управление тех. системами / ТАУ
.pdf
ступенчатому изменению х соответствует такое же ступенчатое изменение у = kx. При подстановке p = iω получаем частотную передаточную функцию W(iω) = k . Поскольку мнимая часть отсутствует, относительная амплитуда равна k, а фазовый угол - нулю. Амплитудо- и фазо-частотная характеристики показаны на рис. 7 в ). Амплитудо-фазо-частотная характеристика на комплексной плоскости (рис. 7 г) представляет собой точку на оси абсцисс на расстоянии k от начала координат. На структурных схемах усилительное звено изображается точкой, рядом с которой указан коэффициент усиления.
4.1.2. Апериодическое (инерционное) звено 1 порядка.
Такое звено описывается дифференциальным уравнением
dy |
|
y kx |
Где Т - постоянная времени звена, k - коэффициент |
|
T |
||||
усиления. Электрическим аналогом такого звена является |
||||
dt |
|
|
||
|
|
|
цепочка с сопротивлением R и емкостью C (рис. 8 а). |
Входной параметр - напряжение U1 = x, выходной - U2 = y . Выходное напряжение связано с входным соотношением U1 = U2 + IR; сила тока в цепи конденсатора I =
C(dU2/dt). При подстановке получаем |
RC(dy/dt) + y = x, то есть уравнение |
инерционного звена при T = RC и k = 1. |
|
Другими примерами являются ѐмкость, имеющая каналы подвода и отвода жидкости (инерционный элемент - объем емкости, сопротивление - перепад давлений в подводе и отводе) (рис. 8 б и в), стенка, передающая тепловой поток и обладающая теплоемкостью и тепловым сопротивлением (рис. 8 г) и др.
В преобразованном по Лапласу виде дифференциальное уравнение звена имеет вид:
(Tp + 1)Y(p) = kX(p)
Тогда передаточная функция
k
W ( p )
Tp 1
Переходную характеристику в данном случае можно получить, решая дифференциальное уравнение звена методом разделения переменных
|
dy |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y kx |
|
|
|
T |
|
||||||||
ln( |
|
y |
kx ) |
|
y |
|
t |
|
|||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
T |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
y |
kx |
|
t |
|
|
||||||
|
kx |
T |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y kx (1 e t / T )
t
0
Таким образом, переходная характеристика инерционного звена представляет собой экспоненту, исходящую из начала координат и асимптотически приближающуюся к kx при t → ∞ (рис. 8 д). Из дифференциального уравнения также следует, что
dy/dt = (kx - y)/T
Это значит, что длина горизонтальной проекции отрезка касательной к кривой переходной характеристики, заключенного между точкой касания и точкой его пересечения с линией y = kx, равна T. Это свойство позволяет оценивать параметры звена, если их нельзя получить аналитическим путем, непосредственно по экспериментальной переходной характеристике.
Для получения частотных характеристик определяем частотную передаточную функцию
|
|
W ( i ) |
|
|
k |
|
|
|
|
k |
i |
kT |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 iT |
1 T 2 2 |
1 T 2 2 |
|
||||||||||||
Из этого следует, что относительная амплитуда |
|
||||||||||||||||
|
a |
( ) |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
и фазовый угол |
υ = |
-Tω. Соответствующие графики |
|||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
показаны |
на |
рис. 8 |
е. Амплитудо-фазо-частотная |
|||
|
1 |
T |
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
характеристика представляет собой полуокружность с |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
диаметром k. Нулевой частоте соответствует точка (k,0), частоте, стремящейся к бесконечности - точка (0,0).
Для анализа асимптотических логарифмических характеристик введем понятие сопрягающей частоты. Это значение частоты, ниже которой можно считать Tω « 1, а выше - Tω » 1. Тогда в первом случае можно пренебречь величиной Tω, а во втором отбросить 1. В данном случае сопрягающая частота ω = 1/Т. При этом слева от сопрягающей частоты относительная амплитуда равна k, а фазовый угол - нулю. При частотах, превышающих сопрягающую частоту и ω→∞, относительная амплитуда а/A = k/Tω, а фазовый угол стремится к -π/2. Асимптотическая логарифмическая характеристика при частотах, меньших сопрягающей, представляет горизонтальную прямую L(ω) = 20 lg k, а выше сопрягающей частоты прямую с наклоном -20 дБ/декаду
(рис. 8 ж).
