривые X(ω) и Y(ω). Иначе говоря, корни уравнения Y(ω)=0 (ω0 , ω2, ω4…) должны чередоваться по величине с корнями уравнения Х(ω)=0 (ω1 , ω3, ω5…).

Тогда критерий Михайлова принимает следующую формулировку:

Система автоматического управления устойчива тогда и только тогда, когда функции Михайлова, приравненные нулю, имеют действительные, положительные и перемежающиеся корни, причем общее число корней равно порядку системы, а при ω =

0 X(0) > 0 и Y'(0) > 0.

Например, для системы 5-го порядка анализ устойчивости сводится к решению двух

уравнений

a5 - a3ω2 + a1ω4 = 0, ω(a4 - a2ω2 + a0ω4)= 0

Оба уравнения - квадратные относительно ω2 и дают 5 решений от ω0 = 0 до ω5 . Далее достаточно убедиться, что ω0 < ω2 < ω3 < ω4 < ω5 . Если вычисление всех корней по каким-либо причинам неудобно, достаточно найти, например, точки пересечения кривой Михайлова с осью абсцисс из условия Y(ω)=0, а затем убедиться в том, что при подстановке значений ω0 , ω2, ω4… в выражение для Х(ω) получаются значения, чередующиеся по знаку. Например, для системы 6-го порядка уравнение Y(ω)=0 сводится к квадратному, в то время как Х(ω)=0 дает кубическое уравнение. Тогда такой прием значительно упрощает анализ устойчивости.

Как видно, критерий Михайлова более удобен для анализа устойчивости систем высокого порядка, чем матрица Гурвица.

6.8. Критерий Найквиста

Критерий Найквиста (1932 г.), как и критерий Михайлова, основан на принципе аргумента. Отличается он тем, что для анализа устойчивости используется не частотная характеристика знаменателя передаточной функции, а амплитудо-фазо-частотная характеристика системы в целом. Это позволяет, во-первых, использовать экспериментальную характеристику системы, если отсутствует ее аналитическое описание. Во-вторых, критерий Найквиста, как будет показано ниже, удобен для анализа устойчивости систем с запаздыванием. Это обстоятельство делает применение данного критерия предпочтительным в тех случаях, когда сложное звено аппроксимируется последовательным соединением апериодического звена и звена запаздывания (см. 4.3).

Пусть передаточная функция замкнутой системы управления W(p) = B(p)/A(p), а передаточная функция соответствующей ей разомкнутой системы W' = R(p)/Q(p). Тогда

Q(p) - одного порядка. Согласно принципу аргумента,

∆ArgZ(iω) = ∆ArgA(iω) - ∆ArgQ(iω)

Если система устойчива, то приращение аргумента ∆ArgA(iω)=nπ/2. Если и разомкнутая система устойчива, то ∆ArgQ(iω) имеет такую же величину. Следовательно, ∆ArgZ(iω)=0. Это условие может быть выполнено, если годограф вспомогательной функции Z(iω) при изменении частоты ω от нуля до бесконечности не охватывает начало координат (рис. 38 а). Так как по определению Z(iω) = 1 + W'(iω), из этого вытекает следующая формулировка критерия Найквиста:

Если разомкнутая система устойчива, то замкнутая система устойчива, если годограф частотной передаточной функции разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1, 0) (рис. 38 б).

1)Найти значение частоты, при котором модуль частотной передаточной функции

|W''(iω)| = 1.

2)Подставив найденное значение частоты в выражение для фазового угла, убедиться в том, что этот угол не достигает величины (-π).

7.КАЧЕСТВО УПРАВЛЕНИЯ

Впредыдущей главе были рассмотрены условия устойчивости системы управления. Сформулированные там условия и критерии позволяют установить, будет ли система, выведенная из равновесия, стремиться к новому равновесному режиму. Однако для того, чтобы установить, пригодна ли разработанная система для практического использования, это не достаточно. Требуется оценить также качество управления. Под качеством управления подразумевается точность, С которой система управления поддерживает заданных величины управляемых параметров при любых условиях работы В данной главе рассматриваются показатели качества управления и способы их оценки и улучшения.

7.1. Показатели качества управления.

управления определяется тем, насколько управляемый параметр отклоняется от заданной величины при переходе от одного установившегося режима к другому и временем, требуемым для того, чтобы установился новый режим.

Качество процесса регулирования оценивается (рис. 39) прежде всего статической ошибкой по окончании переходного процесса в установившемся режиме работы, определяемой степенью неравномерности регулируемой величины

также степенью нестабильности регулируемой величины ψ , определяемой размахом колебаний в установившемся режиме.

Динамические свойства системы, т.е. характеристики ее переходного процесса, характеризуются прежде всего максимальным отклонением управляемой величины от нового установившегося значения, или перерегулированием Δφmax. Кроме того, важным показателем качества переходного процесса является время регулирования tp, под которым понимается промежуток времени от начала переходного процесса до момента, начиная с которого отклонение регулируемой величины не будет выходить за пределы зоны нестабильности ψ.

Иногда качество переходного процесса оценивают дополнительно числом колебаний за время tp и частотой колебаний ω = 2π/Т, которые характеризуют колебательность переходного процесса.

7.2. Статическая ошибка системы управления

Статическая ошибка, как уже указывалось, определяется отношением В(0)/А(0). В идеале она должна быть равной нулю, однако часто это приходит в противоречие с

B1(p)/A1(p) - передаточная функция управляющего устройства. Тогда передаточная функция системы управления

A 0 ( p ) A1 ( p )

1) Если ни в объект, ни в управляющее устройство не входят интегрирующие звенья, то в общем случае :

A0(p)=aopn+….+an

B0(p)=b0pm+…+bm

A1(p)=k0pr+…+kr

B1(p)=l0ps+…+ls

2) В составе

объекта управления имеется интегрирующее звено, то есть A0(p)=aopn+….+anp. Остальные многочлены остаются неизменными. Тогда

3) Интегрирующее звено входит в управляющее устройство, и A1=k0pr+…+krp. Соответственно

случае степень неравномерности равна нулю. Необходимое условие устойчивости выполняется, если числители передаточных функций объекта и управляющего устройства имеют ненулевой свободный член. Как правило, последнее условие обеспечивается.

4) И в объект, и в управляющее устройство входят интегрирующие звенья, то есть:

A0=aopn+….+anp

A1=k0pr+…+krp

(7.4)

Такая система также обеспечивает нулевую неравномерность, однако она может быть устойчивой, только если коэффициент характеристического уравнения при р положителен. Поскольку числитель передаточной функции объекта обычно представляет собой коэффициент усиления, то bm-1 = 0. Изменить передаточную функцию объекта, как правило, невозможно. Если управляющее устройство содержит только апериодические звенья и одно интегрирующее звено, то и ls-1 = 0. В этом случае необходимое условие устойчивости не выполняется. Для того, чтобы система, содержащая интегрирующие звенья в объекте и управляющем устройстве, необходимо преобразовать последнее из них в устойчивое звено. С этой целью вводится обратная связь, охватывающая интегрирующее звено. При этом в цепь обратной связи вводится либо усилительное звено с коэффициентом k ("жесткая" обратная связь), либо реальное дифференцирующее звено ("изодромная" обратная связь). В первом случае передаточная функция образующейся цепочки:

Полученная передаточная функция соответствует апериодическому звену. Это значит, что передаточная функция системы аналогична (7.1) или (7.2), то есть имеется степень неравномерности.

При изодромной обратной связи получаем:

необходимого условия устойчивости.

Таким образом, можно сформулировать следующий принцип:

Устойчивая система управления с нулевой неравномерностью возможна, если объект обладает достаточным самовыравниванием (не содержит интегрирующих звеньев) или если в управляющем устройстве имеется интегрирующее звено, охваченное изодромной обратной связью.

φ

t

- ξ