Действительные логарифмические характеристики существенно отличаются от асимптотических только в диапазоне частот, близких к сопрягающей. Следует помнить, что при изменении на декаду частота изменяется в 10 раз, а квадрат частоты (определяющий величину относительной амплитуды) - в 100 раз, поэтому приближение действительных параметров к асимптотам происходит в логарифмических координатах достаточно быстро.
4.1.2 Дифференцирующее звено.
Дифференцирующее звено описывается уравнением
где Тд - время дифференцирования.
dx
y T д
dt
Электрическим аналогом такого звена является цепочка с конденсатором С, если входным параметром считать напряжение, а выходным - силу тока:
I = C(du/dt)
Тогда время дифференцирования Тд = С. В механических системах дифференцирующее звено может быть использовано, например, для описания связи между угловой скоростью и тангенциальной силой инерции. Переходная характеристика дифференцирующего звена показана на рис.9 а). При мгновенном ступенчатом изменении входного параметра выходная величина также мгновенно возрастает до бесконечности и тут же падает до нуля. Если входная величина изменяется с некоторой постоянной скоростью, выходная имеет постоянное значение.
Рис.9
Преобразование Лапласа отображает дифференциальное уравнение звена в виде формулы: Y(p) = ТдX(p), и передаточная функция W(p) = Тд p.
Частотная передаточная функция W(iω) = iТдω. Действительная часть в этом выражении отсутствует, поэтому относительная амплитуда а/А = Тдω,
а фазовый угол при всех значениях частоты υ = arctg ∞ = π/2. (рис. 9 б). Амплитудо-фазо-частотная характеристика совпадает с осью ординат (рис. 9 в). Логарифмическая амплитудная характеристика имеет наклон 20 дБ/декаду
(рис.9 г)
4.1.3. Реальное дифференцирующее звено
Описанное выше дифференцирующее звено является идеальным и трудно осуществимо в механических системах. Кроме того, его переходная характеристика (мгновенное возрастание выходного параметра до бесконечности при ступенчатом изменении входного) далеко не всегда приемлема для практических целей. Поэтому в системах управления чаще встречается реальное дифференцирующее звено, описываемое дифференциальным уравнением
Электрическим аналогом такого звена является RC-цепочка с ѐмкостью в цепи
первичного контура (рис. 10 а). Выходное напряжение U2 = y, согласно закону
Т д |
dy |
|
y Т д |
dx |
|
dt |
dt |
||||
|
|
|
Ома, U2 = IR. В свою очередь, сила тока в цепи конденсатора
I C |
d (U 1 U 2 ) |
|
C |
dx |
C |
dy |
Следовательно: |
|||||
|
|
dt |
|
dt |
dt |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
RC |
dy |
|
y RC |
dx |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|
||||
Полученное выражение соответствует уравнению реального дифференцирующего звена при времени дифференцирования Тд = RС. Другим примером реального дифференцирующего звена, широко применяемого в механических системах автоматизации, является упруго присоединенный катаракт (рис. 10 б). В этом устройстве, обе полости которого заполнены вязкой жидкостью, перемещение поршня х вызывает деформацию пружины, создающей усилие у. При отсутствии новых изменений х перетекание жидкости из одной полости в другую через дросселирующий канал дает пружине возможность вернуться в недеформированное состояние.
В преобразованном по Лапласу виде дифференциальное уравнение отображается как
(Тдp + 1)Y(p) = Тд pX(p)
и передаточная функция
W ( p ) |
T |
д p |
T д p 1
В соответствии с правилами построения переходной характеристики, описанными в разделе 5, ее уравнение
y = exp(-t/Tд)
График переходной характеристики показан на рис. 10 в).
Частотные характеристики строятся на основе частотной передаточной функции При этом относительная амплитуда
a |
|
T д |
W ( |
|
i ) |
iT д |
|
T |
д 2 2 |
i |
T |
д |
|||
A |
|
|
|
iT д 1 |
|
|
2 2 |
|
|
2 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 T |
2 |
2 |
|
1 T д |
1 T д |
|||||||||
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и фазовый угол υ = arctg (1/Tдω)
Амплитудо-частотная и фазо-частотная характеристики показаны на рис. 10 г. При изменении частоты от 0 до бесконечности относительная амплитуда, начинаясь от 0, асимптотически приближается к 1; фазовый угол снижается от π/2 до 0. Амплитудо- фазо-частотная характеристика (рис 10 д) представляет собой полуокружность диаметром 1, расположенную в первом квадранте комплексной плоскости. Асимптотическая логарифмическая амплитудная характеристика при частотах, меньших сопрягающей частоты ω = 1/Tд , является прямой с наклоном 20 дБ/декаду, а при более высоких частотах совпадает с осью абсцисс. Фазовый угол на соответствующих участках составляет π/2 и 0 (рис. 10 е)
4.1.4. Интегрирующее звено.
Дифференциальное уравнение интегрирующего звена
dy
Т и dt x
Где Ти - время интегрирования. Примером интегрирующего звена, широко применяемого в системах автоматизации, является гидроусилитель (рис. 11).
При перемещении золотника х поршень будет двигаться с постоянной скоростью dy/dt, пропорциональной перемещению золотника.
Переходная характеристика получается как результат интегрирования уравнения, которое дает у = хt/Ти, то есть изменение выходного параметра с постоянной скоростью
(рис. 11 б)
Преобразуя дифференциальное уравнение по Лапласу, получаем
Ти pY(p) = X(p), |
|
|
|
|
|
|
откуда передаточная функция W(p) |
|
|
|
|
|
|
= 1/ Ти p |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
W ( i ) |
0 i |
||||
|
T и i |
T и |
||||
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
W ( i ) |
|
0 i |
|
|
|
|
T и i |
T и |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
Частотная передаточная функция
Соответственно относительная амплитуда а/А = 1/Тиω, тангенс фазового угла равен -∞, а сам фазовый угол υ = -π/2 (рис. 11 в). Логарифмическая амплитудная характеристика является прямой с наклоном -20 дБ/октаву, пересекающая ось абсцисс в точке, соответствующей частоте 1/Ти .
4.1.5 Звено чистого запаздывания
Такое звено описывается уравнением
y(t) = x(t - τ)
Переходная характеристика при ступенчатом изменении входного параметра дает точно такое же изменение выходного, но смещенное во времени на величину τ, которая называется временем запаздывания (рис.12а). Электрическую схему или механизм, точно соответствующий такой характеристике, трудно представить. Звено чистого запаздывания представляет собой абстракцию, которая, однако, полезна при описании сложных звеньев. Это будет показано ниже.
В преобразованном по Лапласу виде дифференциальное уравнение звена отображается как
Y ( p ) x (t )e p t d t x (t ) e p ( t ) e p d t X ( p )e p
0 0
Соответственно передаточная функция звена чистого запаздывания W(p) = e-pτ. Частотная передаточная функция W(iω) = e-iωτ. Сравнивая это выражение с обычной
формой записи частотной передаточной функцией в полярной форме
W(iω) = (a/A)eiarctg(v/u), находим относительную амплитуду а/А = 1 и фазовый угол υ = - ωτ. Таким образом, амплитудо-частотная характеристика представляет собой горизонтальную прямую с ординатой 1, фазо-частная - наклонную прямую в нижней полуплоскости, а амплитудо-фазо-частотная характеристика образует круг с радиусом 1, начальная точка которого при нулевой частоте имеет координаты (1, 0) (рис. 12 б).
4.1.6. Звено второго порядка
Дифференциальное уравнение звена 2-го порядка
T 0 |
d 2 y |
T 1 |
dy |
y kx |
|
|
|||
dt 2 |
dt |
Примерами звена 2-го порядка являются системы, в которых имеется инерционный элемент, а также действуют силы, препятствующие изменению выходного параметра, пропорциональные его изменению и скорости его изменения. В частности, таким уравнением описывается изменение уровня жидкости в одной из двух последовательно соединенных емкостей с жидкостью, движение центробежного измерителя скорости, широко применяемого в системах регулирования, крутильные колебания двухмассовой системы и др.
Преобразуя по Лапласу, получаем:
(T0p2 + T1p +1)Y(p) = kX(p) ,
откуда
W ( p ) |
k |
|
|
k |
|
|
|
|
|||
T 0 p 2 T 1 p 1 |
Tp |
2 2 Tp 1 |
|||
|
|
где Т = Т0 - время звена и ξ = Т1/2Т0 - коэффициент демпфирования звена. В зависимости от коэффициента демпфирования звено 2-го порядка может быть колебательным (при 0 < ξ < 1), консервативным (при ξ = 0) и апериодическим (ξ ≥ 1).
4.2.Соединения звеньев
Вструктурных схемах систем управления динамические звенья соединяются определенным образом, причем эти связи соответствуют способу взаимодействия между звеньями. При всем разнообразии систем, в любой из них можно выделить группы динамических звеньев, соединяемых последовательно, параллельно или встречно-параллельно (с обратной связью). Для каждого из этих соединений существуют определенные зависимости между общими для группы в целом входным и выходным параметрами. Это позволяет достаточно просто устанавливать связь между входным и выходным параметрами системы в целом, не прибегая к совместному решению систем дифференциальных уравнений.
4.2.1. Последовательное соединение
При последовательном соединении выходной параметр каждого звена (кроме последнего) является входным для последующего звена. Схема последовательного соединения показана на рис. 13
x |
y 1 = x 2 |
|
y2 |
x k |
y |
||||||
|
|
W 1 (p ) |
|
|
W 2 (p ) |
|
|
|
|
W k (p ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.13
параметр каждого звена равен произведению входного параметра на передаточную функцию, то есть
Y1(p) = X(p)W1(p)
Y2(p) = X2(p)W2(p) = X(p)W1(p) W2(p)
………………………………………….
Y(p) = X(p)W1(p) W2(p)… Wk(p) откуда: W(p) = Y(p)/X(p) = W1(p) W2(p)… Wk(p)
То есть передаточная функция цепочки последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций отдельных звеньев
При замене p на iω получаем частотную передаточную функцию
W(iω) = W1(iω) W2(iω)… Wk(iω).
Представив в полярной форме каждую из частотных передаточных функций отдельных звеньев, а также передаточную функцию цепочки последовательных звеньев, получим:
|
|
W (i ) |
a 1 |
e i 1 . |
a 2 |
e i 2 .... |
a k |
e i k |
|
|
a |
e i . |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
A1 |
|
A 2 |
|
A k |
|
|
|
A |
||
Откуда следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а |
|
а 1 а 2 |
..... а |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
1 |
2 |
..... |
k |
|||||||
А |
А1 А 2 |
.... А к |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
то есть при последовательном соединении относительная амплитуда равна произведению относительных амплитуд звеньев, а фазовый угол - сумме фазовых углов звеньев. При переходе в логарифмические координаты
L(ω) = 20 lg (a/A) = 20 (L1 + L2 +….+Lk)
Таким образом, в логарифмических координатах как относительные амплитуды, так и фазовые углы суммируются. Это позволяет достаточно просто строить логарифмические частотные характеристики последовательно соединенных звеньев, особенно в асимптотическом приближении.
Рассмотрим, например, последовательное соединение апериодического звена с передаточной функцией W1(p) = 1/(T1p + 1) и реального дифференцирующего звена W2(p) = T2p/(T2p + 1) при T2 > T1. Сопрягающие частоты равны соответственно ω2 = 1/Т2 и ω1 = 1/Т1. Логарифмические характеристики звеньев и общая логарифмическая характеристика их последовательного соединения показаны на рис. 14
L (ω )
|
|
|
|
|
|
|
|
ω 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω 1 |
|
lg ω |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π / 2
lg ω
-π / 2
Рис.14
4.2.2. Параллельное соединение
При параллельном соединении (рис. 15)
входной параметр одинаков для всех соединенных звеньев, а выходные параметры каждого из них суммируются. Полученная сумма является выходным параметром такой системы звеньев.
Согласно определению, уравнение такой системы:
y(t) = y1(t) +y2(t) +….+yk(t) |
|
Рис.15 |
В |
преобразованном по Лапласу виде:
Y(p) = Y1(p) +Y2(p) +….+Yk(p), то есть X(p)W(p) = X(p)[ W1(p) +W2(p) +….+Wk(p)]
иW(p) = W1(p) +W2(p) +….+Wk(p)
Таким образом, передаточной функцией системы параллельно соединенных звеньев является сумма передаточных функций отдельных звеньев
Использование принципа параллельного соединения проиллюстрируем на примере реального дифференцирующего звена. Преобразуем его передаточную функцию следующим образом:
W ( p ) |
T |
д p |
|
T |
д |
p 1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
T д p 1 |
T д |
p 1 |
T д p 1 |
T д p 1 |
|||||||
|
|
|
|
||||||||